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2017届江西省新余市第一中学高三上学期调研考试(一)(开学考试)数学(文)试题(图片版,含解析)


高三调研考试(一) 文科数学参考答案
1.C 【解析】由题意可知 A?B ? A ? (?R B) , A=[-1,2],B= (??,1) , 故 ?R B ? [1, ??) ,所以

A?B ? A ? (?R B) ? [1, 2].
2.B 【解析】 z ?

a 1 1 a?i a 1 ? 2 ? 2

? 2 i ,其对应的点为 ( 2 , 2 ) ,又该点位 a ?1 a ?1 a ? i a ?1 a ?1 a ?1 1 . 2

于直线 y=2x 上,所以 a ?

3.A 【解析】依题意得 a ? 4 ? 2a ? 2 ? 0,? a ? 2 ,又 f(x)为奇函数,故 b+2=0,所以 b=-2, 所以 f (a) ? f (b) ? f (2) ? f (?2) ? 0 .
2 4.B 【解析】由等比数列的性质可知 a2 ? a6 ? a4 ? 16 ,而 a2 , a4 , a6 同号,故 a4 ? 4 ,所以

a3a4a5 ? a3 4 ? 64 .
5.D【解析】 由面面垂直的判定定理可知 A 项正确;因为 m ? ? ,? / / ? , 所以 m ? ? , 又 n ? ? , 故 m ? n ,B 项正确; 若 ? //? , n ? ? , 则 n ? ? , 又m ? ? , ∴m∥n 成立, C 正确; D 中, l 与 ? 有两种可能: m//? , 或 m ? ? ,故 D 错误.应选 D. 6.B 【解析】将 x ? y ? 2 x ? 0 配方得 ( x ?1) ? y ? 1 ,故 C(1,0),所以在圆内且横坐标小
2 2 2 2

于 1 的点的集合恰为一个半圆面,所以所求的概率为

1 . 2
c ? 3 ,所以 a

2 7.D 【 解 析 】 双 曲 线 的 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 b, 故 b ? 4 , 又 e ?

x2 y 2 y 2 x2 2 c2 ? a 2 ? 4 ? 3a 2, ?1, ? ?1, 解得 a ? 2 , 所以该双曲线的标准方程是: ? 或 2 4 2 4
对照各选项,只有 D 不符合. 8.B 【解析】第一次, s=1,k=0, 进入循环 , 第一次循环后, s=2 ? 86 ,k=2, 第二次循环后, s=6 ? 86 ,k=4,第三次循环后,s=22 ? 86 ,k=6,第四次循环后,s=86,k=8,满足条件,应跳出 循环,所以判断框内应为“k>6”或“k>7” ,故选 B. 9.A 【解析】 若 p 为真, 则 ? ? 16 ? 4m ? 0, 解得 m ? 4 ;若 q 为真, f ?( x)=-x ? 4 x ? m ? 0
2

在 R 上恒成立,则 ? ? 16 ? 4m ? 0, 解得 m ? 4 ,所以 p 是 q 的的充分不必要条件.

? 2? ) ? 1 的图象,再把所 个单位得到 y ? 2sin( x ? 3 3 2? 1 ) ?1的 有的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 g ( x) ? 2sin(2 x ? 2 3 7? k? ? 2? ? ? (k ? Z ) ,令 k ? ?1 ,得 x ? ,故 = ? k? (k ? Z ) ,解得 x ? 图象,令 2 x ? 12 12 2 3 2
10.B 【解析】将 f ( x ) 的图象向右平移 选 B.

11.B

【 解 析 】 过 点 P

作 PQ 与 准 线 垂 直 , 垂 足 为 Q , 则

t?

| P A| | P A| 1 ? ? ? |P F| | P Q| ? c o s A P? Q

1 c o s P A F

, 当 t 取得最大值时, ? PAF 必须取得最大

2 值,此时直线 AP 与抛物线相切,设切线方程为 y ? k ( x ? 1) 与 y ? 4 x 联立,消去 x,得

所 以 k ? ?1 , 从 而 PA 的 斜 率 为 ?1 , 此 时 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 , 所 以 ? ?16 ? 16 k 2 ? 0,

?PAF ? 45? ,所以 tmax ?

1 ? 2. cos 45?

12.A 【 解 析 】 根 据 二 次 函 数 的 对 称 性 知 x1 ? x2 ? ?4 且 0 ? x3 ? 1, x4 ? 1 , 由

| ln x3 |?| ln x4 |? a,



x3 x4 ? 1



a x4 ? e ? ( 1 , e 其中 ](

? 0 a ? 1 )所 ,



1 1 ? x4 ? 2 x4 ? (2, 2e] ,所以 x1 ? x2 ? ? x4 ? (?2, 2e ? 4] . x3 x3
13.

4 5

【 解 析 】 由 a//b, 得 ?k ? 4 ? 0 ? k ? ?4 , 即 b = ( 2,-4 ) , 所 以

| 2 a ? b | =( ? 2, ? 4)
14. ?

