当前位置:首页 >> 数学 >>

2.5等比数列前n项和


复习:
等差数列

定义
通项公式

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

an ?1 ?d an

等比数列

an ? a1q

n ?1

性质

Sn

/>
n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

n ?m a ? a q an ? am ? (n ? m)d n m * m ? n ? r ? s(m, n, r, s ? N ) aman ? ar as am ? an ? ar ? as

8

7

6

5

4

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

陛下,赏小 请在第一个格 请在第二个格 请在第三个格 请在第四个格 依次类推 …… 人一些麦粒 子放 1 颗麦粒 子放 子放 2颗麦粒 4 8颗麦粒 就可以。

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的

2倍, 且共有 64 格子.

2 1

0

2

1

2

2

2

3

?? 2 63

?

由刚才的例子可知:实际上就是一个以1为首项,2 为公比的等比数列的前64项的求和问题,即:

S 64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ?…… ? 2 62 ? 2 63
把上式左右两边同乘以2 得:


64

2S 64

? 2 ? 4 ? 8 ? 16+ ……

?2 ?2
63



由②- ①得:

S 64 ? 2 64 ? 1

错 位 相 减 法
19

=18446744073709551615≈1.84 ?10

假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的 总质量超过了7000亿吨。 所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计 数时,国王才发现:就是把全印度甚至全世界 的麦粒全拿来,也满足不了他的要求。 其实,人们估计,全世界一千年也难以生产 这么多麦子!是当时全世界在两千年内所产的 小麦的总和!

S 64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ?…… ? 2 62 ? 2 63
把上式左右两边同乘以2 得:



2S 64

? 2 ? 4 ? 8 ? 16+ ……

? 2 63 ? 2 64



错 位 相 减 法

由②- ①得:

S 64 ? 2 64 ? 1

思考: 为什么②式选择乘以2,而不是别的数字?乘以2 有什么样的好处?

如何求等比数列的前n项和Sn:
错位相减法 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q
2

n ?2

? a1q

n?1


n

qSn ?

a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q
2 3

n?1

? a1q ②
n

①—② ,得 (1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ??? 0 ? a1q n (1 ? q)Sn ? a1 ? a1q

a1 ? 1 ? q Sn ? 1? q

?

n

?

(q≠1)

等比数列前n项和公式的推导

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q a1 ? an q ? 1? q
n

(q ? 1)

思考:那q=1怎么办呢?

等比数列前n项公式

a (1 ? q ) 1 当q ? 1时 Sn ? 1? q
n


当q=1时,

a1 ? an q Sn ? 1? q

Sn ? na1

思考:在具体解题时,我们又该如何选取公式呢?

等比数列前n和公式的应用
例1、求下列等比数列前8项的和:

1 1 1 1 (1)    ,    ,    ,  ?  ;  (2)a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 2 4 8 243 1 1 解: (1)因为a1 ? , q ? , 所以当n ? 8时, 2 2
1 ? 1 8? 1? ( ) ? 8 ? a1 (1 ? q ) 2 ? 2 ? 255 S8 ? ? ? . 1 1? q 256 1? 2

三、等比数列前n和公式的应用
例1、求下列等比数列前8项的和:

1 1 1 1 (1)    ,    ,    ,  ?  ;  (2)a1 ? 27, a9 ? , q ? 0. 2 4 8 243
a9 1 1 1 1 8 解:(2)? a1 ? 27, a9 ? .? q ? ? ? ? 8 243 a1 243 27 3 1 ? q ? 0? q ? ? 3 1 8 27 ? (1 ? (? ) ) 1640 3 ? S8 ? ? 1 81 1 ? (? ) 3

练习:在等比数列?a n ?中,求满足下列条件的量
(1)a1 ? a3 ? 2, 求sn

1 (2)q ? 2, n ? 5, a1 ? .求an 和sn 2

1 (1 ) ?2 a 2 )? ?a q ,3 n? ?2 5, a1 ? 解: 1? 2 2
?q ?1 即q ? ?1

n a 1 ? q n ?1 1 代入 a ? a q , s ? 得: n 1 n 2, 当q ? 1时,数列为常数列 2, 2 , ? ,所以 S n ? na1 ? 2n 1 ? q 1 4 a5 ? a1q ? ? 2 4 n? 8 n a ( 1 ? q ) 2 [ 1 ? ( ? 1 ) ] n 2 1

?

