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新课程标准数学选修2-1第三章课后习题解答]


新课程标准数学选修 2—1 第三章课后习题 解答 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 练习(P86)
1、略. 2、略. 3、 A?C ? AB ? AD ? AA? , BD? ? AB ? AD ? AA? , DB? ? AA? ? AB ? AD . 练习(P89) 1、 (1) AD ; (2) AG ; (3) MG . 1 1 2、 (1) x ? 1 ; (2) x ? y ? ; (3) x ? y ? . 2 2 3、如图.
A Q C B S R P

练习(P92)
2

(第 3 题)

O

1、 B . 2、解:因为 AC? ? AB ? AD ? AA? , 所以 AC? ? ( AB ? AD ? AA?)2

? AB ? AD ? AA? ? 2( AB ? AD ? AB ? AA? ? AD ? AA?) ? 42 ? 32 ? 52 ? 2 ? (0 ? 10 ? 7.5) ? 85
所以 AC ? ? 85 3、解:因为 AC ? ? 所以 AC ? BD , AC ? AB ,又知 BD ? AB . 所以 AC ? BD ? 0 , AC ? AB ? 0 ,又知 BD ? AB ? 0 .

2

2

2

CD ? CD ? CD
? (C A? A B ? ? C A ? A B? ? a 2 ? b 2? c
2 2 2

2

B )D ? ( ? C A ?A B )B D BD
2

所以 CD ? a2 ? b2 ? c2 .

练习(P94)
a ? b 一定构成空间的一个基底. 否则 c 与 a ? b , 1、 向量 c 与 a ? b , a ? b 共面,
于是 c 与 a , b 共面,这与已知矛盾. 2 、 ( 1 ) O ?? B ? ?O ?B B ??
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2、共面 解 : B ;?

O

??

BA? ? BA ? BB? ? ?OC ? OO? ? c ? b CA? ? CA ? AA? ? OA ? OC ? OO? ? a ? b ? c 1 1 1 1 (2) OG ? OC ? CG ? OC ? CB? ? b ? (a ? c ) ? a ? b ? c . 2 2 2 2

练习(P97)
1、 (1)(?2,7, 4) ; (2)(?10,1,16) ; (3)(?18,12,30) ; (4) 2. 2、略. 3、解:分别以 DA, DC, DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立 空间直角坐标系.

1 则 D(0,0,0) , B1 (1,1,1) , M (1, ,0) , C (0,1,0) 2 1 所以, DB1 ? (1,1,1) , CM ? (1, ? ,0) . 2 1 1? ? 0 DB1 ? CM 15 2 所以, cos ? DB1 , CM ?? . ? ? 15 1 DB1 ? CM 3 ? 1? 4

习题 3.1

A 组(P97)
A' D

1、解:如图, (1) AB ? BC ? AC ; (2) AB ? AD ? AA? ? AC ? AA? ? AC ? CC? ? AC? ; (3)设点 M 是线段 CC ? 的中点, 1 则 AB ? AD ? CC ? ? AC ? CM ? AM ; 2 (4)设点 G 是线段 AC ? 的三等分点,则 1 1 ( AB ? AD ? AA?) ? AC ? ? AG . 3 3 向量 AC, AC?, AM , AG 如图所示. 2、 A . 3、解: AC? ? ( AB ? AD ? AA?)2
2

D'

C' B' G M

C

A

B

(第 1 题)

? AB ? AD ? AA? ? 2( AB ? AD ? AB ? AA? ? AD ? AA?) 1 2 2 ? 52 ? 32 ? 72 ? 2(5 ? 3 ? ? 5 ? 7 ? ? 3? 7 ? ) 2 2 2 ? 98 ? 56 2
所以, AC? ? 13.3 . 4、 (1) AB ? AC ? AB ? AC cos 60? ?

2

2

2

1 2 a ; 2 1 (2) AD ? DB ? AD ? DB cos120? ? ? a 2 ; 2
( 3 )

1 GF ? AC ? GF ? AC cos180? ? ? a 2 2

( GF ?

