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不定积分换元法例题


不定积分换元法例题

20012-12

1

【不定积分的第一类换元法】 已知

? f (u )du ? F (u ) ? C ? f (? ( x))? '( x)dx ? ? f (? ( x))d? ( x)
? F (? ( x)) ? C
【凑微分】

>
求 g ( x)dx ?

?

? ? f (u )du ? F (u ) ? C 【做变换,令 u ? ? ( x) ,再积分】
【变量还原, u ? ? ( x) 】

【求不定积分 g ( x ) dx 的第一换元法的具体步骤如下: 】 (1)变换被积函数的积分形式: g ( x ) dx ? (2)凑微分: g ( x)dx ?

?

?

? f (? ( x))? '( x)dx

?

? f (? ( x))? '( x)dx ? ? f (? ( x))d? ( x) ? ? f (? ( x))? '( x)dx ? ? f (? ( x))d? ( x) ? ? f (u)du

(3)作变量代换 u ? ? ( x) 得: g ( x)dx ? (4)利用基本积分公式

? f (u )du ? F (u ) ? C 求出原函数:

? g ( x)dx ? ? f (? ( x))? '( x)dx ? ? f (? ( x))d? ( x) ? ? f (u )du ? F (u ) ? C
(5)将 u ? ? ( x) 代入上面的结果,回到原来的积分变量 x 得:

? g ( x)dx ? ? f (? ( x))? '( x)dx ? ? f (? ( x))d? ( x) ? ? f (u )du ? F (u ) ? C ? F (? ( x)) ? C
【注】熟悉上述步骤后,也可以不引入中间变量 u ? ? ( x) ,省略(3)(4)步骤,这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】
9 9 9 1、 (5 x ? 7) dx ? (5 x ? 7) ?dx ? (5 x ? 7) ? d (5 x ? 7) ?

?

?

?

1 5

1 (5 x ? 7)9 ? d (5 x ? 7) ? 5

1 1 1 1 ? ? ? (5 x ? 7)9 d (5 x ? 7) ? ? (5 x ? 7)10 ? C ? (5 x ? 7)10 ? C 5 5 10 50 1 【注】 (5 x ? 7) ' ? 5, ? d (5 x ? 7) ? 5dx, ? dx ? d (5 x ? 7) 5 ln x 1 dx ? ? ln x ? dx ? ? ln x ? d ln x 2、 ? x x 1 1 ? ? ln x ? d ln x ? (ln x) 2 ? C ? (ln x) 2 ? C 2 2 1 1 1 【注】 (ln x) ' ? , ? d (ln x) ? dx, ? dx ? d (ln x) x x x
3(1) tan xdx ?

?

? cos xdx ? ?

sin x

sin xdx ?d cos x d cos x ?? ? ?? cos x cos x cos x

? ??

d cos x ? ? ln | cos x | ?C ? ? ln | cos x | ?C cos x

不定积分换元法例题

20012-12

2

【注】 (cos x) ' ? ? sin x, ? d (cos x) ? ? sin xdx, ? sin xdx ? ?d (cos x) 3(2) cot xdx ?

?

? sin x dx ? ?

cos x

cos xdx d sin x ?? sin x sin x

??

d sin x ? ln | sin x | ?C ? ln | sin x | ?C sin x

【注】 (sin x) ' ? cos x, ? d (sin x) ? cos xdx, ? cos xdx ? d (sin x) 4(1)

? a ? xdx ? ? a ? x ? dx ? ? a ? x ? d (a ? x)
1 ? d (a ? x) ? ln | a ? x | ?C ? ln | a ? x | ?C a?x

1

1

1

??

【注】 (a ? x) ' ? 1, ? d (a ? x) ? dx, ? dx ? d (a ? x) 4(2)

? x ? a dx ? ? x ? a ? dx ? ? x ? a ? d ( x ? a)
1 ? d ( x ? a) ? ln | x ? a | ?C ? ln | x ? a | ?C x?a

1

1

1

??

