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【优化指导】2015年高中数学 1.1.1任意角课件 新人教A版必修4


第一章 三角函数

1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角

1.了解角的概念的推广过程.
2.理解任意角的概念.(重点) 3.认识终边相同的角并会简单表示.(重点、难点)

1.角的分类 (1)按角的旋转方向分类 逆时针 方向旋转形成的角,规定为______ 正角 . ①按________



负角 . 顺时针 方向旋转形成的角,规定为______ ②按________
零角 . ③当一条射线没有作任何旋转时,规定为______

如图所示:

___ 正角

负角 ___

___ 零角

(2)按角的终边位置分类 象限 角. ①角的终边在第几象限,则此角称为第几______ 坐标轴 上,则此角不属于任何一个象限. ②角的终边在________ 2.终边相同的角

想一想 (1)理解角的概念要把握哪些要素? 提示:顶点、始边、终边. (2)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式唯一吗?

提示: 不唯一.如:终边落在 y 轴的非正半轴上的角的集
合也可以表示为{α|α=k·360°-90°,k∈Z}.

1.解读任意角的概念
(1)用运动的观点来定义角,就可以把角的概念推广到任意 角,包括任意大小的正角、负角和零角. (2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字: ①要明确旋转方向; ②要明确旋转的大小; ③要明确射线未作任何旋转时的位置.

2.象限角的表示 (1)终边在第一象限内的角为{α|α=k·360°+β,0°<β< 90° , k∈Z} , 即 将 不 等 式 0° < β < 90° 的 两 边 同 时 加 上 k·360°,可得终边在第一象限的角的表示为{α |k·360°<α< k·360°+90°,k∈Z}. (2)终边在第二象限的角的表示为 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}.

(3)终边在第三象限的角的表示为 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}. (4)终边在第四象限的角的表示为 {α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}.

3.终边相同的角的四个注意点 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子 k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下几点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉; (2)α是任意角; (3)k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°- 30°应看 成k·360°+(-30°),k∈Z;

(4)终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它
们相差周角的整数倍.相等的角终边一定相同.

象限角的判定
已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非 负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角.

(1)-75°;(2)855°;(3)-510°.
思路点拨: 画平面直角坐标系 → 作出相应角 → 判断象限角

解:作出各角,其对应的终边如图所示:

(1)由图可知:-75°是第四象限的角.

(2)由图可知:855°是第二象限的角.
(3)由图可知:-510°是第三象限的角.

象限角的判定方法 (1)根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同 的角的概念,因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建 立一一对应的关系. (2)将角转化到0°~360°范围内. 在直角坐标平面内,在 0°~360°范围内没有两个角终边是相同的.

1.已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半 轴上,作出下列各角,指出在0°~360°范围内与其终边相同

的角,并指出它们是第几象限的角.
(1)360°;(2)1 440°.

解:作出各角的终边如图所示:

(1)360°= 0°+ 1×360°. 所以在 0°~ 360°范围内,与 360°终边相同的角是0°.

(2)1 440°=0°+4×360°.所以在0°~360°范围内,与 1 440°终边相同的角是0°. 以上两个角的终边落在 x 轴的非负半轴上,是不属于任何 象限的角.

终边相同的角运用
已知α=2 010°. (1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指

出它是第几象限的角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-360°≤θ<720°.
思路点拨: 求β → 确定α所在象限 → 列不等式求k → 求θ

解:(1)用 2 010° 除以 360° 商为 5,余数为 210° . ∴k=5.从而 α=5×360° +210° (β =210° ). 又 210° 是第三象限角,∴α=2 010° 是第三象限角. (2)与 2 010° 终边相同的角:k· 360° +2 010° (k∈Z), 令-360° ≤k· 360° +2 010° <720° (k∈Z), 7 7 解得-612≤k<-312(k∈Z), ∴k=-6,-5,-4. 将 k 的值代入 k· 360° +2 010° 中,得角 θ 的值为-150° , 210° ,570° .

记住终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍. (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. (3) 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数 倍.

