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《分式的运算》教学设计


《分式的运算》教学设计 分式的运算》
一、学习目标 (一)知识与技能 1、类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则; 2、结合分式的运算,将指数的讨论从正整数扩大到全体整数,构建和发 展相互联系的知识体系。 (二)过程与方法 1、通过类比分数的运算法则,获得分式的运算法则,并利用法则进行运 算及解决有关的简单的实际问题; 2、经历探索分式的运算法则的过程,并能结合具体情况说明其合理性。 (三)情感态度与价值观 培养学生的观察、类比、归纳的能力和与同伴合作交流的情感,进一步 体会数学知识的实际价值。 二、教学重点与难点: 教学重点与难点: 与难点 本节内容的重点是理解分式法则的意义及法则运用; 本节内容的难点是正确运用分式的基本性质进行约分和通分。 三、教学思路: 教学思路: 在教师的组织和引导下,以学生自主探究、分组合作交流的方式展开教 学。

课题

分式的乘除( 分式的乘除(一)
1、类比分数乘除法的运算法则,探索分式乘除法的运算法则; 2、在分式乘除运算过程中,体会因式分解在分式乘除法中的作用,发展有 条理的思考和语言表达能力; 3、用分式的乘除法解决生活中的实际问题,提高“用数学”的意识。

知识 与技能 三

维 在学生积极思考,参与活动的过程中,采用引导、启发、探求的 过程 目 与方法 方法,使学生理解掌握分式乘除法的运算法则,并会进行乘除法的 运算。 标 情感态 1、通过师生共同交流、探讨,使学生在掌握知识的基础上,认识事 度与价 物之间的内在联系,获得成就感。 值观 2、培养学生的创新意识和应用数学的意识。

教学重点 知识难点 教具准备 教学 环节

掌握分式乘除法的法则及其应用。 分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。 电脑、课件、投影仪 教 学 过 程

一、创设问题情境,引入新课 创设问题情境, 问题 1:一个长方体容器的容积为 V,底面的长为 a,宽为 b,当容器内 的水占容积的 m 时,求高为多少? n

问题 2:大拖拉机 m 天耕地 a 公顷,小拖拉机 n 天耕地 b 公顷,大拖 拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? (师生行为:教师提出问题,学生思考) 二、讲授新课 (一)类比分数乘除法法则,归纳分式乘除法法则 类比分数乘除法法则, 10 3×10 30 2 3 = = = 观察: × 观察 9 5×9 45 3 5 3 10 3 9 3×9 27 ÷ = × = = 5 9 5 10 5×10 50

想一想:1、这两个算式用到了哪些法则? 想一想 2、类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则吗? (师生行为:学生分组讨论、归纳,教师引导、说明) 归纳: 归纳:类似分数的乘除法法则,分式的乘除法法则如下: 乘法法则 除法法则 相乘。 上述法则可以用式子表示为 a c a·c a c a d a·d · = , ÷ = · = 。 b d b·d b d b c b·c 分式乘分式, 用分子的积作积的分子, 分母的积作积的分母。 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式

(二)例题教学 4x y ab3 -5a2b2 例 1 计算: (1) · 3 ;(2) ÷ . 2x 2c2 4cd 3y 4x y 4xy 2 · 3 = 3 = 2 . 3y 2x 6x y 3x

解:(1)

ab3 -5a2b2 ab3 4cd 4ab3cd 2bd (2) = . 2 ÷ 2 · 2 2 =- 2 2 2 =- 2c 4cd 2c -5a b 10a b c 5ac

2

a -4a+4 a-1 1 1 例 2 计算: (1) 2 · 2 ;(2) . 2 ÷ 2 a -2a+1 a -4 49-m m -7m
2 2 2

解:(1)

a -4a+4 a-1 (a-2) a-1 (a-2) (a-1) · 2 = = 2 2· 2 a -2a+1 a -4 (a-1) (a-2)(a+2) (a-1) (a-2)(a+2)