【注】 ( x ? a) ' ? 1, ? d ( x ? a) ? dx, ? dx ? d ( x ? a)

4(3)

?x

2

1 1 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? dx ? ? 2 dx ? ? dx ? ? dx ? ? ?dx ? ?? 2 2 ? ?a x ?a 2a ? x ? a x ? a ? 2a ? x ? a x?a ?

?

1 1 x?a ?C ? ln | x ? a | ? ln | x ? a |? ? C ? ln 2a 2a x ? a

5(1) sec xdx ?

?

sec x(sec x ? tan x) sec2 x ? sec x tan x dx ? ? sec x ? tan x ? sec x ? tan x ? dx

d (tan x ? sec x) d (tan x ? sec x) ?? ? ln | sec x ? tan x | ?C sec x ? tan x sec x ? tan x 1 cos x cos x ? dx d sin x dx ? ? dx ? ? ?? 5(2) ? sec xdx ? ? 2 2 cos x cos x cos x 1 ? sin 2 x ??

??

d sin x 1 ? 1 1 ? 1 sin x ? 1 1 1 ? sin x ? ?? ? ? C ? ln ?C ? ? d sin x ? ln 2 1 ? sin x 2 ? sin x ? 1 sin x ? 1 ? 2 sin x ? 1 2 1 ? sin x

6(1) csc xdx ?

?

csc x(csc x ? cot x) csc2 x ? csc x cot x dx ? ? csc x ? cot x ? csc x ? cot x ? dx

??

d (? cot x ? csc x) d (csc x ? cot x) ? ?? ? ? ln | csc x ? cot x | ?C csc x ? cot x csc x ? cot x

6(2) csc xdx ?

?

csc x(csc x ? cot x) csc2 x ? csc x cot x dx ? ? csc x ? cot x ? csc x ? cot x ? dx

??

d (? cot x ? csc x) d (csc x ? cot x) ?? ? ln | csc x ? cot x | ?C csc x ? cot x csc x ? cot x

不定积分换元法例题

20012-12

3

7(1)

?

1 1? x
2

dx ? ?

dx 1 ? x2

? arcsin x ? C

7(2)

?

1 a2 ? x2
1

dx ? ?

dx a2 ? x2

??

dx ?x? a 1? ? ? ?a?
2

??

? x? d? ? ?a? ? x? 1? ? ? ?a?
2

??

x ? arcsin ? C 2 a ? x? 1? ? ? ?a?

? x? d? ? ?a?

8(1)

? 1? x

2

dx ? ?

dx ? arctan x ? C 1 ? x2

?x? ? x? d? ? d? ? 1 dx dx 1 1 1 x a a dx ? ? 2 ?? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? arctan ? C , 8(2) ? 2 (a ? 0) 2 2 2 a ?x a ?x a a a a ? ? x x x ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? ? a 2 ?1 ? ? ? ? ?a? ?a? ? ?a? ? ? ?
3 5 2 5 2 5 9(1) sin x cos xdx ? sin x cos x ? sin xdx ? ? sin x cos x ? d cos x

?

?

?

? ? ? (1 ? cos 2 x) ? cos5 x ? d cos x ? ? (cos7 x ? cos5 x) ? d cos x ?

cos8 x cos6 x ? ?C 8 6

3 5 3 4 3 4 9(2) sin x cos xdx ? sin x cos x ? cos xdx ? sin x cos x ? d sin x

?

?

?

? ? sin 3 x(1 ? sin 2 x) 2 ? d sin x ? ? (sin 3 x ? 2sin 5 x ? sin 7 x) ? d sin x ?
10(1) 10(2)

sin 4 x sin 6 x sin 8 x ? ? ?C 4 3 8

? x ln x ? ? ln x ? x ? dx ? ? ln x ? d ln x ? ? ln x ? d ln x ? ln ln x ? C ? x ln
dx
2

dx

1

1

1

1

x

??

