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天津一中高二寒假作业4完整解析版(中高难度题型全)


天津一中 2013-2014 学年高二寒假作业(4)
一.选择题: 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.下列各图是正方体或正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共 面的一个图是( )

A

B

C

D )

>2.如图四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为(

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

3.四面体 ABCD 中,棱 AB、AC、AD 两两互相垂直,则顶点 A 在底面 BCD 上的正投影 H 为△BCD 的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 4. 如图, 沿棱长为 1 的正方体相邻三个面的对角线截去一个棱锥, 则剩下部分的体积是 ( )

A、

5 6

B、

1 2

C、

1 3

D、

1 6


C'

D'

A'

A'

5.若 A (1,?2,1) ,B (4,2,3) ,C (6,?1,4) ,则△ABC 的形状是( A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 )

C B

D A

6.已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. (?3,?1,4) B. (?3,?1,?4) C. (3,1,4)

D. (3,?1,?4) A1

D1 B D A B )
M

C1
N

7.在右图的正方体中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 则异面直线 AC 和 MN 所成的角为( A.30° C.90° B.45° D. 60° )

C

8.圆台上、下底面半径和母线的比为 1:4:5,高为 8,那么它的侧面积为( A.50π B.100π C.150π D.200π

9.已知二面角 ? ? l ? ? 为 60°,若平面 ? 内有一点 A 到平面 ? 的距离
为 3 ,那么 A 在平面 ? 内的射影 B 到平面 ? 的距离为( A. ) D. 2

3 2

B.1

C. 3

10.如图所示,E、F 分别是正方形 SD1DD2 的边 D1D、 、DD2 的中点, 沿 SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使 D1,D,D2 重合,记作 D。 给出下列位置关系:①SD⊥面 DEF; ②SE⊥面 DEF; ③DF⊥SE; ④EF⊥面 SED,其中成立的有: ( ) A. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④ 二.填空题: 11.已知向量 a ? (2,?1,3),b ? (?4,2, x) ,若 a ? b , 则 x ? ______;若 a // b 则 x ? ______.

?

?

?

?

?

?

12.一个圆柱和一个圆锥的底面直径 和它们的高都与某一个球的直 .. 径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .

13.如图,E、F 分别为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中 心 ,则 四 边形 BFD1E 在该 正 方体的 面 上 的射 影 可能 是 . 14.在侧棱长为 1 的正三棱锥 P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=40° 过点 A 作截面 AEF 与 PB、PC 侧棱分别交于 E、F 两点,则截面的周长 最小值为 .

15. 已知空间四边形 OABC , 点 M , N 分别为 OA, BC 的中点, 且 OA ? a, OB ? b , OC ? c , 用 a , b , c 表示 MN ,则 MN =_______________. 三.解答题: 16.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC ? 90 , AB ? BC ? 1.
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小;

ABC 所成角为 45 ,求三棱锥 A1 ? ABC 的体积. (2)若 AC 1 与平面
?

17.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?ABC ? 90?, AB ? BC ? BB1 ? 1 ,点 D 是 AC 1 的中点. (I)求证: BD ? 平面 AB1C ;

(II)求二面角 C ? AB1 ? B 的大小的余弦值.

18.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为 .

? . 4

19.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底面
?

1 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成角的余弦值。

天津一中 2013-2014 学年高二寒假作业答案(4)
一.选择题: 题号 答案 1 D 2 C 12. 3:1:2 3 A 4 A 5 A 6 A 7 D 15. 8 B 9 A 10 B .

11.

10 ; -6 3

13. ②③ 14. 3

b?c?a 2

16. (1)异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小为 45 ? ; (2)三棱锥 A 1 ? ABC 的体积为 17. (I)建立空间直角坐标系 B ? xyz ,如图, 则 B(0, 0, 0) , A(1, 0, 0) , C (0,1,0), B1 (0,0,1) , A1 (1,0,1) , D (

2 6

??? ? 1 1 1 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? BD ? AC ? 0, BD ? AB1 ? 0
??? ?

则 BD ? ( , , ) , AC ? (?1,1,0), AB1 ? (?1,0,1) .

????

1 1 1 , , ) 2 2 2

B1 A1

z
C1

? BD ? AC, BD ? AB1 ,且 AC ? AB1 ? A .
? BD ? 平面 AB1C

D

C
(II)? BC ? BB1 , BC ? AB, AB ? BB1 ? B ,

A

B

y

? BC ? 平面 ABB1 .

x

??? ? ? BC ? (0,1,0) 是平面 ABB1 的法向量
由(II)可知 BD ? ( , , ) 是平面 AB1C 的法向量.

??? ?

1 1 1 2 2 2

1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 BC ? BD 3 ? ??? ? ? 2 ? arccos . 即二面角 C ? AB1 ? B 的大小余弦值为 cos ? BC , BD ?? ??? 3 3 | BC || BD | 3 2
18.解:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设

AE ? x ,则 A1 (1,0,1), D1 (0,0,1), E(1, x,0), A(1,0,0), C(0, 2,0)
(1) 因为DA ,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. 1, D 1 E ? (1

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

? ?n ? AC ? 0, AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ?n ? AD1 ? 0,
? a ? 2b ? 0 ,得 ?a ? 2b ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 ACD 的距离为 也即 ? 1 ? ?? a ? c ? 0
? ?a ? c

h?

| D1 E ? n | |n|

?

2 ?1? 2 1 ? . 3 3

(3) 设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) , ∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由?

? ?n ? D1C ? 0,

?2b ? c ? 0 令 b ? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x , ?? a ? b( x ? 2) ? 0. ? ? n ? CE ? 0 , ?

∴ n ? (2 ? x,1,2).依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 2 ( x ? 2) ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3 . ∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4

19.证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) . 2
(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC , 且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 由此得 DC ? 面 PAD . 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD . (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5


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