1 1 AC ? a ) ; 2 2
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1 2 1 1 a ( EF ? BD ? a ) ; 4 2 2 1 2 1 1 (5)FG ? BA ? FG ? BA cos120? ? ? a ( FG ? AC ? a ) ; 4 2 2 1 1 (6) GE ? GF ? (GC ? CB ? BA) ? CA 2 2 1 1 1 ? ( DC ? CB ? BA) ? CA 2 2 2 1 1 1 ? DC ? CA ? CB ? CA ? BA ? CA 4 2 4 1 1 1 ? DC ? CA cos120? ? CB ? CA cos 60? ? BA ? CA cos 60? 4 2 4 1 ? a2 4 5、 (1) 60 ? ; (2)略. 6、向量 a 的横坐标不为 0,其余均为 0;向量 b 的纵坐标不为 0, 其余均为 0;向量 c 的竖坐标不为 0,其余均为 0. 7、 (1)9; (2) (14, ?3,3) . 10 8、解:因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,即 ?8 ? 2 ? 3 x? 0 ,解得 x ? . 3 9、解: AB ? (?5, ?1,10) , BA ? (5,1, ?10) 1 1 9 设 AB 的中点为 M , OM ? (OA ? OB ) ? ( , , ?2) , 2 2 2 1 9 所 以 , 点 M 的 坐 标 为 ( , , ?2) , 2 2
(4) EF ? BC ? EF ? BC cos 60? ?

AB ? (?5)2 ? (?1)2 ? 102 ? 126
10、解:以 DA, DC, DD1 分别作为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角

1 坐标系 O ? xyz .则 C, M , D1, N 的坐标分别为: C (0,1,0) , M (1,0, ) , 2 1 D1 (0,0,1) , N (1,1, ) . 2 1 1 CM ? (1, ?1, ) , D1 N ? (1,1, ? ) 2 2

1 3 所以 CM ? 12 ? (?1)2 ? ( )2 ? , 2 2 1 3 D1 N ? 12 ? 12 ? (? )2 ? 2 2 1 1 ?1 ? 4 ? ?1 cos ? CM , D1 N ?? 9 9 4

由于异面直线 CM 和 D1 N 所成的角的范围是 [0, ] 2

?

1 因此, CM 和 D1 N 所成的角的余弦值为 . 9
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3 1 11、 ( , ? ,3) 2 2

习题 3.1

B 组(P99)

1、证明:由已知可知, OA ? BC , OB ? AC ∴ OA ? BC ? 0 , OB ? AC ? 0 ,所以 OA ? (OC ? OB) ? 0 ,

OB ? (OC ? OA) ? 0 .
∴ OA ? OC ? OA ? OB , OB ? OC ? OB ? OA . ∴

OA ? OC ? OB ? OC ? 0 , (OA ? OB) ? OC ? 0 ,

BA ? OC ? 0 . ∴ OC ? AB . 2、证明:∵ 点 E , F , G, H 分别是 OA, OB, BC , CA 的中点. 1 1 ∴ EF ? AB , HG ? AB ,所以 EF ? HG 2 2 ∴四边形 EFGH 是平行四边形.
1 1 1 1 AB ? OC ? (OB ? OA) ? OC ? (OB ? OC ? OA ? OC ) 2 2 4 4 ∵ OA ? OB , CA ? CB (已知) , OC ? OC . ∴ ?BOC ≌ ?AOC ( SSS ) ∴ ?BOC ? ?AOC ∴ OB ? OC ? OA ? OC ∴ EF ? EH ? 0 ∴ EF ? EH ∴ 平行四边形□ EFGH 是矩形. 3、已知:如图,直线 OA ? 平面 ? ,直线 BD ? 平面 ? , O, B 为垂 足. 求证: OA ∥ BD 证明:以点 O 为原点,以射线 OA 方向为 z 轴正方向, 建立空间直角坐标系 O ? xyz , EF ? EH ?

i, j , k 分别为沿 x 轴、 y 轴、 z 轴的坐标向量,且设

BD ? ( x, y, z) . ∵ BD ? ? . ∴ BD ? i , BD ? j .
∴ BD ? (0,0, z) . ∴ BD ? zk . ∴ BD ∥ k ,又知 O, B 为两个不同的点. ∴ BD ∥ OA .