1 1 1 1 1 ? ? dx ? ? 2 ? d ln x ? ? 2 ? d ln x ? ? ?C 2 ln x x ln x ln x ln x

11(1)

2 xdx 2 xdx dx 2 d ( x 2 ? 1) 2 ? ? ? ? x4 ? 2x2 ? 2 ? x4 ? 2x2 ? 2 ? x4 ? 2x2 ? 2 ? 1 ? ( x2 ? 1)2 ? arctan( x ? 1) ? C xdx 1 2 xdx 1 dx 2 1 d ( x 2 ? 1) ? ? ? ? x4 ? 2x2 ? 5 2 ? x4 ? 2x2 ? 5 2 ? x4 ? 2x2 ? 5 2 ? 4 ? ( x2 ? 1)2

11(2)

? x2 ? 1 ? d ? ? 2 1 d ( x 2 ? 1) 1 ? 2 ? ? 1 arctan( x ? 1) ? C ? ? ? 2 8 4 ? ? x 2 ? 1 ?2 4 2 ? x2 ? 1 ? 1? ? 1? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?
12、

?

sin x 1 1 dx ? ? sin x ? ?dx ? 2? sin x ? ?dx ? 2? sin x ?d x x x 2 x
x ? ?2 cos x ? C ? ? 2 co xs C ?

? 2? s i n x d ?
2x 13、 e dx ?

?

1 2x 1 1 e d 2 x ? ? e2 x d 2 x ? e2 x ? C ? 2 2 2

不定积分换元法例题

20012-12

4

14、

3 3 3 3 ? sin x cos xdx ? ? sin x ? cos xdx ? ? sin x ? d sin x ? ? sin x ? d sin x ?

sin 4 x ?C 4

1 1 d (2 x ? 5) ? ? (2 x ? 5)100 ? d (2 x ? 5) 2 2 1 1 1 1 ? ? ? (2 x ? 5)100 d (2 x ? 5) ? ? (2 x ? 5)101 ? C ? (2 x ? 5)101 ? C 2 2 101 202 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 16、 ? x sin x dx ? ? sin x ? xdx ? ? sin x ? dx ? ? sin x ? dx ? ? cos x ? C 2 2 2
100 100 100 15、 (2 x ? 5) dx ? (2 x ? 5) ?dx ? (2 x ? 5) ?

?

?

?

17、

?x

ln x ln x 1 ln x (1 ? ln x) ? 1 dx ? ? ? dx ? ? ? d ln x ? ? ? d ln x 1 ? ln x 1 ? ln x x 1 ? ln x 1 ? ln x

? ? 1 ? ln x ? d ln x ? ? ??

1 ? d ln x 1 ? ln x 1 1 ? ln x ? d (1 ? ln x) ? ? ? d (1 ? ln x) 1 ? ln x

3 1 2 2 ? (1 ? ln x) ? 2(1 ? ln x) 2 ? C 3

earctan x 1 dx ? ? earctan x ? dx ? ? earctan x ? d arctan x ? ? earctan x ? d arctan x ? earctan x ? C 18、 ? 2 2 1? x 1? x
19、

?

x 1? x
2

dx ? ?

1 1? x
2

? xdx ? ?

1 2 1? x
2

? dx 2 ? ??

1 2 1? x
2

? d (1 ? x 2 )

? ??

1 2 1? x
2

? d (1 ? x 2 ) ? ? 1 ? x 2 ? C

20、

?

sin x cos3 x

dx ? ?

1 cos3 x

? sin xdx ? ??

1 cos3 x

? d cos x ? ?? cos

?

3 2

xd cos x ? 2cos

?

