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2.5.2等比数列前n项和


等比数列的前n项和

复习

等 比 数 列 ? a n ? 的 前 n项 和 公 式

? a1 ?1 ? q n ? a1 ? a n q ? ? ( q ? 1) Sn ? ? 1 ? q , 1? q ? ? n a1 ? q ? 1 ? .

引入

1 .求 等 比

数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 S n

? 1 ? a1 ? 2 ? a1

? 3, q ? 3, n ? 6; ? 8, q ? ? 1 2 , an ? 1 2 ,

S6 ? 1092

Sn ?

11 2

.

2 .求 等 比 数 列 1, 2, 4, L 从 第 5 项 到 第 1 0 项 的 和 .

S10 ? S 4 ? 1 0 0 8 .

新课
等比数列前n项和的性质
1 .S n ? S m ? q
m

? S n?m

推导过程:
?1 ? 当 q
? 1时 , S m ? m a1 , S n ? m ? ( n ? m ) a1 .

S n ? n a1 ,

此 时 ,S n ? S m ? S n?m成 立 .

? 2 ?当 q

? 1时 , a1 ?1 ? q 1? q
n

Sn ?

?

, Sm ?

a1 ?1 ? q 1? q

m

?

,

Sn ? Sm ?

a1 ? q

m

?q

n

?

1? q

?

q a1 ?1 ? q
m

n?m

?

1? q

? q

m

? S n?m .

此 时, Sm ? Sm ? q

m

? S n?m也 成 立 .

2 .若 等 比 数 列 ? a n ? 有 2 n 项 , 则 :

S偶 S奇

? q.

推导过程:
a 2 ?1 ? q 1? q a2 a1 ? q.
2 2n

Q S偶 ? ? S偶 S奇 ?

?

, S奇 ?

a1 ?1 ? q 1? q
2

2n

?

,

3 .若 等 比 数 列 ? a n ? 的 前 n 和 为 S n , 且 S n ? 0 .
k

则 :S k , S 2k ?k , S 3k ?2k ,L 成 等 比 数 列 , 且 公 比 为 q .

推导过程:

?1 ? 当 q
? 2 ?当 q

? 1时 , S n ? n a 1 ,

S k ? k a1 , S 2 k ? S k ? k a1 , S 3 k ? S 2 k ? k a1 , L
? 1时 ,
m

由 性 质 1:S n ? S m ? q S n?m , S 2k ? S k ? q S k , S 3k ? S 2k ? q S k ,L
k k

例题
例1:已知一个项数是偶数的等比数列的首项 为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求 这个数列的公比和项数.
解 : 设 此 数 列 的 公 比 为 q, 项 数 为 2n.
则 q= S偶 S奇 ? 170 85 ? 2.
2n

又 Q S奇 ?

a1 ?1 ? q 1? q
2

?

? 8 5, 即

1? q

2n 2

1? q

? 85.

? 2 n ? 8, 即 此 数 列 共 有 8 项 .

例 2 : 已 知 等 比 数 列 ? a n ? , a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 4 , a 9 + a 1 0 + a 1 1 + a 1 2 = 1 6 , 求 a 1 7 + a 1 8 + a 1 9 + a 2 0的 值 .

解 : 设 等 比 数 列 ?an? 公 比 为 q,

Q a 9 + a1 0 + a1 1 + a1 2 ? ? a1 + a 2 + a 3 + a 4 ? ? q ,
8

? q ? 4.
8

? a 1 7 + a1 8 + a1 9 + a 2 0 ? ( a 9 + a1 0 + a1 1 + a1 2 ) ? q ? 64.

8

练习
1 .已 知 等 比 数 列 的 公 比 为 q ? 1 2 , 且 a1 + a 3 + a 5 + L + a 9 9 ? 6 0 ,

90 则 S100 ? _ _ _ _ _ _ _ _ .
2 .若 某 等 比 数 列 中 前 7 项 的 和 为 4 8, 前 1 4 项 的 和 为 6 0 , 则 前 2 1 项 的 和 为 _ _63. _ ___

3 .一 个 等 比 数 列 , 它 的 项 数 为 偶 数 , 全 部 各 项 和 是 偶 数 项 和 的 4倍 ,前 3项 之 积 为 64. 求 公 比 q及 通 项 公 式 .

?1? q ? , an ? 12 ? ? ? 3 ?3? 1

n ?1

.

小结

熟练掌握并灵活运用等

比数列前n项和的性质.

作业

课本62页B组1、 2、3


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