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高一数学必修1知识点归纳


小榄中学 2014-2015 学年第一学期高一数学学习资料

编写:何少军

审核:宋长鸿

高一上学期数学基础知识汇编(必修 1 必记)班级

姓名

1、集合的概念:某些研究对象的全体叫集合,用大写字母表示;集合中的每个对象叫做这个集合的元 素,用小写字母表示; 2、集合的表示

方法有: (1)列举法(把集合的所有元素一一列举并写在大括号内) ; (2)描述法(把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内) ; 3、集合中元素的特征有无序性、互异性、确定性; 4、元素与集合的关系有:属于( ? )和不属于( ? ) ; 5、集合分类: (1)把不含任何元素的集合叫做空集( ? ) ; (3)含有无穷个元素的集合叫做无限集; 6、常用数集及其记法: (1)自然数集 (3)整数集 (2)含有有限个元素的集合叫做有限集;

?0,1, 2,3, ? :记作 N ;
? 3, ?2, ?1,0,1,2,3,

(2)正整数集

?1, 2,3, ? :记作 N ?或N? ;

?

(4)有理数(包括整数和分数)集:记作 Q ; ? :记作 Z ;

(5)实数(包括有理数和无理数)集:记作 R ; 7、集合与集合的关系有:子集(包含于, ? ) 、真子集(真包含于,

?) 、相等(=) ;

8、子集的概念:如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集, 记作

A? B ;

9、真子集的概念:若集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作

A? B ; (真子集是除本身以外的子集)

10、子集、真子集的性质: (1)传递性:若

A ? B , B ? C ,则 A ? C ;

(2)空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集; (3)任何一个集合是它本身的子集; (在写子集时首先注意两个特殊的子集----空集和它本身)

1

小榄中学 2014-2015 学年第一学期高一数学学习资料 11、集合相等:

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(1)若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同,则称集合 A 等于集合 B,记作 (2)

A?B;

A ? B, B ? A ? A ? B (即互为子集) 。
n n

12、n (n ? N ) 个元素的集合其子集个数共有 2 个;真子集有 2 非空子集有 2
n

? 1 个(比子集少了它本身) ;

? 1 个;非空的真子集有 2n ? 2 个;

13、集合的运算: (1)交集(公共元素) :A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; (2)并集(所有元素) :A∪B={x|x∈A 或 x∈B}; (3)补集(剩余元素) : CU 14、集合运算中常用的结论: ① ③

A ={x| x ?

A

且 x∈U},U 为全集。

A? B ? A B ? A
A A? A; A



② ④

A? B ? A B ? B ;

A? A;

A ? ? ?; A ? ? A 。

注意: 集合问题的处理要养成画数轴的好习惯, 在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用. 15、函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 的一个函数。记作: 与 x 的值相对应的

f

,使对于集合 A 中的任意

f ( x) 和它对应,那么就称 f

:A→B 为从集合 A 到集合 B

y ? f ( x), x ? A 。其中: x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;

y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。

注意;我们现在用符号

y ? f ( x) 来表示函数,其中 f ( x) 表示与 x 对应的函数值,而不是 f

乘x。

16 、求函数定义域的方法: ( 1 )分式

1 中分母 f ( x) ? 0 ; ( 2 )二次根式 f ( x)

f ( x) 中被开方式

f ( x) ? 0 ; (3)对数式 log f ( x ) g ( x) 中底数 f ( x) ? 0且f ( x) ? 1 ,真数 g ( x) ? 0 ; (4)有几个
特殊运算时取其公共部分(交集) ; (5)函数的任何问题的处理都要注意定义域优先原则。 17、求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法(针对格式化定义的函数)----设、代、解、代; 2

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(2)换元法(针对复合型函数) ; (3)配方法(针对二次型函数) 。 18、区间的概念: (设 a , b 是两个实数且 a 区 间 :

?b)

(1)闭区间:

(2)开 ? x a ? x ? b? ? ? a, b? ;

? x a ? x ? b? ? ? a, b ?

;( 3 ) 半 开 半 闭 区 间 :

? x a ? x ? b? ? ? a, b ?



