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等差等比数列复习


数 列 复 习 要 点

一、数列 1、 符号表示: 数列 ?an ?, ?bn ?等 2、 通项公式: an ? f ?n? 是函数解析式,定义域是 N ? 的子集 3、 前 n 项和 S n

? a1 ? a2 ? ? ? an

4、

,n ?1 ? S1 an ? ? ?S n ? S n?1 , n ? 2

二、 等差数列 ?an ? ,首项记为 a 1 ,公差为 d 1、 定义: an

? an ?1 ? d ,n ? 2,n ? N ?
? a1 ? ?n ? 1? d ,n ? N ?

2、 通项公式: an

x? y , 3、 等差中项: 2 数列?a n ?是等差数列 ? a n 是a n ?1 , a n ?1的等差中项 ,n ? 2 A是x, y的等差中项 ? A ?
4、 前 n 项和公式: S n 5、

?

n?a1 ? a n ? n?n ? 1? , S n ? na1 ? d 2 2

an , S n 的图象; a1 , an , n, d , S n 五个量知三求二
, m ,n ?

6、 等差数列的常用性质:1) an ? am ? ?n ? m?d
1

N?

2)若 p, q, m, n ? N ? , p ? q ? m ? n ,则 a p ? aq ? am ? an (等和性) 特别地,若 p, q, m,? N ? , p ? q ? 2m ,则 a p ? aq ? 2am ,也可以认为

am是a p,aq的等差中项
3)序号成等差的项组成等差数列 4) Sn,S2n - Sn,S3n - S2n, ?组成等差数列,公差是 n d 7、常用结论 1) ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b, k , b是常数, k ?d 2) ?an ? 是等差数列 ? S n ? An ? Bn, A, B是常数 , A ?
2

2

d 2

3)若 Sn ? An 2 ? Bn ? C, A, B是常数, C ? 0 , 则该数列从第二项开始组成等差数列 4){an }为等差数列 ? S 2 n?1 ? ? 2n ? 1? an 5) 若数列 ?an ? 为等差数列,则数列 ?

? Sn ? ? 为等差数列 ?n?

三、等比数列 ?an ? ,首项记为 a 1 ,公比为 q , q ? 0, an ? 0

1、定义:

an ? q, n ? 2, n ? N ? an?1

2、通项公式: an 3、等比中项:

? a1q n?1 , n ? N ?

G是x, y的等比中项 ? G 2 ? xy; ?xy ? 0? an 是a n?1 , an?1的等比中项 , n ? 2, n ? N

4、前 n 项和公式:

q ? 1时, S n ? na1

a1 1 ? q n q ? 1时, S n ? 1? q
5、等比数列的常用性质 1) an

?

?

? am ? qn?m , m ,n ? N ?
? am an (等积性)
2

2)若 p, q, m, n ? N ? , p ? q ? m ? n ,则 a p aq

特别地,若 p, q, m,? N ? , p ? q ? 2m ,则 a p aq ? am ,也可以认为

am是a p,aq的等比中项
2

3)序号成等差的项组成等比数列 4) Sn,S2n - Sn,S3n - S2n, ) ?组成等比数列,公比是 q n ( q ? ?1时, n不为偶数) 四、 数列的通项与求和 (一)求通项公式 an ? f ?n? 的常见题型

1.利用

Sn 与 an 的关系解题

,n ?1 ? S1 an ? ? ?S n ? S n?1 , n ? 2
3.

2. an

? an?1 ? f ?n?,n ? 2 ,求 an ; ? kan ? b, n ? 1?k ? 0,1? ,求 an ;

an ? f ?n ?, n ? 2 ,求 an an?1
5.an?1

4. an?1

?

kan , n ? 1 ,求 an ban ? k

6.发现周期性 (二) 求前 n 项和 S n 的常见方法 1. 2. 倒序求和-----------比如:等差数列的求和方法 错位相减-------比如:等比数列的求和方法;

?bn ?是等比数列, 是等差数列, 形如 cn ? an bn, ?an ?
3. 拆项重组---------- cn ? an ? bn, ?an ?? , bn ? 是等比数列或等差数列 裂项相消-------- 比如:

4.

1 1 1 1 1? 1 1 ? ? ? , ? ? ? ? n?n ? 1? n n ? 1 ?n ? 1??n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ?
1 n ?1 ? n ? n ? 1 ? n 等等

?

2n 1 1 ? n ? n?1 n n ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

??

?

两个运算代表:分母有理化,通分逆运算

3


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