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2015年古典概率


1、随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 (1)随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; (2)必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; (3)不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件 2.随机事件的概率 事件 A 的概率:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。 由定义可知 0≤P

(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0。 3.事件间的关系 (1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含:事件 A 发生时事件 B 一定发生,称事件 A 包含于事件 B(或事件 B 包含事件 A) ; 4.事件间的运算 (1)并事件(和事件) 若某事件的发生是事件 A 发生或事件 B 发生,则此事件称为事件 A 与事件 B 的并事件。 注:当 A 和 B 互斥时,事件 A+B 的概率满足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B) (A、B 互斥) ;且有 P(A+ A )=P(A)+P( A )=1。 (2)交事件(积事件) 若某事件的发生是事件 A 发生和事件 B 同时发生,则此事件称为事件 A 与事件 B 的交事件 5.古典概型 (1)古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性 相等; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)=
m 总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就 n

A包含的基本事件个数 ; 总的基本事件个数

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成. 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一 基本事件的概率都是
1 m 。如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)= 。 n n

题型一:随机事件的定义

例 1、 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化” .

拓展变式练习
1、 (1)如果某种彩票中奖的概率为

1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率的意义解释。 1000

解析:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张 彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖。 点评:买 1000 张彩票,相当于 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做 1000 次试验的结果也 是随机的,也就是说,买 1000 张彩票有可能没有一张中奖。 (2)在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平性。 解析:这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是 0.5,因此任何一名运动员猜中

的概率都是 0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是 0.5。 点评:这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为 0.5,即每个运动员取得先发球权的概率是 0.5。事 实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是 0.5 的规则都是公平的

题型二:频率与概率
例 2、某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表: (求其发芽的概率) 种子粒数 发芽粒数 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 310 282 700 639 1500 1339 2000 1806 3000 2715

解析: 我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是: 1, 0.8, 0.9, 0.857, 0.892, 0.910, 0.913, 0.893,0.903,0.905。随着种子粒数的增加,菜籽发芽的频率越接近于 0.9,且在它附近摆动。故此种子发芽的概 率为 0.9。

拓展变式练习
1、进行这样的试验:从 0、1、2、?、9 这十个数字中随机取一个数字,重复进行这个试验 10000 次,将每
次取得的数字依次记下来, 我们就得到一个包括 10000 个数字的“随机数表”. 在这个随机数表里, 可以发现 0、 1、 2、 ?、 9 这十个数字中各个数字出现的频率稳定在 0.1 附近. 现在我们把一个随机数表等分为 10 段, 每段包括 1000 个随机数,统计每 1000 个随机数中数字“7”出现的频率,得到如下的结果: 段序: n=1000 出现 “7” 的 频数 出现 “7” 的 频率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

95

88

95

112

95

99

82

89

111

102

0.095

0.088

0.095

0.112

0.095

0.099

0.082

0.089

0.111

0.102

由上表可见,每 1000 个随机数中“7”出现的频率也稳定在 0.1 的附近.这就是频率的稳定性.我们把随机事 件 A 的频率 P(A)作为随机事件 A 的概率 P(A)的近似值。 点评:利用概率的统计定义,在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验,列出一个表格,从表格 中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。这从某种意义上说是很繁琐的

题型三:随机事件间的关系

例 3、 甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这 4 个队分成两 个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为 ( A. ) B.

1 6

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【解析】所有可能的比赛分组情况共有 4 ?

2 2 C4 C2 ? 12 种,甲乙相遇的分组情况恰好有 6 种,故选 D . 2!

拓展变式练习
1、甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、 0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 。

【解析】三人均达标为 0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.24=0.76 答案 0.24 0.76

题型四:古典概率模型的计算问题
例 4、从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取 两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 解析:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即(a1,a2)和, (a1,b2) , (a2,a1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b2,a2) 。其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字 母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件, 则 A=[(a1,b1) , (a2,b1) , (b1,a1) , (b1,a2)], 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = 。 6 3

点评:利用古典概型的计算公式时应注意两点: (1)所有的基本事件必须是互斥的; (2)m 为事件 A 所包含的 基本事件数,求 m 值时,要做到不重不漏

拓展变式练习
1、现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率。 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样 解析: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试验结果有 10 ×10×10=10 种; 设事件 A 为 “连续 3 次都取正品” , 则包含的基本事件共有 8×8×8=8 种, 因此, P(A)=
3 3

83 =0.512。 103

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z) ,则 x 有 10 种 可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设事件 B 为“3 件都是正品” ,则事 件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6=336, 所以 P(B)=

336 720

≈0.467。

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可 能,z 有 8 种可能,但(x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) ,是相同的,所以试验的所有结 果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467。 120

点评:关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一

样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误

题型五:利用排列组合知识解古典概型问题

例 5、 从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的挑选 方法共有( C ) (A) 70 种 (B) 112 种 (C) 140 种 (D) 168 种
4 【解】 :∵从 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有 C10 种不同挑选方法; 4 从甲、乙之外的 8 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动有 C8 种不同挑选方法;

4 ∴甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的挑选方法共有 C10 ? C84 ? 210 ? 70 ? 140 种不同挑选方法 故选 C;

拓展变式练习
1、在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏 新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用。根据试验 设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验 (Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率; (Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率; 解析:设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A, “所选用的两种不同的添加剂的芳香 度之和不小于 3”的事件为 B (Ⅰ)芳香度之和等于 4 的取法有 2 种: (0, 4) 、 (1,3) ,故 P ( A) ?