? ( 2 ,?4 ? )

( ? 4. , 8 )

4 5

1 5

【解析】作出不等式表示的平面区域(如图示:阴影部分):

由?

?3x ? y ? 1 ? 0 2 3 得 A( , ? ) , 15 5 ?3x ? 6 y ? 4 ? 0

由 z ? 3x ? y 得 y ? ?3x ? z ,作直线 l0 : y ? ?3x ,将其向平面区域内平移,易知过点 A 时直 线在 y 轴上截距最小,,所以 zmin ? 3 ? 15.

? ?1 【 解 析 】 原 几 何 体 的 直 观 图 如 图 , 其 体 积 3 1 1 1 4 ? ?1 V ? ? ? 2 ?1?1 ? ? ? ? ?13 ? 3 2 4 3 3
1

2 3 1 ? ?? . 15 5 5

1 1

1

16.

?1? n 1 1 1 1 1 【解析】由 得 2 ? 2 ? 2 ,且 2 ? 1 ,所以数列 ? 2 ? 构成 ?2 ? 2 2n ? 1 a1 an an?1 an?1 an ? an ?
1 1 2 从而得到 an ? , ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , 2 2n ? 1 an

以 1 为首项, 2 为公差的等差数列, 所以

则 bn ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ), , bnbn ?1 ? 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Sn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

17.解析:(1)因为 b tan A, c tan B, b tan B 成等差数列, 所以 b tan ? ? ? 2c ? b ? tan ?. 由正弦定理得 sin ? ?

sin ? sin ? ? ? 2sin C ? sin ? ? ? , cos ? cos ?

又因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 , 所以 sin ? cos ? ? 2sin C cos ? ? cos ? sin ? , 即 sin ? ?? ?? ? 2sin Ccos ? ,所以 sin C ? 2 sin C cos A , 又因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以 cos ? ? (2)由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?
3

1 ? ,而 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? .(6 分) 3 2



所以 4 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc,
2 2

当且仅当 b ? c 时取等号. 即当 b ? c ? 2 时, bc 取得最大值.
]

所以此时 ? ABC 为等边三角形.(12 分)

18.解:(1)证明: 在等腰直角三角形 ABC 中, AC= BC ,点 D 为 AC 的中点, ? CD?
AB , (1 分)

又在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,CD ? 平面 ABC ,
? AA 1 ?CD, (3 分)

又 AA 1 ? AB ? A,?

CD ?平面 ABB1 A 1 , (4 分)

又不论 ? 取何值时, B1E ? 平面 ABB1 A1 , ? CD ? B1E . (6 分)
(2) VC1 ?CDE ? VD ?C1EC ? 而 VC1 ? BCD ?

1 1 1 1 1 S?CC1E ? BC ? ? ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 1 .(9 分) 3 2 3 2 2

1 1 S?BCD ? CC1 ? ? ( 2) 2 ? 3 ? 1 (11 分) 3 6

所以多面体 C1 B-ECD 的体积 V ? VC1 ?CDE ? VC1 ?BCD ? 2 . (12 分) 19.解: (1)由列联表可得 K2=

n(ad ? bc)2 100(20 ? 30 ? 10 ? 40)2 ? ? 0.7937 ? 2.706 .(5 分) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 30 ? 70 ? 60 ? 40
(6 分)

所以没有 90%的把握认为 “支持全面二孩”与“性别”有关. (2)依题意可知,所抽取的 6 位市民中,男性市民有 6 ? (人).(8 分)

20 40 ? 2 (人),女性市民有 6 ? ?4 60 60

(2)设这 6 人中的 2 位男性市民为 a , b , 女性市民为 c, d , e, f ,则从 6 人中任选 2 人的基本事 件为:

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ),(c, d ), (c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ),
共 15 个, 其中恰为一男一女的基本事件有:
[]

(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ), 共 8 个.
所以恰好选到一男一女的概率为 P ?

8 .(12 分) 15

? a 2 ? b2 1 ? , ? 20. 解 : (1) 由 题 意 得 ? a 2 4 解 得 a ? 2,b ? ? 4a ? 8 ?
x2 y 2 ? ? 1 .(4 分) 4 3

3, 所 以椭圆 E 的标准 方程 为

(2) 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 , 直 线 l 即 为 y 轴 , 此 时 直 线 AB 与 直 线 DE 重 合 , 即

DE ? AB 不成立.(5 分)

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入

x2 y 2 ? ? 1 , 消去 y ,得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0,
由 ? ? (16k )2 ?16(3 ? 4k 2 ) ? 0, 得 | k |? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,D ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

1 , (6 分) 2

16k 4 , x1 x2 ? 2 .(7 分) 2 4k ? 3 4k ? 3 uuu r x ? x k ( x1 ? x2 ) x ?x k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? t) , x0 ? 1 2 , y0 ? ? 2 ,故 ED ? ( 1 2 , 2 2 2 2 uu u r AB ? ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 )),

由 DE ? AB ,得 DE ? AB ? 0 ,所以 ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 )) ?( (9 分) 展开化简得 (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4k ? 2kt ? 0, (10 分) 将 x1 ? x2 ? ?

uuu r uu u r

x1 ? x2 k ( x1 ? x2 ) , ? 2 ? t ) =0, 2 2

16k 2 代入,化简得 t ? ? 2 ,又 2 4k ? 3 4k ? 3

1 2 1 | k |? , 所以 t ? ? 2 ? (? , 0) . 2 4k ? 3 2
综上所述 t 的取值范围为 ( ?