1 2

x?C

21、

ex 1 1 1 x x x x ? 2 ? e x dx ? ? 2 ? ex ? e dx ? ? 2 ? ex ? de ? ? 2 ? e x d (2 ? e ) ? ln(2 ? e ) ? C ln 2 x 1 ln 3 x 2 2 2 dx ? ln x ? dx ? l n x ? d ln x ? ln x ? d ln x ? ?C ? x ? ? ? x 3

22、

23、

?

dx 1? 2x ? x
2

??

dx 2 ? (1 ? x)
2

??

d (1 ? x) 2 ? (1 ? x)
2

??

d (1 ? x) ( 2)2 ? (1 ? x)2

? arcsin

1? x ?C 2

1 1 d (x ? ) d (x ? ) dx dx 2 ? 2 24、 ? 2 ? ? x ? x ? 2 ? ( x ? 1 )2 ? 7 ? ( x ? 1 )2 ? 7 ? 1 2 7 ( x ? ) ? ( )2 2 4 2 4 2 2

不定积分换元法例题

20012-12

5

1 1 d (x ? ) x? 2 2 2 ? C ? 2 arctan 2 x ? 1 ? C ?? ? arctan 1 7 7 7 7 7 ( x ? )2 ? ( )2 2 2 2
25、计算

?

sin x cos x a sin x ? b cos x
2 2 2 2

dx , a 2 ? b 2

【分析】因为: (a2 sin 2 x ? b2 cos2 x)' ? a2 2sin x cos x ? b2 2cos x(? sin x) ? 2(a 2 ? b2 )sin x cos x 所以: d (a2 sin 2 x ? b2 cos2 x) ? 2(a2 ? b2 )sin x cos xdx

sin x cos xdx ?

1 ? d (a 2 sin 2 x ? b 2 cos2 x) 2 2(a ? b )
2

【解答】

?

sin x cos x a 2 sin 2 x ? b2 cos2 x

dx ? ?

1 d (a 2 sin 2 x ? b2 cos2 x) ? 2 2? a 2 sin 2 x ? b2 cos2 x a ? b 2 a2 sin 2 x ? b2 cos2 x sin x cos xdx

?

1 d( a 2 s i n2 x? b2 c o 2 sx ) 1 ? 2 a 2 s i n2 x ?b 2 c o 2 sx ? C 2 2? 2 2 2 2 2 a ? b 2 a sn i x? b c o s x a ? b

【不定积分的第二类换元法】 已知

? f (t )dt ? F (t ) ? C ? ?
【做变换,令 x ? ? (t ) ,再求微分】 【求积分】 【变量还原, t ? ? ( x) 】
?1

求 g ( x)dx ? g (? (t ))d? (t ) ? g (? (t ))? '(t ) dt

?

? ? f (t )dt ? F (t ) ? C

? F (? ?1 ( x)) ? C

__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】
令 x ?t sin x sin t 2 sin t dx ???????? ? dt ? 1、 ? ? t ? t ? 2tdt ? ? 2sin tdt x ?t 2 x

? ?2cos t ? C ???????? 2cos x ? C
t? x

变量还原

令 x ?t 1 1 1 t 1 ? ? 2 dx ???????? ? dt ? ? 2 td t ? 2 dt ? 2 1 ? ? dt 2(1) ? ? 1? t ? 1? t ? 1? t ?? x ?t 2 1? x ? 1? t ?

? 2 ? t ? l n |? 1t ? ?| C ???????
t? x

变量还原

? 2x ?

l? n |x 1 ?C |

?

令1+ x ?t 1 1 1 t ?1 ? 1? 2 dx ???????? ? d ( t ? 1 ) ? ? 2( t ? 1) dt ? 2 dt ? 2 ?1 ? ? dt 2(2) ? ? ? ? ? 2 x ? ( t ? 1) t t t 1? x ? t?

不定积分换元法例题

20012-12

6

? 2 ? t ? ln | t |? ? C ??????? 2 1 ? x ? ln |1 ? x | ? C
t ?1? x
3 4

变量还原

?

?

3、

?

4 1 1 1 3 4 1 ? x dx ????? ??? ? t ? d ( t ? 1) ? ? t ? 4(t 3 ? 1)3 ? 3t 2 dt 3 2 ? ? 3 4 3 4 x ?( t ?1) (t ? 1) x (t ? 1) 3

令 1? x ?t

7 4 ? 3 (1 ? 4 x )7 3 (1 ? 4 x )4 ? 变量还原 ? ? t t ??C ?12 ? ? ? 12? (t 6 ? t 3 )dt ? 12 ? ? ? ? C ?????? 3 4 ? ? 7 4 t ? 1? x ?7 4? ? ?