【互动探究】 本例中若将角2 010°改为-315°,其他条件不变,则结 果如何? 解:(1)用-315°除以360°商为-1,余数为45°,所以k =-1,α=-360°+45°,表示第一象限角.

(2)与-315° 终边相同的角:k· 360° -315° (k∈Z), 令-360° ≤k · 360° -315° <720° (k∈Z), 1 23 解得-8≤k< 8 (k∈Z),所以 k=0,1,2. 将 k 的值代入 k· 360° -315° 中, 即得所求角为-315° , 45° , 405° .

2.若角α的终边和函数y=-|x|的图象重合,试写出角α的
集合. 解: 由于 y =- |x| 的图象是三、四象限的平分线,故在 0°~ 360°间所对应的两个角分别为 225°及 315°,从而角 α 的集合为 S = {α|α = k·360°+ 225°或 α = k ·360°+ 315°, k∈Z }.

区间角的表示
已知角 α 的终边落在阴影所表示的范围内 ( 包括边 界),试写出角α的集合.

思 路 点 拨 : 写出满足条件的0° ~360° 范围内的角 结合终边相 → 同的角表示 出区间角

解 : 在 0°~ 360°范 围 内 , 终 边 落 在 阴 影 内 的 角 为 90° ≤α≤135° 或 270° ≤α≤315° . 所以终边落在阴影所表示的范围内的角 α 的集合为{α|90° +k· 360° ≤α≤135° +k· 360° ,k∈Z}∪ {α|270° +k· 360° ≤α≤315° +k· 360° ,k∈Z} = {α|90° + 2k· 180° ≤α≤135° + 2k· 180° , k ∈ Z} ∪ {α|90° + (2k + 1)· 180° ≤α≤135°+ (2k + 1)· 180°, k ∈ Z} = {α|90°+ n· 180° ≤α≤135° +n· 180° ,n∈Z}.

表示区间角的三个步骤 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; 第 二 步 : 按 由 小 到 大 分 别 标出 起 始 和终 止 边 界对 应 的 0°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β}; 第三步:起始、终止边界对应角 α , β 再加上 360°的整数

倍,即得区间角集合.

3 .已知角 α 的终边在如图所示的
阴影部分内 (包括边界),试指出角α的 取值范围. 解: 30°角的终边所在直线上的 角的集合为 S1 = {α|α = 30° + k·180° , k∈Z},

180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为 S2={α|α=105°+k·180°,k∈Z}. 因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为 {α|30°+k·180°≤α≤105°+k·180°,k∈Z}.

易错误区系列(一) 与角的概念有关的理解误区
下列说法正确的是( )

A.第一象限的角小于第二象限的角 B.若90°≤α≤180°,则α是第二象限的角 C.小于90°的角都是锐角 D.有些角不是任何象限的角

解析: 30°角是第一象限的角,- 240°角是第二象限的 角,显然30°不小于-240°,故A不正确;当α=90°或180° 时,其终边落在坐标轴上,不是任何象限的角,可知 B 不正 确;小于90°的角也可能是零角或负角,它不一定是锐角,故 C不正确,D正确. 答案:D 错解 选A,C 或B 错因 对角的概念的推广理解不透彻易错选A或 C;忽略终边落在坐标轴上的角的情况,导 致对角的分类和范围判断不准确而误选B

【纠错提升】1.对角的概念的推广的认识 对角的认识不能仅仅局限于正角的范围,还有负角和零 角.

2.明确角的分类
按照角的旋转方向分为正角,负角和零角; 按照角的终边位置分为象限角和终边在坐标轴上的角.

【即时演练】 下列说法中正确的是( B.第一象限角必是锐角 C.不相等的角终边一定不相同 D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α和β终边相同 ) A.三角形的内角必是第一、二象限角

解析:90°的角可以是三角形的内角,但它不是第一、二 象限角;390°的角是第一象限角,但它不是锐角;390°角和 30°角不相等,但终边相同,故A、B、C均不正确.对于D, 由终边相同的角的概念可知正确. 答案:D


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