(第 3 题)

∴ BD ? i ? ( x, y, z) ? (1,0,0) ? x ? 0 , BD ? j ? ( x, y, z) ? (0,1,0) ? y ? 0 .

3.2 立体几何中的向量方法
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练习(P104)
1、 (1) b ? 3a , l1 ∥ l2 ; (2) a ? b ? 0 , l1 ⊥ l2 ; (3) b ? ?3a , l1 ∥ l2 .

2、 (1) u ? v ? 0 , ? ? ? ; (2) v ? ?2u , ? ∥ ? ; (3)

u ?v u v

??

29 29 , ? 与 ? 相交,交角的余弦等于 . 2 247 2 247

练习(P107)
1、证明:设正方形的棱长为 1.

D1F ? DF ? DD1 , AE ? BE ? BA .
因为 D1F ? AD ? (DF ? DD1) ? AD ? 0 ? 0 ? 0 ,所以 D1F ? AD . 因 为 D1F ? AE ? ( DF ? DD1 ) ? ( BE ? BA) ? 0 ?

1 1 ? ?0?0 , 所 以 2 2

D1 F? A. E
因此 D1F ? 平面 ADE . 2、解: CD ? CD ? (CA ? AB ? BD) 2
2

? CA ? AB ? BD ? 2CA ? AB ? 2CA ? BD ? 2 AB ? BD ? 36 ? 16 ? 64 ? 2 ? 6 ? 8 ? cos(180? ? 60?) ? 68
∴ CD ? 68

2

2

2

练习(P111)

1 1、 证明:MN ? AB ? ( MB ? BC ? CN ) ? AB ? ( MB ? BC ? CD) ? AB 2 1 1 ? ( MB ? BC ? AD ? AC ) ? AB 2 2 1 1 1 ? a 2 ? a 2 cos120? ? a 2 cos 60? ? a 2 cos 60? ? 0 2 2 2 ∴ MN ? AB . 同理可证 MN ? CD .
2

2、解:l 2 ? EF ? ( EA? ? A?A ? AF )2 ? m2 ? d 2 ? n2 ? 2mn cos? (或 2mn cos(? ? ? ) )

d 2 ? l 2 ? m2 ? n2

2mn cos? ,

所以 AA? ? d ? l 2 ? m2 ? n2

2mn cos? .

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3、证明:以点 D 为原点, DA, DC, DD? 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 建立坐标系, 得下列坐标: D(0,0,0) , C (0,1,0) , B(1,1,0) , z 轴正方向, 1 1 C ?(0,1,1) , O( ,1, ) . 2 2 1 1 ∵ DO ? BC ? ? (? , ?1, ? ) ? (?1,0,1) ? 0 ∴ DO ? BC ? 2 2 习题 3.2 A 组(P111) 1、解:设正方形的棱长为 1 (1) MN ? CD? ? ( MB? ? B?N ) ? (CC ? ? C ?D?) ?

1 , 2

1 2 1 MN ? CD? ? ? 2 ? 1 , cos? ? 2 ? , ? ? 60? . 2 1 2 1 2 2 (2) MN ? AD ? ( MB? ? B?N ) ? AD ? , MN ? AD ? ?1 ? 2 2 2 1 2 , ? ? 45? . cos? ? 2 ? 2 2 2
2、证明:设正方体的棱长为 1 因为 DB1 ? AC ? (DB ? BB1 ) ? AC ? 0 ? 0 ? 0 ,所以 DB1 ? AC . 因为 DB1 ? AD1 ? (DA 1 ? AD 1. 1?A 1B 1 ) ? AD 1 ? 0 ? 0 ? 0 ,所以 DB 因此, DB1 ? 平面 ACD1 . 3、证明: ∵

OA ? BC ? (OC ? OB) ? OA ? OC OA cos ? ? OB OA cos ? ? 0



∴ OA ? BC .