4、

?

令 x ?t 1 1 1 1 dx ???????? ? dt 2 ? ? ? 2tdt ? 2? dt 2 2 ? 2 x ?t t (1 ? t ) t (1 ? t ) 1? t2 x (1 ? x)
变量还原 t? x

? 2 arctan t ? C ??????? 2 arctan x ? C
5、
令e ?t 1 1 1 1 1 ?1 1 ? dx ??????? ?? ? d ln t ? ? ? dt ? ? dt ? ? ? ? ? dt x ? 1? e x ?ln t 1? t 1? t t t (1 ? t ) ? t 1? t ?
x

?ln t | ? | l n?| t1 ?C |?

变量还原 t l n ? C ?????? ? t ?e x 1? t

ex l n ?C 1 ? ex

令 x ?t dx 1 1 t2 1 ? ? 6 5 6、 ? ????? ? ? ? ? dt ? ? 6 t d t ? 6 dt ? 6? ?1 ? dt 3 2 3 2 3 2 2 ? ? ? ? 6 x ?t (1 ? t )t (1 ? t )t 1? t (1 ? x ) x ? 1? t ?
变量还原 t? x

6

? 6(t ? arctan t ) ? C ????? ?? 6( x ? arctan x ) ? C 6
m

6

6

【注】被积函数中出现了两个根式

x,

n

x 时,可令 x ? t ,其中 k 为 m,

k

n 的最小公倍数。

令 x ? 2 ?t ? t2 ? dx t2 ?????? 3 dt ? 3 ? t ? ln |1 ? t | ? C 3 ? 7(1) ? ? 1? t ? 1 ? x ? 2 x ?t 3 ? 2 ?2 ?
3

? 3 ( x ? 2)2 3 ? 3 ????? 3? ? x ? 2 ? ln |1 ? x ? 2 | ?C ? 6 ? ? 2 t? x ? ?
变量还原

t 1 1? x ?????? ? 2 dt ? ?2t ? 2ln | t ? 1| ? ln | t 2 ? 1| ?C dx 2 7(2) ? 1 t ?1 x? 2 x x t ?1



1? x ?t x

?

2

不定积分换元法例题

20012-12

7

?????? 2
t? 1? x x

变量还原

1? x 1? x 1? x ? 2ln | ? 1| ? ln | ? 1| ?C x x x
n

n

【注】被积函数中含有简单根式

ax ? b 或
1 t

ax ? b cx ? d

时,可令这个简单根式为

t ,即可消去根式。

dx 8(1) ? 8 x (1 ? x 2 )
??

1 ? 2 dt t8 1 ? ? t ???? ? ?? ? ?? dt ? ?? ? t 6 ? t 4 ? t 2 ? 1 ? ? dt 2 1 1? 1? 1? 1? 1? t 1? t 2 ? x? ? t ?1 ? ? ?1 ? ? t8 ? t 2 ? t8 ? t 2 ?
1 令 ?t x

d

变量还原 t7 t5 t3 1 1 1 1 1 ? ? ? t ? arctan t ? C ????? ? 7 ? 5 ? 3 ? ? arctan ? C 1 7 5 3 7 x 5 x 3x x x t? x

1 1 1 ? ln 1 ? ln x t ?d 1 ? t ? ? 1 dt ? ? 1 ? ln t dt dx ???? 2 2 ? ?1 ? t ln t ?2 8(2) ? 1 ? ( x ? ln x) 2 t ? ?1 t2 x? 1? 1? ?1 t ? ? ln ? ? ? ln ? t? t? ?t ?t
1 令 ?t x

1 ? ln

? ??
1 x

1

?1 ? t ln t ?

? (1 ? ln t )dt ? ? ? 2

1

?1 ? t ln t ?

? d (1 ? t ln t ) ? 2

1 ?C 1 ? t ln t

?????
t?