2 。 15

( Ⅱ ) 芳 香 度 之 和 等 于 1 的 取 法 有 1 种 : ( 0, 1); 芳 香 度 之 和 等 于 2 的 取 法 有 1 种 : ( 0, 2 ), 故

P( B) ? 1 ? (

1 1 13 ? 2)? 。 2 C6 C6 15

点评:高考对概率内容的考查,往往以实际应用题出现。这既是这类问题的特点,也符合高考发展方向,考生 要以课本概念和方法为主,以熟练技能,巩固概念为目标,查找知识缺漏,总结解题规律

题型五:易错题辨析
例 6、掷两枚骰子,求所得的点数之和为 6 的概率 错解:掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2,3,4,?,12},故共有 11 种基本事件,所以概率为 P=

1 ; 11

剖析:以上 11 种基本事件不是等可能的,如点数和 2 只有(1,1),而点数之和为 6 有(1,5)、(2,4)、(3, 3)、(4,2)、(5,1)共 5 种.事实上,掷两枚骰子共有 36 种基本事件,且是等可能的,所以“所得点数之和为 6”

的概率为 P=

5 。 36

我们经常见的错里还有“投掷两枚硬币的结果” ,划分基本事件“两正、一正一反、两反” ,其中“一正一反” 与“两正” 、 “两反”的机会是不均等 类型四:基本事件 “不可数” 由概率求值公式 P( A) ?

事件A包含的基本事件个数 ,求某一事件发生的概率时,要求试验中所有可能出 基本事件的总数

现的基本事件只有有限个 如果试验所包含的基本事件是无限多个,那根本就不会得到基本事件的总数,也就不能用

P( A) ?

事件A包 含 的 基 本 事 件 个 数 公式来解决问题 基本事件的总数

拓展变式练习
1、甲、乙二人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙二人一次各 抽取一题, (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?
1 错解:甲从选择题中抽到一题的可能结果有 C6 个,乙从判断题中抽到一题的的可能结果是 C 4 ,故甲抽到选择

1

1 1 1 1 题,乙抽到判断题的可能结果为 C6 ? C4 ? 10 ;又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有 C10 ? C9 ? 19 ,所以概率

值为

10 。 19
1

剖析:错把分步原理当作分类原理来处理。
1 正解:甲从选择题中抽到一题的可能结果有 C6 个,乙从判断题中抽到一题的的可能结果是 C 4 ,故甲抽到选择

1 1 1 1 题,乙抽到判断题的可能结果为 C6 ? C4 ? 24 ;又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有 C10 ? C9 ? 90 ,所以概率

值为

24 4 ? 。 90 15

(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少? 错解:甲、乙中甲抽到判断题的种数是 6×9 种,乙抽到判断题的种数 6×9 种,故甲、乙二人至少有一个抽到 选择题的种数为 12×9;又甲、乙二人一次各抽取一题的种数是 10×9,故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概 率是

12 6 ? 。 10 5

剖析:显然概率值不会大于 1,这是错解。该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择题的计数是重复的,两人 都抽取到选择题这种情况被重复计数 正解:甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是 10×9=90; 方法一:分类计数原理 (1)只有甲抽到了选择题的事件数是:6×4=24; (2)只有乙抽到了选择题的事件数是:6×4=24; (3)甲、乙同时抽到选择题的事件数是:6×5=30; 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是

24 ? 24 ? 30 13 ? 。 90 15

方法二:利用对立事件 事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是 4×3=12; 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是 1 ?

12 2 13 ? 1? ? 。 90 15 15

2、 椐统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1 (Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率; (Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率 解 解答 1(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内被投诉的次数为 1”

所以 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.9 (Ⅱ)设事件 Ai 表示“第 i 个月被投诉的次数为 0”事件 Bi 表示“第 i 个月被投诉的次数为 1”事件 Ci 表示“第 i 个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2 次” 所以 P( Ai ) ? 0.4, P( Bi ) ? 0.5, P(Ci ) ? 0.1(i ? 1, 2) 所以两个月中,一个月被投诉 2 次,另一个月被投诉 0 次的概率为 P( AC 1 2 ? A2C1 ) 一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P( B1B2 ) 所以 P( D) ? P( AC 1 2 ?A 2C1 ) ? P( B 1B2 ) ? P( AC 1 2 ) ? P( A 2C1 ) ? P( B 1B2 ) 由事件的独立性的

p( D) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.1? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.33
解答 2(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次”设事件 B 表示“一个月内被投诉的次数不超过 1 次” 所以 p( A) ? 0.1,? P( B) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.1 ? 0.9 (Ⅱ)同解答 1(Ⅱ)


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