4、证明: (1)因为 AC 1 ? LE ? ( A 1 A ? AC) ? LE ? 0 ? 0 ? 0 , 所以 AC ? LE . 1 因为 AC 1 ? EF ? ( A 1B ? BC) ? EF ? 0 ? 0 ? 0 , 所以 AC ? EF . 1 因此, AC ? 平面 EFGHLK . 1

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(2)设正方体的棱长为 1 因为 AC 1 ? DB 1 ? (A 1 A ? AC) ? ( DB ? DB 1 ) ? ?1,

AC ? DB1 ? ( 3) 2 ? 3 1
1 所以 cos? ? ? . 3 因此 DB1 与平面 EFGHLK 的
所成角 ? 的余弦 cos ? ?

2 2 . 3
2

5、解: (1) DE 2 ? DE ? DE ? DE ? ( DA ? AB ?

1 1 AC ? AB ) 2 2 2

1 1 1 1 1 ? ( OA ? AC ? AB )2 ? (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1) ? 2 2 2 4 2 2 所以, DE ? 2 1 1 1 1 1 3 (2) AE ? AO ? ( AC ? AB ) ? AO ? ( ? ) ? , AE ? AO ? 2 2 2 2 2 2 1 6 3 , sin ? ? cos? ? 2 ?? 3 3 3 2 6 6 点 O 到平面 ABC 的距离 OH ? OA sin ? ? 1? . ? 3 3 6、解: (1)设 AB ? 1 ,作 AO ? BC 于点 O ,连接 DO . 以点 O 为原点,OD, OC , OA 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系,得下列坐标: 1 3 3 3 O(0,0,0) , D( ,0,0) , B (0, ,0) , C (0, ,0) , A(0,0, ) . 2 2 2 2 3 3 3 3 ∴ , DO ? DA ? (? ,0,0) ? (? ,0, ) ? 2 2 2 4 18 2 , cos? ? . DO ? DA ? 4 2 ∴ AD 与平面 BCD 所成角等于 45 ? .
(2) BC ? DA ? (0,1,0) ? (?

角等于 90 ? . (3)设平面 ABD 的法向量为 ( x, y,1) ,

3 3 ,0, ? ) ? 0 . 2 2

所以, AD 与 BC 所成

1 3 则 ( x, y,1) ? AB ? ( x, y,1) ? (0, , ? ) ? 0 , 2 2 3 3 ( x, y,1) ? AD ? ( x, y,1) ? ( ,0, ? ) ? 0 . 2 2 解得 x ? 1 , y ? 3 显然 (0,0,1) 为平面 BCD 的法向量.

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( 0 , 0 ,?1 ) ( 1 , ?3 , , 1cos ) ? 1?
因 此 , 二 面 角

1 5 . ? 1? 3 ?1 5 A ? BD ? C 的 余 弦

cos ? ? cos(? ? ? ) ? ?

5 . 5

7、解:设点 B 的坐标为 ( x, y, z) ,则 AB ? ( x ?1, y ? 2, z) . x ?1 y ? 2 z ? ? . 因为 AB ∥ ? ,所以 ?3 4 12 因为 AB ? 2 ? ? 26 ,所以 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? 26 . 解得 x ? ?5 , y ? 6 , z ? 24 ,或 x ? 7 , y ? ?10 , z ? ?24 .

8 、解:以点 O 为原点建立坐标系,得下列坐标: A(a, ?a,0) , B(a, a,0) , C (?a, a,0) , a a h D(?a, ?a,0) , V (0,0, h) , E ( ? , , ) . 2 2 2 3a a h a 3a h (? , ? , ) ? ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ? h ? 6a . (1) cos ? BE, DE ?? h2 ? 10a 2 BE DE (2) VC ? BE ? (?a, a, ?h) ? (?