变量还原

1 x ?C ? ?C 1 1 x ? ln x 1 ? ln x x

【注】当被积函数中分母的次数较高时,可以试一试倒变换。

2t 2t 1 ? 1 ? sin x t 2dt 1? t2 1? t2 dx ??? ? ? ? ? d 2arctan ? ? 2 2 ? ? 9、 ? 2t 1? t 2t 1? t 1? t2 sin x(1 ? cos x) x?2arctan t 2 (1 ? ) (1 ? ) 1? t2 1? t2 1? t2 1? t2
x 令 tan ?t 2

1?

1 ? 1? t2 1 ? ? ? t ? 2 ? ? d t? ? ? t ln | t ?| C 2 ? t? 4 2 2 x 变量还原 t a n 2 ? t a nx ? 1 l n | txa n ????? ?C | 1 4 2 2 2 t?
x

【注】对三角函数有理式的被积函数,可以用万能公式变换,化为有理分式函数的积分问题。

不定积分换元法例题
令 x ? a sin t, |t |?

20012-12

8

?
2

10(1)

? ?

a ? x dx ??????? ? a 2 ? a 2 sin 2 t ? da sin t ? a 2 ? cos2 tdt
2 2 t ?arcsin x a

dx a2 ? x2

令 x ? a sin t, |t |? t ?arcsin x a

?
2 变量还原 x ? ? dt ? t ? C ??????? arcsin ? C x a t ?arcsin a 2 ? a 2 sin 2 t a

??????? ?

da sin t

1 ? cos 2t a2 a 2 ? sin 2t ? dt ? ? (1 ? cos 2t )dt ? ? t ? ??C 2 2 2 ? 2 ? 变量还原 a2 x 1 ??????? arcsin ? x a 2 ? x 2 ? C x 2 a 2 t ? arcsin ? a2 ?
a

10(2)

?

dx a2 ? x2

令 x ? a tan t, |t |? t ?arctan x a

??????? ?

? 2

da tan t a 2 ? a 2 tan 2 t

? ? sec tdt ? ln | sec t ? tan t | ?C

x a2 ? x2 ??????? ln | ? | ?C ? ln | x ? a 2 ? x 2 | ?C x a a t ?a r c t a n
变量还原 a

因为: ( x ? a 2 ? x 2 ) ' ? 2 a 2 ? x 2 ?

a2 a2 ? x2

所以: ( x ? a 2 ? x 2 ) 'dx ? 2 a 2 ? x 2 dx ?

?

?

?

a2 a2 ? x2

dx

即:

?

1? a 2 ? x 2dx ? ? ? ( x ? a 2? x )2'dx ? a 2?

?

2

? ? dx 2 2 a ?x ? 1
2

1 a2 2 2 ? x a ?x ? ln x | ? a 2? x 2 2
10(3)

? |C

?

dx x ?a
2 2

令 x ? a sec t, 0 ?t ?

???????

? 2

?

da sec t a sec2 t ? a 2
2

? ? sec tdt ? ln | sec t ? tan t | ?C

变量还原 x x2 ? a2 ??????? ln | ? | ?C ? ln | x ? x2 ? a 2 | ?C x ? a sec t a a

因为: ( x ? x ? a ) ' ? 2 x ? a ?
2 2 2 2

a2 x2 ? a2
2

所以: ( x ? x ? a ) 'dx ? 2 x ? a dx ?
2 2 2

?

?

?

a2 x2 ? a2

dx

不定积分换元法例题

20012-12

9

即:

?

1? x 2 ? a 2dx ? ? ? ( x ? x 2? a )2'dx ? a 2?

?

2

? ? dx 2 2 x ?a ? 1

2 1 a ? x x 2 ? a 2 ? ln | x ? x 2 ? a 2 | ?C 2 2
【注】 当被积函数中出现 a 2 ? x 2 , a 2 ? x 2 , x 2 ? a 2 因子时, 可以用三角变换, 化为三角函数的积分问题。


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