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数列复习课


学习目标: 学习目标: 熟悉常见数列(等差、等比)的定义、递推关系式、 1、熟悉常见数列(等差、等比)的定义、递推关系式、 通项公式、 项和公式。 通项公式、前n项和公式。 类比:等差数列通项公式——一次函数; ——一次函数 2、类比:等差数列通项公式——一次函数; 项和公式——二次函数; ——二次函数 前n项和公式——二次函数; 等比数列通项公式和前n项和公式——指数函数。 等比数列通项公式和前n项和公式——指数函数。 ——指数函数 数列通项公式的求法(特别是累加法和累乘法) 3、数列通项公式的求法(特别是累加法和累乘法) 项和公式的求法(特别是错位相消和列项相消法)! 4、前n项和公式的求法(特别是错位相消和列项相消法)!

一知识结构
定义

数 列

通项

等差数列

前 n 项和
与函数的关系

等比数列

一、数列的概念与简单的表示法: 数列的概念与简单的表示法:
1.数列的概念:按照一定的顺序排列着的一列数称为数列, 1.数列的概念:按照一定的顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做 数列的概念 一定的顺序排列着的一列数称为数列 这个数列的项 这个数列的项。 2.数列的分类:有穷数列;无穷数列;递增数列;递减数列;常数列;摆动数列. 2.数列的分类:有穷数列;无穷数列;递增数列;递减数列;常数列;摆动数列. 数列的分类 注意: 注意: 恒成立, 为递增数列( 恒成立, (1)若an+1>an恒成立,则{an}为递增数列(2)若an+1<an恒成立,则{an}为递减数列

(2)在数列 {an}

中,若 则

?an ≤ an +1 ? ?an ≤ an ?1

an

?an ≥ an +1 最小. 最小.? ?an ≥ an ?1

则 n 最大. 最大.

a

3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。 3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。 数列的通项公式

二、等差数列与等比数列(其基本知识内容请看下表): 等差数列与等比数列(其基本知识内容请看下表):

等差数列与等比数列知识系表: 等差数列
定义 通项 通项推广 中项 性质 an +1 ? an = d
an = a1 + (n ? 1)d an = am + (n ? m)d a+b A= 2

等比数列
an +1 ÷ an = q

an = a1q n ?1
an = a m q n ? m

G 2 = ab an + am = a p + aq an ? am = a p ? a q 2 an + a m = 2 a p an ? a m = a p S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k 仍成等差 S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k 仍成等比
n( a1 + an ) n(n ? 1)d Sn = = na1 + 2 2

求和 公式

? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? = Sn = ? 1 ? q 1? q ?na1 ?

q ≠1 q =1

关系式

an、S n

?S n ? S n ?1 n ≥ 2 an = ? n =1 ? S1

适用所有数列

三、通项公式求法: 见《优化方案》 P47五中常见方法。
1、累加法,如 、累加法 2、累乘法,如 、累乘法 3、构造法求通项 、

a n +1 ? a n = f (n)
an +1 = f ( n) an

an +1 = kan + b
b kb ? ? an +1 + = k ? an + ? k ?1 k ?1 ? ?

四、数列前n项和的求法: 见《优化方案》P44五种常见方法。

1.写出下面数列的一个通项公式, 写出下面数列的一个通项公式, 使它的前几项分别是下列各数: 写出下面数列的一个通项公式 使它的前几项分别是下列各数:

1 ? 1,1, ?1,1, ?1,1??? )
2) 6) 5,55,555,5555,??? 3) 2,3,2,3,2,3,??? )

5 n an = (10 ? 1) 9
n

an = ( ?1)

n

5 + ( ?1) ?2 n 为正奇数 an = ? an = 2 ?3 n 为正偶数

知识点: 知识点:

a

n

? a a + b ( n 为奇数 b ) n ?1 a ? + ( ?1) ? = ?an = 2 b 2( n 为偶数) ?

a , b, a , b, L , a , b, L

2 f (n ) + n 1. 函数 f ( x ) 满足 f ( n + 1 ) = 2 97 ( 其中 n ∈ N * ), 且 f ( 1 ) = 2 , 则 f ( 20 ) = ____

2.观察数列 观察数列:30,37,32,35,34,33,36,( ),38的特点 在 的特点,在 观察数列 ( 的特点 括号内适当的一个数是______ 括号内适当的一个数是 31 9 3.在等比数列中 4+a6=3,则a5(a3+a7)=_____ 在等比数列中,a 则 在等比数列中 4. 在等差数列 n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则 C 在等差数列{a 中 若 则 2a10-a12的值为 ( ) A.20 B.22 C.24 D.28 5.已知数列 n}中,a1=1,并且 n+1-3an=1,则a301= ( ) 已知数列{a 中 并且3a 已知数列 并且 则 B A.100 B.101 C.102 D.103 6.若{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那 是等比数列, 若 是等比数列 那 么a3+a5的值等于 ( A) A.5 B.1 C.15 D.10