3a a h h2 , ? , ) ? a 2 ? ? 0 , h 2 ? 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 h ? 6a ?4a 1 cos ? BE , DE ?? 2 ? ?? 2 2 h ? 10a 12a 3

A(0,0,0) , B(0,1,0) , 9、 解: 以点 A 为原点建立坐标系, 得下列坐标: 1 1 1 O (? , , ) , 2 2 2 1 A1 (0,0,1) , D1 (?1,0,1) , M (0,0, ) . 2 因为 OM ? AA 1 ? 0 , OM ? BD 1 ?0,
所以 OM ? AA1 , OM ? BD1 , OM ?

1 1 2 . ? ? 4 4 2

10 、解:以点 A 为原点建立坐标系,得下列坐标: A(0,0,0) , B(0,7,0) , C (0,0,24) , D( x, y, z ) . 因为 BD ? AB ? ( x, y ? 7, z) ? (0,7,0) ? 0 ,所以 y ? 7 . 由 BD ? x 2 ? z 2 ? 24 , CD ? x 2 ? 7 2 ? ( z ? 24) 2 ? 25
新课程标准数学选修 2—1 第三章课后习题解答 (第 8 页共 12 页)

解得 z ? 12 , x ? 12 3

cos? ?

BD ? AC BD ? AC

?

1 , ? ? 60? 2

因此,线段 BD 与平面 ? 所成的角等于 90? ? ? ? 30? . 11 、解:以点 O 为原点建立坐标系,得下列坐标: O(0,0,0) , 3 A(4,0,0) ,B(0,3,0) ,O?(0,0,4) , A?(4,0,4) ,B?(0,3,4) ,D (2, , 4) , 2 3 9 P(0,3, z ) .由 OP ? BD ? (0,3, z ) ? (2, ? , 4) ? 0 ,解得 z ? . 2 8

9 PB 8 3 所以, tan ? ? ? ? . OB 3 8
12、解:不妨设这条线段 MN 长为 2,则点 M 到二面角的棱的距 离 MP ? 1 ,点 N 到二面角的棱的距离 NQ ? 1 , QM ? PN ? 3 ,

PQ ? 2 .
PQ ? (MP ? PQ ? QN ) PQ 2 , ? ? 45? . cos? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 PQ ? MN PQ ? MN
2

习题 3.2
1、解: S?ABC ?

B 组(P113)

1 ? 2? 2 ? 2 , 2 AD ? BE ? ( AB ? BD) ? BE ? 2 2 cos45? ? 0 ? 2 ,

AD ? BE ? AD 2 cos? ?
VABCD

20 AD ,AD ? 20 ,BD ? 20 ? 4 ? 4 . 10 1 8 ? ? 4? 2 ? 3 3

2、解: (1)以点 B 为原点建立坐标系,得下列坐标: B(0,0,0) ,

A(1,0,0) , C (0,0,1) , F (1,1,0) , M (

2 2 a,0,1 ? a) , 2 2

2 2 a, a,0) . 2 2 2 2 2 MN ? (0, a, a ? 1)2 ? a 2 ? 2a ? 1 , MN ? a 2 ? 2a ? 1 . 2 2 2 2 1 2 ) ? ,当 a ? (2) a 2 ? 2a ? 1 ? (a ? 时, MN 的长最小. 2 2 2 N(

新课程标准数学选修 2—1 第三章课后习题解答 (第 9 页共 12 页)

1 1 1 2 时, MN 的中点为 G ( , , ) , 2 4 4 2 GA ? GB 1 所求二面角的余弦值 cos? ? ?? . 3 GA ? GB
(3)当 a ?