(4)实数集 R 可以用区间 (??, ??) 表示。 (5)区间表示的规则是:①从 ? x a ? x ? b? ? ? a, b? ; 小到大,逗号隔开;②有等号用中括号,没等号用小括号。 19、 同一函数: 如果两个函数的定义域和对应关系完全相同, 即称这两个函数相等 (或者说是同一函数) 。 20、函数的三种表示法是:解析法;图象法;列表法。 21、分段函数:按自变量 x 取值的不同情况将函数的对应关系(或者是解析式)用不同的式子分段表 示的函数,处理的方法是分段处理;复合函数的处理方法是从里向外层层剥离。 22、函数的单调性: (1)增函数定义: 若 x1 (2)减函数定义:若 x1 。 ? x2 ? D ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;增函数图象上升(一致)

。 ? x2 ? D ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;减函数图象下降(不一致)

(3)用定义法证明(或判断)函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 取值: 任取两个 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差:f(x1)-f(x2); ○

3 变形: 4 判号: ○ (通常是因式分解、配方和通分等) ; ○ (即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 下结论: ○ (即指出函数 f(x)在区间 D 上的单调性) . 23、函数最大(小)值: ( 1) 定义: 设函数 设函数

y ? f ( x) 满足 f ( x) ? M

, 则 M 是函数

y ? f ( x) 的最大值, 记作 ymax ? M y ? f ( x) 的最小值,记作 ymin ? M

; ;

y ? f ( x) 满足 f ( x) ? M

,则 M 是函数

(2)求法:①利用函数的单调性求解;②通过换元、配方、反解等求函数的值域;③利用不等式性质 求;④二次函数利用性质求等。 24、函数的奇偶性: (1)奇函数:对于函数 (2)偶函数:对于函数

f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 。图象关于原点对称。 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) 。图象关于 Y 轴对称。
3

(3)奇(偶)函数的定义域的要求是定义域要关于原点对称,否则就是非奇非偶函数;

小榄中学 2014-2015 学年第一学期高一数学学习资料 (4)奇函数在原点两侧的单调性一致且在 x (5)偶函数在原点两侧的单调性相反且有 25、初中学过的几种函数的知识归纳: 正比例函数:①解析式

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? 0 处有定义时必有 f (0) ? 0 ;

f ( x) ? f ( x ) 成立。

y ? kx(k ? 0) ;②是奇函数;③在 k ? 0 时是增函数, k ? 0 时是减函数。
y? k (k ? 0) ;②是奇函数;③在 k ? 0 时是增函数, k ? 0 时是减函数。 x

反比例函数:①解析式 一次函数:①解析式 ③在 k

y ? kx ? b(k ? 0) ;②在 b ? 0 时是奇函数,在 b ? 0 时是非奇非偶函数;

? 0 时是增函数, k ? 0 时是减函数。

二次函数:①解析式

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;②在 b ? 0 时是偶函数,在 b ? 0 时是非奇非偶函
? 0 时是左减右增, a ? 0 时是左增右减。

数;③单调性与 a 和对称轴有关:在 a ④其它性质: ( 1 )二次函数

y ? ax2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ?

b ,顶点坐标是 2a

? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ?。 ? ?
(2) 用待定系数法求二次函数的解析式时, 解析式的设法有三种形式: 一般式:f ( x) ? ax 零点式:
2

? bx ? c ,

f ( x) ? a( x ? x1 ) ? ( x ? x2 ) ,顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k ,顶点坐标是 (?h, k ) 。 y ? ax2 ? bx ? c 图象:
X 轴 有 2 个交点; 若 ax
2

(3)二次函数 ①当 ?

? b2 ? 4ac ? 0 时, 图象与
。②当

? bx ? c ? 0 有两根 x1 , x2 ,则
X 轴只有 1 个交点。③当

b c x1 ? x2 ? ? ; x1 x2 ? a a

? ? b2 ? 4ac ? 0 时 , 图 象 与

? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 X 轴没有交点。
26、指数运算与指数函数: ①指数的性质与运算法则: a
m

? a n ? a m? n ;

n am n ? a m ? n ; ? a m ? ? a mn ; ? ab ? ? a n b n ; n a

4

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m n

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an ?a? ? ? ? bn ?b?
n

n



a ? 1(a ? 0) a
0

?n

1 ? n a

;②根式的性质:

n

a ?a
m



( n a )n ? a



? a, (n是奇数时) an ? ? ; a , ( n 是偶数时) ?
y ? a x (a ? 0, a ? 1) 叫做指数函数。
0 ? a ?1

② 指数函数的定义:函数

③指数函数的图象和性质:

a ?1






(1)定义域为 R ,值域为 (0, ??) 。 (2)图象都经过点 (0,1) ,即当 x

? 0 时, y ? 1。
当x



当x 当x

? 0 时, y ? 1 ; ? 0 时, 0 ? y ? 1 。

? 0 时, 0 ? y ? 1 ; ? 0 时, y ? 1 。

当x



?? ?,??? 上是 增 函数。
x



?? ?,??? 上是 减 函数。

27、对数运算与对数函数: ①指数与对数的相互转化: a

? N ? x ? log a N (其中 a ? 0 且 a ? 1 ) ,读做以 a 为底 N
? 0;



