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数列型不等式的放缩技巧


数列型不等式的放缩技巧
一 利用重要不等式放缩
2 例 1 设 S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ? S n ? (n ? 1) . 2 2

例 2 求证 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1

r />二 部分放缩
例 9 设 an ? 1 ?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. a 3 n 2

2 例 10 设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时证明对所有 n ? 1,

有 (i)an ? n ? 2 ; (ii)

1 1 1 1 ? ??? ? (02 年全国高考题) 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

三 添减项放缩
例 12 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ?
an n

1 (n ? 1,2,?). (Ⅰ)证明 an ? 2n ? 1 对一 an

切正整数 n 成立; (Ⅱ)令 bn ? 庆卷理科第(22)题)

(n ? 1,2,?) ,判定 bn 与 bn ?1 的大小,并说明理由(04 年重

四、分项讨论
例 20 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1.
n

(Ⅰ)写出数列 {an } 的前 3 项 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)证明: 1 1 1 7 对任意的整数 m ? 4 ,有 ? ? ? ? ? (04 年全国卷Ⅲ) a 4 a5 am 8

练习: 1.先求和后放缩 例 1.正数数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ,满足 2 S n ? a n ? 1,试求: (1)数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Bn ,求证: B n ? 2 a n a n ?1

2.放缩后成等差数列,再求和
2 例 2.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1) 求证: Sn ?

an 2 ? an ?12 ; 4 ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? Sn ?1 ? 1 2

(2) 求证:

Sn 2

3.放缩后为裂项相消,再求和 例 5.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2…Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大 于后面某数) , 则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 (n ? 1)n(n ? 1) ?321的逆序数为 an,如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 ,排列 321 的逆序数

a3 ? 6 .
(1)求 a4、a5,并写出 an 的表达式; (2)令 bn ?

an a ? n?1 ,证明 2n ? b1 ? b2 ? ?bn ? 2n ? 3 ,n=1,2,…. an ?1 an


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