1 , 0) . 2
2

(12 分)

21 解析: (1)由题可知 f ( x) ? kx ? ln x , 定义域为 (0, ??) , 所以 f ?( x) ? 2kx ?

1 2kx 2 ? 1 ? , (1 分) x x

若 k ? 0 , f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减.(2 分) 若k ? 0,

f ?( x) ? 2kx ?

1 2kx ? 1 ? ? x x
2

2k ( x 2 ?

1 1 1 )( x ? ) ) 2k ( x ? 2k 2k 2k ? , (3 分) x x

当 x ? (0,

1 (4 分) ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 2k

当 x?(

1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.(5 分) 2k

(2)不等式 f ( x) ? 0 在区间 (0, ??) 上恒成立
2 可转化为: kx ? ln x ? k ?

ln x ln x ,令 ? ( x) ? 2 , 2 x x

则问题可化为 k ? ? ( x)max (其中 x ? (0, ??) ) , 由于 ? ?( x) ? (

ln x 1 ? 2 ln x )? ? ,令 ? ?( x) ? 0 得 x ? e , 2 x x3

当 x ? (0, e ) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增, 当 x ? ( e , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减.

1 1 1 ,因此 k ? , 即 k ? [ , ?? ) .(8 分) 2e 2e 2e 1 ln x 1 ( x ? 2) , 由 k ? [ , ?? ) ,可知 2 ? (9 分) 2e x 2e ln n 1 (n ? 2) ,对 n 依次取值 2,3, ???, n 可得 从而得到 2 ? n 2e ln n 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 4 1 (n ? 2, n ? N ? ) , ? , 2 ? , 2 ? ,?, 2 ? 2 2 2e 3 2e 4 2e n 2e
所以 ? ( x) max ? ? ( e ) ? 对上述不等式两边依次相加得到:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n ? 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? (n ? 2, n ? N * ). (12 分) 2 2 3 4 n 2e
22.解:(1)证明:? BE 与圆 O 相切于点 B ,

? ?CBE ? ?BAC .① ? BE ? DE ? ?BCE ? 90? ? ?CBE ② ? AC 是圆 O 的直径,

? ?BCA ? 90? ? ?BAC ③
由①②③得 ?BCA ? ?BCE , 即 CB 平分 ?ACE .(5 分) (2)由(1)知 ?ABC ? ?BEC ,

? AB ? 6, BE ? 3,

?

BC BE 1 1 ? ? , 即 sin ?CAB ? , AC AB 2 2

??CBE ? ?CAB ? 30? , 故 AC = 4 3, CB ? 2 3 , CE ? 3 .
由切割线定理得 EB2 ? EC ? ED ? 32 ? 3ED ? ED ? 3 3 ,

?CD ? 2 3,? AD ? 6 .(10 分)
23.解:(1)直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 , (1 分)

? ? ? 4 2 sin(? ? ) ? 4 sin ? ? 4 cos ? ,所以 ? 2 ? 4? sin ? ? 4? cos? .
4
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 (或写成 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ) ..(5 分)

? ?x ? 2 ? ? (2)点 P(2,1)在直线 l 上,且在圆 C 内,把 ? ? y ? 1? ? ?
2

2 t 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 , 2 t 2

得 t ? 2t ? 7 ? 0 ,设两个实根为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 2, t1t2 ? ?7 ? 0 ,即 t1 , t2 异号. 所以 | PA | ? | PB | ? | t1 | ? | t2 | ?| t1 ? t2 |? 2 .(10 分) 24.解:(1)不等式 f ( x) ? x ? 1 化为 | x ? 2 | ? | x ? 1| ? x ? 1 ? 0 . 设函数 y ?| x ? 2 | ? | x ? 1| ? x ? 1,

? 2 ? 3 x, x ? 1 ? 则 y ? ? ? x,1 ≤ x ≤ 2 ? x ? 4, x ? 2 ?
∴原不等式的解集是 {x |

,令 y ? 0 ,解得

2 ? x ? 4. 3

2 ? x ? 4} . 3

(5 分)

(2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 1, 当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, 即 1 ? x ? 2 时取等号,故 k ? 1 .(7 分) 假设存在符合条件的正数 a , b ,则 2a ? b ? 1,

?

1 2 1 2 b 4a b 4a ? ? ( ? )(2a ? b) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8, a b a b a b a b
b 4a 1 2 1 1 ? , 2a ? b ? 1 , 即 a ? , b ? 时 取 等 号 , ? ? 的 最 小 值 为 8 , 即 a b a b 4 2

当且仅当

1 2 ? ?4. a b

? 不存在正数 a,b,使 2a ? b ? 1,

1 2 ? ? 4 同时成立.(10 分) a b


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