?

当q ? ?1 1时,S n5 ?
s5 ? 2 ? 1? 2 1? 2

?

?

1 31 5 ? ? 2 ?1 ? 2 2

1? q

?

?

1?( ?1)

?

? 1 ? (?1)

小结:

当堂达标 1.等比数列{an }的各项都是正数,若a1 ? 81,
a5 ? 16, 则它的前5项和是( B)
A. 179 B. 211 C. 243 D. 275

2.设等比数列{an }的公比q ? 2,前n项和为Sn, S4 则 等于(C ) a2
A. 2 B. 4
15 17 C. 2 D. 2

3.设等比数列{an }的前n项和为Sn,若a1 ? 1,

3 S6 ? 4S3 , 则a4 ? ______

4.a1 ? 1, an ? ?512,Sn ? ?341.求q和n
解:将a1 ? 1, an ? ?512, S n ? ?341 代入S n ?
a1 ? an q 1? q

1 ? ( ?512) q 可得 ? 341 ? . 1? q 解得:q ? ?2
因为a n ? a1q n ?1 , 所以 ? 512 ? 1? (?2) n ?1 解得: n ? 10

我的收获 1.等比数列的前n 项和公式

Sn ?

{

na1 ( q ?1) a1 (1? q n ) a1 ? an q ? ( q ?1) 1? q 1? q

2.推导等比数列前n 项和公式的方法: 错位相减法 3.公式的运用 对 a1 , an , n, q, Sn 知三求二


相关文章:
2.5等比数列前n项和
2.5等比数列前n项和_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§6.3.3 等比数列的前 n 项和一、教学目标: 1.知识目标:理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程...
2.5 等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。高中 数学 精品教案 2.5 2.5.1 等比数列的前 n 项和? 等比数列前 n 项和公式的推导与应用? 从容说课 师生...
2.5等比数列前n项和(一)
第二章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和(一)教学目标(一) 知识与技能目标 等比数列前 n 项和公式. (二) 过程与能力目标 1. 等比数列前 n 项和公式及其...
2.5等比数列的前n项和
用错位相减法求数 列的前 n 项和; 二、教学内容及步骤 2.5 等比数列前 n 项和一、等比数列的前 n 项和公式及其推导(1)等比数列的前 n 项和公式: ? ...
§2.5等比数列前n项和公式教学设计
§2.5等比数列前n项和公式教学设计_高一数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 §2.5等比数列前n项和公式教学设计_高一数学_数学_高中...
2.5 等比数列前n项和
2.5 等比数列前 n 项和 4、等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1)当 q ? 1 时, S n ? na1 (2)当 q ? 1 时, S n ? a1 ?1 ? q n ? 1...
2.5 等比数列的前n项和
2.5 等比数列前 n 项和(1)一、【教学目标】重点:使学生掌握等比数列的前 n 项和公式,用等比数列的前 n 项和公式解决实际问 题. 难点:由研究等比数列的结...
2.5等比数例的前n项和
课件园 http://www.kejianyuan.com 课题: §2.5.1 等比数列前 n 项和(1)教案 教材分析: 本节知识是必修 5 第二章第 5 节的学习内容, 是在学习完...
2.5等比数列前n项和(2)
水寨中学高一数学自主探究学案 内容:等比数列前 n 项和 课时:1 模块:必修 5 编号:2.5(2) 一、学习目标 1.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 2....
更多相关标签:
2.5等比数列的前n项和 | 等比数列前n项和公式 | 等比数列前n项和 | 等比数列的前n项和 | 等比数列前n项和ppt | 等比数列前n项和教案 | 等比数列前n项和性质 | 等比数列的前n项和ppt |