3、证明:设 AE ? BF ? b . 以点 O 为原点建立坐标系,得下列坐 标: O(0, 0, 0) , A(0, a,0) , B(?a, a,0) , C (?a,0,0) , O?(0,0, a) , A?(0, a, a) , B?(?a, a, a) , C?(?a,0, a) , E (?b, a,0) , F (?a, a ? b,0) . (1) A?F ? C?E ? (?a, ?b, ?a) ? (a ? b, a, ?a) ? 0 , A?F ? C ?E . 1 1 1 1 (2) S?BEF ? b(a ? b) ? [ a 2 ? ( a ? b) 2 ] ,当 a ? 2b 时, 2 2 4 2 S?BEF 最大,三棱锥体积最大. 此时, EF 的中点 G 与点 B 的连线

BG ?

BB? 2 ?2 2 . a , tan ? ? BG 4

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第三章 复习参考题 A 组(P117)
1、 B . 2、 (1) AP ? (3) AN ?

1 1 1 a? b? c; 2 2 2

(2) AM ?

1 a?b?c ; 2 3、证明:因为

1 1 a?b? c ; 2 2 1 1 4 (4) AQ ? a ? b ? c . 5 5 5 6 ?0 2

AM ? BA1 ? ( AB ? BC ? CM ) ? ( BA ? AA1 ) ? AB ? BA ? CM ? AA1 ? ?3 ?
所以 AM ? BA1 4、解: (1)以点 C 为原点建立坐标系,得下列坐标:

1 3 C (0,0,0) ,A(a,0,0) , B ( a, a,0) , A1(a,0, 2a) , C1(0,0, 2a) . 2 2 3 3 (2)点 C1 在侧面 ABB1 A1 内的射影为点 C2 ( a, a , 2a ) , 4 4 AC1 ? AC2 3 , ? ? 30? . cos? ? ? 2 AC1 ? AC2

5、解: (1) cos? ?

AB ? AC AB ? AC

?

1 , ? ? 60? , S ? AB ? AC sin? ? 7 3 . 2

(2)设 a 的坐标为 ( x, y, z) ,则 ( x, y, z) ? (?2, ?1,3) ? 0 , ( x, y, z ) ? (1, ?3,2) ? 0 解得 a ? (1,1,1) ,或 a ? (?1, ?1, ?1) 6、解: cos

?
4

?

OA ? OC OA ? OC ?

?

m?n 2 6 ? ,m?n ? ; 2 2 3

cos

?
4

?

OB ? OC OB ? OC

n? p 2 6 ? ,n? p ? . 2 2 3

m2 ? n2 ? n2 ? p2 ? 1 ,解得 n ?
cos ?AOB ? OA ? OB OA ? OB ?

6? 2 . 4 n2

m2 ? n 2 n 2 ? p 2

?

2? 3 . 4

新课程标准数学选修 2—1 第三章课后习题解答 (第 11 页共 12 页)

7、 D . 8、 C . 9、解:以点 C 为原点建立坐标系,得下列坐标:

1 3 C (0,0,0) , A(1,0,0) , B( , ,0) , 2 2 1 3 1 3 , 2) , M ( , ,0) , N (0,0, z ) . C1 (0,0,2) , B1 ( , 2 2 4 4 1 AB1 ? MN ? 0 ,得 z ? . 8 1 1 ∴点 N 坐标为 (0,0, ) ,即点 N 在 CC1 上, CN ? . 8 8
10、 (1)证明:因为 EF ? CF ? (ED ? DF ) ? CF ? ED ? CF ? DF ? CF ? 0 , 所以 EF ? CF . 1 (2)解:因为 EF ? CG ? ( ED ? DF ) ? (CB ? BG ) ? , 4

cos? ?

EF ? CG EF ? CG

?

15 , 15

所以, EF 与 CG 所成角的余弦值为 (3)解: CE ? 1 ?

15 . 15

1 5 . ? 4 2

11、解:以点 C 为原点建立坐标系,得下列坐标: C (0,0,0) , A(1,0,0) ,B(0,1,0) , A1 (1,0,2) ,B1 (0,1,2) ,C1 (0,0,2) ,

1 1 M ( , , 2) , N (1,0,1) . 2 2 (1) BN ? 1 ? 2 ? 3 .
(2) cos ? BA1 , CB1 ??