典例分析: 典例分析:
一、等差数列与等比数列性质的灵活运用
例1、在等差数列 { a n } 中,a 1 -a 4 -a 8 -a 12 + a 15 = 2, 、 , 的值。 求 a 3 + a 13 的值。 解:由题 a 1 + a 15 = a 4 + a 12 = 2a 8 故 a 3 + a 13 = 2a 8 = -4 例2、已知 { a n } 是等比数列,且 a 2a 4 + 2a 3a 5 + a 4a 6 = 25, 、 是等比数列, , a n >0,求 a 3 + a 5 的值。 的值。 , 解:由题 a 32 = a 2a 4, a 52 = a 4a 6, ∴ a 32 + 2a 3a 5 + a 52 = 25 ∵ a n >0 即 ( a 3 + a 5 ) 2 = 25 ∴ a 8 = -2

故 a3 + a5 = 5

二、等差数列的最值问题
等差数列{ 该数列前多少项的和最小? 例2.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小 等差数列 该数列前多少项的和最小

分析: 分析:

如果等差数列{an}由负数递增到正数,或者由 如果等差数列{ 由负数递增到正数, 正数递减到负数,那么前n项和 有如下性质: 项和S 正数递减到负数,那么前 项和 n有如下性质:

1.当a1<0,d>0时, > 时 0,d<0时 2.当a1>0,d<0时,

思路1: 思路 :寻求通项 1 1 9 a1 + ? 9 ? (9 ? 1) ? d = 12 a1 + ?12 ? (12 ? 1) ? d 2 2 a1 11 ? n 1 3 即: a1 = ?30d ∴ d = ? a1 ∴ an = a1 + (n ? 1)(? ) = a1 ? 由于 a1 < 0 易知 a10 < 0 a11 = 0
10

? an < 0 ? Sn是最小值 ? ?an+1 > 0 ? an > 0 ? Sn是最大值 ? ?an+1 < 0

a12 > 0

10

10

∴n取10或11时Sn取最小值 取 或 时

等差数列{ 该数列前多少项的和最小? 例2.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小 等差数列 该数列前多少项的和最小 分析: 等差数列{ 前项和S 分析 等差数列{an}的通项an是关于 的一次式 前项和 n 的通项 是关于n的一次式,前项和 是关于n的二次式(缺常数项 求等差数列的前n项和 缺常数项).求等差数列的前 是关于 的二次式 缺常数项 求等差数列的前 项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法. 二次函数的最值问题的方法 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法 思路2: 函数的角度来分析数列问题 的角度来分析数列问题. 思路 :从函数的角度来分析数列问题 设等差数列{ 的公差为d,则由题意得 则由题意得: 设等差数列{an}的公差为 则由题意得

1 1 9a1 + ? 9 ? (9 ? 1) ? d = 12a1 + ?12 ? (12 ? 1) ? d 2 2

即: 3 a1 = ? 30 d ∴ a1 = ?10d

∵a1<0, ∴ d>0,

1 1 ∴ Sn = na1 + n(n ? 1)d = ?10dn + n(n ? 1)d 2 2 d 21 2 212 1 2 21 = (n ? ) ? d = dn ? dn 2 2 8 2 2
∵d>0, ∴Sn有最小值. 又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值 或 时

等差数列{ 该数列前多少项和最小? 例2.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小 等差数列 该数列前多少项和最小

分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 项和 项和S 分析 数列的图象是一群孤立的点 数列前 n项和 n 的图象也是一
群孤立的点.此题等差数列前 项和Sn的图象是在抛物线上一群孤 群孤立的点 此题等差数列前n项和 此题等差数列前 项和 距离对称轴最近的正整数 立的点.求 的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n. 立的点 求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数

思路3:函数图像、 思路 :函数图像、数形结合
令 n = An 2 + Bn 过原点抛物线 S 又S1=a1<0, 故开口向上 所以S 所以 n有最小值 因为S 因为 9=S12, 所以Sn 的图象所在的抛物线的 所以 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, 对称轴为直线 数列{ 的前10项或前 项或前11项和最小 ∴数列{an}的前 项或前 项和最小
类比:二次函数 则函数f(x)图象 类比 二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数 二次函数 若 则函数 图象 的对称轴为 直线 直线x=(9+12) ÷2=10.5 则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=2 若f(x+2)=f(2-x),则函数 则函数 图象的对称轴为 直线x=2

Sn

10.5

o
b 2a

n

n= ?

三、等差、等比数列的综合应用 等差、
已知数列{a 是等差数列 数列{b 是等比数列 是等差数列, 是等比数列, 例3 已知数列 n}是等差数列,数列 n}是等比数列,又a1=b1 (1) 求数列 n}及数列 n}的通项公式; 求数列{a 及数列 及数列{b 的通项公式 的通项公式; (2) 设cn=anbn求数列{cn}的前 项和 n 的前n项和 求数列 的前 项和S

7 =1 ,a2b2=2,a3 b3 = , . 4

解析: 解析:

? (1 + d )q = 2 (1) 1 ? ∴ d = 3, q = 7 ?(1 + 2d )q 2 = (2) 2 ? 4 ? 1 1 cn = an ? bn = (3n ? 2) ? n ?1 ∴ an = 3n ? 2 bn = n ?1 2 2 通项特征: 通项特征: 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法: 错位相减法——错项法 求和方法: 错位相减法 错项法