=

a-2 (a-1)(a+2) 1 1 1 m(m-7) m =- 2 ·(m2-7m)=- =- 2 ÷ 2 49-m m -7m m -49 (m+7) (m-7) m+7

(2)

(师生行为 师生行为:教师展示问题,学生尝试解答,并互相交流、总结,归纳解 师生行为 题步骤,教师结合学生的具体活动,加以指导;通过分析,学生可以灵活运 用运算法则来解题) 教师强调注意事项: 1、 2、 将算式对照乘除法法则进行运算; 强调运算结果如果不是最简分式时, 一定要进行约分, 使运算结果

化为最简分式或整式。 3、 当分子、分母是多项式时,一般应先分解因式,并在运算过程中约

分,可以使运算简化,避免走弯路。 例 3 “丰收 1 号”小麦的实验田是边长为 a 的正方形减去一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下的部分, “丰收 2 号” 小麦的实验田是边长为 (a-1) 米的正方形,两块实验田的小麦都收获了 500 千克。 (1) (2) 哪种小麦的单位面积产量高? 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?(新 P15)

解: “丰收 1 号”小麦的实验田面积是(a2-1)米 2,单位面积产量是 (1) 500 千克/米 2; “丰收 2 号”小麦的实验田面积是(a-1)2 米 2,单位面积产 a2-1 500 500 500 量是 千克/米 2.∵0<(a-1)2< a2-1,∴ 2 < . (a-1)2 a -1 (a-1)2 “丰收 2 号”小麦的单位面积产量高. 500 500 500 a2-1 (a+1)(a-1) a+1 (2) ÷ 2 = · = = . (a-1)2 a -1 (a-1)2 500 (a-1)2 a-1 “丰收 2 号”小麦的单位面积产量是“丰收 1 号”小麦的单位面积产量 a+1 的 倍. a-1 (师生行为:教师提出问题;学生分组讨论,解答问题,教师参与讨论,

并作指导) (三)随堂练习: 随堂练习 教科书第 16 页的练习 2、3 (可让两名学生板演) (师生行为 师生行为:学生分组讨论其解法,并找寻规律。教师深入小组,给予适 师生行为 当的帮助和指导,并引导学生注意运算法则的应用。) 三、课堂小结与作业 1、 学生归纳总结本节课的主要内容, 交流在探索分式的乘除法法则过程 的心得和体会,不断积累数学活动经验。 2、布置作业:教科书第 27 页习题 16.2 四、板书设计: 板书设计 分式的乘除(一) ) 1、运用法则 乘法法则:分式乘分式,用分子 的积作积的分子,分母的积作积的分 母; 除法法则:分式除以分式,把除式 的分子、分母颠倒位置后,与被除式 相乘。 用式子表示为: a c a·c · = b d b·d a c a d a·d ÷ = · = b d b c b·c (其中 a、b、c、d 是不为 0 的整 式) 例2 例3 3、练习 4、小结 2、例题 例1 1、2 题。

分析: (1)对照分式乘除法法则; (2)运算结果要化简; (3)分子、分母是多项式,应 先分解因式。

教学反馈: 教学反馈 课题 知识 与技能 过程 与方法 分式的乘除( 分式的乘除(二) 1.能应用分式的乘除法法则进行混合运算; 2.了解分式的乘方的意义及其运算法则; 1.能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除混合运算; 2.在进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力及有条理 的表达能力。

三 维 目 标

情感态 度与价 值观 教学重点 教学难点 教具准备 教学 环节

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时, 体会学习数学的兴趣, 培养学习数学的信心。 分式乘方的运算法则及其应用。 分式乘方的运算法则。 电脑、课件、投影仪 教 学 过 程