对数,其中 a 叫底数, N 叫真数,且 N ②对数基本性质: ③运算性质: (a

log ? ; 0 loga a ? 1 ;零和负数没有对数。 a 1

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0)
lo g ? aM laN og ;
5

M ? ) loga (M N ) ? loga M ? loga N ; l o g a ( N

小榄中学 2014-2015 学年第一学期高一数学学习资料 (这些性质均保持底数不变) loga M n ? n loga M 。 ④对数恒等式: (a

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? 0 且 a ? 1 , M ? 0, N ? 0, b ? 0, b ? 1 )

log a N ? N ; loga an ? n 。 N ? ab ? b ?l o g a N; a

⑤对数的换底公式:log a b ?

log c b ; (c>0,c ? 1);loga b ? logb c ? loga c(取头取尾去中间) log c a

⑥特殊的对数:常用对数(以 10 为底的对数) , log10

N 简记为 lg N



自然对数(以无理数 e ? 2.71828 ??? 为底的对数) , log e ⑦对数函数: (1)定义式:函数

N 简记为 ln N



y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 叫做对数函数。
0 ? a ?1

(2)对数函数的图象和性质:

a ?1






(1)定义域 (0, ??) ,值域为 R 。 (2)图象都经过点 (1, 0) ,即当 x

? 1 时, y ? 0。
? 1 时, y ? 0 ; ? x ? 1 时, y ? 0 。



当x 当0

? 1 时, y ? 0 ; ? x ? 1 时, y ? 0 。

当x 当0



?0,??? 上是 增 函数。



?0,??? 上是 减 函数。
y ? x 对称;

(3)指数函数

y ? a x 与对数函数 y ? log a x (对底数 a 的要求都是 a ? 0, a ? 1 )互为反函数;
y 表示 x ) ,平反(将 x 和 y 互换) 。
6

①反函数的特点:运算互逆,定义域和值域互换,图象关于直线 ②求反函数的方法:造反(用 28、幂函数

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①幂函数的定义:形如 ②性质:当 ?

。 y ? x? 的函数叫做幂函数( ? 为常数, x 是自变量)

? 0 时,幂函数图象都过点 (0, 0), (1,1) 点、且在第一象限都是增函数;当 ? ? 0 时,

幂函数图象总是经过点 (1,1) 点、且在第一象限都是减函数。 29、函数与方程的关系: (1)函数的零点的概念:对于函数 实数

y ? f ( x) ,我们把使方程 f ( x) ? 0 的

x 叫做 函数 y ? f ( x) 的 零点。 即函数 y ? f ( x) 有 零点 ? 方 程 f ( x) ? 0 有 解 ? 函数

y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点。 (结合函数的图象用数形结合法求解)
(2)零点存在的条件:如果函数 在区间

y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象是连续的曲线,则函数 y ? f ( x) f (b) ? 0 ;

? a, b? 上存在零点的条件是 f (a)

(3)求函数

y ? f ( x) 零点的方法:①直接解方程 f ( x) ? 0 ;②利用图象求其与 x 轴的交点(交点 f ( x) ? 0 变为两个函数,通过图象看它们的交点情况(同时可以知道

的横坐标即是零点) ;③将方程

零点的个数) ;④可通过二分法求函数的零点的近似值。 30 、常见的 8 种函数模型: ( 1 )一次函数模型:

f ( x) ? kx ? b(k ? 0) ; ( 2)反比例函数模型:

f ( x) ?

k 2 ? b(k ? 0) ; (3)二次函数模型: y ? ax ? bx ? c(a ? 0) (通常要求最值) ; (4)指 x

数 型 函 数 :

f ( x) ? a b x ? c(a ? 0, b ? 0, b ? 1)

;( 5 ) 对 数 型 函 数 模 型 :

n (6) 幂函数模型: f ( x) ? a x ? b(a ? 0, n ? 1) ; f ( x) ? m loga x ? n(m ? 0, a ? 0, a ? 1) ;

(7) “勾”函数模型:

? g ( x), x ? M ; k f ( x) ? x ? (k ? 0) ; (8)分段函数模型: f ( x) ? ? 。 x ? h( x), x ? N ;

结束语:希望同学们认真复习,争取在期中考试中取得好成绩,开心过好高一每一天! 请记住:不拼不博,等于白活;付出才有回报! ! 祝大家学习进步! ! !

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