的公差为d,等比数列 设等差数列 {an} 的公差为 等比数列 {bn} 的公比为 q ,则由题意得

(2)解析: (2)解析: 解析

1 cn = an ? bn = (3n ? 2) ? n ?1 2

S n = c1 + c2 + c3 + ? ? ? + cn

1 1 1 1 1 Sn =1× 0 + 4× 1 + 7× 2 + ? ? ? + (3n ? 5) × n ? 2 + (3n ? 2)× n?1 错位相 2 2 2 2 2

减法

1 1 1 1 1 1 Sn =1× 1 +4× 2 +7× 3 + ??? + (3n ? 5) × n ?1 +(3n?2)× n 2 2 2 2 2 2
1 1 (1? n?1 ) 1 1 1 1 1 2 2 ? 3n ? 2 Sn =1+3× 1 +3× 2 +L+3× n?1 ?(3n ? 2)× n =1+3 1 2 2 2 2 2 2n 1? 2

两式相减: 两式相减:

∴ S n = 2(4 ?

3 2 n ?1

3n ? 2 6 6n ? 4 ? ) = 8 ? n ?1 ? n 2 2 2n

四、有关项与和的问题: 有关项与和的问题:
例4、一个等差数列的前 12 项的和为 354,前 12 项中的偶 、 , 数项的和与奇数项的和之比为 32 :27,求公差 d. ,

? S 奇 + S 偶 = 354 ? 解 : S 偶 32 ? ? S = 27 奇 ?
∴ 6d = S偶 -S 奇

? S 奇 = 162 ? ? ? S 偶 = 192

故 d=5

是两个等差数列, 例5. 已知 {an } , {bn } 是两个等差数列,前 分析: 分析:【思路一】

Bn ,且 An = 7n + 2 , 求 a8 . 分别是 An和 b8 Bn n+3

n 项和

A2 n ?1 ( 2n ? 1)( a1 + a2 n ?1 ) ( 2n ? 1)( 2an ) an = = = B2 n ?1 ( 2n ? 1)( b1 + b2 n ?1 ) ( 2n ? 1)( 2bn ) bn

结论: 结论:

an A2 n ? 1 = bn B 2 n ?1
a8 A15 7 × 15 + 2 107 = = = b8 B15 15 + 3 18

解:

【思路二】 思路二】

n ( 7 n + 2 ) 7 n 2 + 2n An 7n + 2 = = = 2 Bn n+3 n ( n + 3) n + 3n

令: An = 7 n 2 + 2n 则

Bn = n + 3n
2

an An ? An ?1 14n ? 5 = = bn Bn ? Bn ?1 2n + 2

a8 107 ∴ = b8 18

五、走进高考: 走进高考: (2009年山东(文)20T)
1、等比数列 {an }的前n项和为Sn,已知对任意的 的图像上. (1)求r的值; (2)当

y = b x + r (b > 0且b ≠ 1, b, r均为常数) 点 (n, Sn ) 均在函数

n∈N ,

+

b=2 记

n +1 + bn = ( n ∈ N ,求数列 ) 4an

{b n }

的前n项和Tn.

(1 ) r

= ? 1, ( 2 ) T n

3 n + 3 = ? n +1 2 2

2、数列{an}的前 项和记作 n,满足 、数列 的前n项和记作 的前 项和记作S Sn=2an+3n-12(n∈N*). - ∈ . (1)证明数列 n-3}为等比数列; 证明数列{a 为等比数列; 证明数列 为等比数列 并求出数列{a 的通项公式 的通项公式. 并求出数列 n}的通项公式. (2)记bn=nan ,数列 n}的前 项 记 数列{b 的前 的前n项 和为T 和为 n ,求Tn.

3.设数列{an}的前 项和为 n=2n2,{bn} .设数列 的前n项和为 的前 项和为S 为等比数列, 为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1, = (1)求数列 n}和{bn}的通项公式; 求数列{a 和 的通项公式; 求数列 的通项公式
an (2)设 cn = ,求数列{cn}的前 项和Tn . 设 求数列 的前n项和 的前 项和 bn 1 (3)设d n = , 求数列{d n } 的前n项和M n。 an an +1

方法总结

1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知 .数列是特殊的函数, 识去解决,体现了函数思想、数形结合的思想. 识去解决,体现了函数思想、数形结合的思想. 2.等差、等比数列中,a1、an、n、d(q) n“知 .等差、等比数列中, 、S 、( ) 、 知 三求二”,体现了方程( 的思想、整体思想, 三求二 ,体现了方程(组)的思想、整体思想, 有时用到换元法. 有时用到换元法. 3.求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等 . 于 1,公比是字母时要进行讨论,体现了分类讨 ,公比是字母时要进行讨论, 论的思想. 论的思想. 4.数列求和的基本方法有公式法、化归法、倒 .数列求和的基本方法有公式法、化归法、 序相加法、错位相减法、并项求和法、 序相加法、错位相减法、并项求和法、分步求和 裂项相消法等. 相消法等 法、裂项相消法等.


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