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

30 . 10

1 1 (3)因为 A1B ? C1M ? (?1,1, ?2) ? ( , ,0) ? 0 ,所以 A1B ? C1M . 2 2
12、解:以点 O 为原点建立坐标系,得下列坐标:

2 2 ,0,0) , B(0, ,0) , 2 2 2 2 2 2 2 ,0, ) , F (? C (? ,0,0) , E ( , ,0) . 4 4 2 4 4
O(0,0,0) , A(

新课程标准数学选修 2—1 第三章课后习题解答 (第 12 页共 12 页)

1 1 cos? ? ? 8 ? ? , ?EOF ? 120? . 2 OE ? OF 1 ? 1 2 2 OE ? OF ?
13、证明: (1)因为 FE ?

1 1 ( BA ? BC ) ? CA , 2 2

1 1 HG ? ( DA ? DC ) ? CA 2 2 所以 FE ? HG . 因此 E , F , G, H 四点共面. ( 2 )因为 BD 在平面 EFGH 之外, BD ∥ EH ,所以 BD ∥平面 EFGH . (3) OM ? 1 (OE ? OG ) ? 1 [ 1 (OA ? OB) ? 1 (OC ? OD)] ? 1 (OA ? OB ? OC ? OD) .
2 2 2 2 4

第三章 复习参考题 B 组(P119)
1 、 解 : ( 1 )

AC? ? AC? ? AC? ? ( AB ? BC ? CC?)2 ? 2a 2 ? 2ab ? b 2 .
(2)设 BD? 与 AC 的夹角为 ? , 则

cos? ?

BD? ? AC ?ab b b 4a 2 ? 2b2 . ? ?? ?? 4a 2 ? 2b2 BD? ? AC 2 a 2 ? b 2 ? 2a 4a 2 ? 2b2

由于 BD? 与 AC 所成的角的范围为 [0, ] , 2 因此直线 BD? 与 AC 夹角的余弦值为 2、 (1)证明:因为

?

b 4a 2 ? 2b2 . 4a 2 ? 2b2

AC 1 ? AE ? ( A 1B ? BC) ? AE ? BC ? AE ? BC ? ( AB ? BE) ? 0 所以 AC ? AE ; 1
因 为

AC 1 ? AF ? ( A 1D ? DC) ? AF ? DC ? AF ? BC ? ( AD ? DF ) ? 0 所以 AC ? AF , 因此, AC ? 平面 AEF . 1 1
(2)解:以点 A1 为原点建立坐标系,得下列坐标:

A1 (0,0,0) , B1 (4,0,0) , C1 (4,3,0) , D1 (0,3,0) , A(0,0, ?5) , B(4,0, ?5) , C (4,3, ?5) , D(0,3, ?5) .
设平面 D1B1BD 的法向量为 a ? ( x, y,0) ,则 a ? B1D1 ? 0 ,得 4 x ? 3 y . 令 x ? 3, y ? 4 ,则 a ? (3,4,0) , 所以 cos? ?

a ? A1C a ? A1C

?

12 2 25

3、解: (1) V ?

1 . 4
新课程标准数学选修 2—1 第三章课后习题解答 (第 13 页共 12 页)

(2)以点 A 为原点建立坐标系,得下列坐标: 1 A(0,0,0) , B(0,1,0) , C (1,1,0) , D ( ,0,0) , S (0,0,1) 2 设平面 SDC 的法向量为 a ? ( x, y,1) ,则 a ? SC ? 0 , a ? SD ? 0 ,得 x ? 2, y ? ?1. 因此 a ? (2, ?1,1) .

cos? ?

a ? AD a ? AD

?

6 . 3

新课程标准数学选修 2—1 第三章课后习题解答 (第 14 页共 12 页)


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