一、复习巩固: 1.提问:分式的乘除法法则内容是什么? a+2 1 6y2 ·2 (2)3xy2÷ a-2 a +2a x 师生行为:学生独立完成,并展示其 分式乘方要把分子分母分别成方。
2 2

2. 计算: (1)

(3)

2x 3 x ÷ · 2 5x-3 25x -9 5x+3

-2a b 2 ab 2a c 2 3 例 5 计算:(1)( ) ;(2)( ). 3 ) ÷ 3 ·( 3c -cd d 2a -2a2b 2 (-2a2b)2 4a4b2 解: (1)( )= = 2 . 3c (3c)2 9c a 2b 2a c 2 a 6b 3 2a c2 a 6b 3 d3 c2 3 ) ÷ 3 ·( )= ÷ 3 · 2 = · · 2 = 3 3 9 3 9 d 2a -c d d 4a -c d 2a 4a -cd

(2)(



a 3b 3 . 8cd6 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。 异分母分式相加减, ,先通分,变为同分母的分式,再加减。 上述法则可用式子表示为 a b a±b a c ad bc ad±bc ± = , ± = ± = . c c c b d bd bd bd

例 6 计算:(1)

5x+3y 2x 1 1 + . 2 2 - 2 2 ;(2) x -y x -y 2p+3q 2p-3q

解: (1)

5x+3y 2x 5x+3y-2x 3x+3y 3 = 2 . 2 2 - 2 2 = 2 2 2 = x -y x -y x -y x -y x-y 1 2p-3q 2p-3q (2p+3q)(2p-3q) 2p+3q (2p+3q)(2p-3q)

(2)

1 2p+3q

+

=

+

=

2p-3q+2p+3q 4p = 2 2 . (2p+3q)(2p-3q) 4p -9q

例 7 在图 16.2-2 的电路中,已测定 CAD 支路的电阻是 R1 欧姆,又知 CBD 的电阻 R2 比 R1 大 50 欧姆,根据电学有关定律可知总电阻 R 与 R1、R2 满足关系 式 1 1 1 = + ,试用含有 R1 的式子表示总电阻 R. R R1 R2 1 1 1 1 1 R1+50 R1 2R1+50 1 = + = + = + = .即 R R1 R2 R1 R1+50 R1(R1+50) R1(R1+50) R1(R1+50) R

解:∵

=

2 2R1+50 R1(R1+50) R1 +50R1 .∴R= = . 2R1+50 R1(R1+50) 2R1+50

例 8 计算:(

a 2 1 a b )· - ÷ . b a-b b 4
2 2

2a 2 1 a b 4a 1 a 4 4a 4a 解:( )· - ÷ = 2 · - · = 2 - 2 b a-b b 4 b a-b b b b (a-b) b
2 2 2

4a 4a(a-b) 4a -4a +4ab 4ab = 2 - 2 = 2 = 2 . b (a-b) b (a-b) b (a-b) b (a-b)
-1 2 3 -2 2 2 -2 -3 例 9 计算:(1)(a b ) ;(2)a b ·(a b ) .

8 b6 -2 2 2 -2 -3 -2 2 -6 6 -8 8 b 解:(1)(a b ) =a b = 3 .(2)a b ·(a b ) =a b ·a b = a b = 8 . a a -1 2 3 -3 6

例 10 下列等式是否正确?为什么? (1)am÷an=am·a-n;(2)( a n n -n ) =a b . b

解:(1) ∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n.∴am÷an=am·a-n. (2) ∵( a n an 1 a n n -n ) = n =an· n =anb-n. ∴( ) =a b . b b b b

例 11 纳米是非常小的长度单位, 纳米=10-9 米.把 1 纳米的物体放到乒乓 1 球上, 就如同把乒乓球放到地球上.1 立方毫米的空间可以放多少个 1 立方纳米 的物体? 解:1 毫米=10-3 米,1 纳米=10-9 米. (10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=1018. 1 立方毫米的空间可以放 1018 个 1 立方纳米的物体.


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