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2.1.3对数计算---有答案


1

3.对数的运算性质

2.2.1 对数与对数运算
【温馨寄语】 你的天赋好比一朵火花,假如你用勤勉辛劳去助燃,它一 定会变成熊熊烈火,放出无比的光和热来。 【学习目标】 1.理解对数的概念,掌握常用对数及自然对数. 2.熟记并能够运用对数的性质进行计算或化简. 3.能够熟练地进行指数式与对数式的互化. 4.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行对数的有 关运算. 5.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对 数和常用对数. 【学习重点】 1.指数式与对数式的互化 2.对数的运算性质 3.换底公式的应用 【学习难点】 1.对数概念的理解 2.对数的运算性质的应用 3.对数的换底公式推导及换底公式的逆用 【自主学习】 1.对数的有关概念 D. 8.计算: A.3 9. A.1 10.若 2.换底公式 (1)前提: (2)公式: 且 . 且 . 11.已知 B.2 C.3 且 .a+b ,那么 . B.2 C.1 D.0 A D.4 ,则 C 【预习评价】 1.若 A. 2. A.0 3. A.4 是 5.计算 6.将 7.若 的是 D A. B. C. 且 B.3 .8 2 , 化为对数式为 . 0 1 B.1 C C.2 D.1 中,真数是 ,底数 C.2 ,则 B. B D.3 B C. D.

4.在对数式

.3=1og464 ,则下列等式正确

知识拓展 · 探究案
【合作探究】 1.对数的概念及其与指数式的互化 根据对数的概念及 其与指数式的互化关系式 根据对数式中底数 (1)对数的底数 (2)当对数的底数 的取值范围,回答下列问题:

2

运算性质中底数 能等于零或小于零吗,真数 6.对数的运算性质 对数的运算性质(1) 能否推广为

呢?

,试 证明. 7.换底公式 观察换底公式,思考下列问题: (1)换底公式中底数 是特定数还是任意数? (2)根据换底公式,式子 8.换底公式 , , 这三个字母的名称. 你能根据对数的定义推导出换底公式吗? 9.对数的运算性质 对数的运算性质逆用成立吗?请按下面的提示填空: ① ② . . . 能化为一个对数式吗?

可以等于 0 或 1 吗? 时,对数式是否成立?

2. 对数的概念及其与指数式的互化 根据对数的概念及其 与指数式的互化关系式 结合指数式与对数式的互化完成下列问题, 明确指数式与 对数式之间的关系: (l)在表格的空白处填写

(2)任何一个指数式都可以化成对数式呜? 3.对数的性质及对数恒等式 通过下列问题的探究,明确对数具有的性质. (l)在对数式 ( )中只有 ,

③ 【教师点拨】 1.“三角度”认识对数式 角度一:对数式 与 角度二:对数式 求 角度三:

才有意义,思考为什么负数和零没有对数? (2)试利用所学的知识解释对数式 为什么成立? 4.对数的性质及对数恒等式 完成下列几个问题,认识对 数恒等式及其具有的特点. (1)若 .把 且 ,由 代人 可知, 可得什么结

可看作一种记号,只有在 时才有意义. 也可以看作一种运算,是在已知

的前提下提出的. 是一个数,是一种取对数的运算,结果 与 的

仍是一个数, 不可分开书写, 也不可认为是 乘积. 2.指数式与对数式互化的两点说明 (1)互化前后底数不变,均为 . ,

论,它的意义如何?举例说明. (2)在探究(1)所得结论的基础上,试化简式子 结果如何? (3)结合探究(2)说明利用公式 )化简求值的关键是什么? 5.对数的运算性质 ( 且

(2)互化前后要注意 的改变. 3. 与





位置的变化,特别是名称

的作用

对数的这两个性质常常作为化“简”为“繁”的依据,即把 0 和 1 化为对数的形式, 然后根据对数的有关性质求解问题.

4.对对数恒等式的两点说明 (1)对数恒等式的证明依据对数的定义. (2)对于对数恒等式 5.关于对数运算性质的两点说明 (1)利用对数的运算性质时,要注意公式成立的前提条件. (2)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方运算转化为 加、减、乘的运算,加快计算速度. 6.对换底公式的两点说明 (1)作用: 换底公式的主要用途在于将一般的对数转化为常 用对数或自然对数或其他同一底数的对数,这在计算和求 值方面很有用处. (2)常用结论: ① ② 且 【交流展示】 1.下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是 C A.错误!未找到引用源。与 B.错误!未找到引用源。与 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。与 D.错误!未找到引用源。与 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ; ,其中 . ,且 , 要注意格式:①它们是

3

引用源。,且错误!未找到引用源。,错误!未找到引用 源。,错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。的值为 B A.错误!未找 到引用源。 B.16 C.错误!未找 D.错误!未找 到引用源。 到引用源。

同底的;②指数中含有对数式;③其值为对数的真数.

6.若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。的值为 D A.错误!未找 B.错误!未找 C.错误!未找 D.错误!未找 到引用源。 到引用源。 到引用源。 到引用源。

7.若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用 源。 .3 8.已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 试用错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。表示 错误!未找到引用源。.

9. 抽气机每次抽出容器内空气的 60%, 那么约 误!未找到引用源。). 8

次后,

容器内的空气变为原来的错误!未找到引用源。(已知错 10.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩 余的质量约是原来的 84%,估计约经过多少年, 该物质的 剩余量是原来的一半(结果保留 1 个有效数字).

错误!未找到引用源。, 即约经过 4 年,该物质的剩余量是原来的一半.

2.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)错误!未找到引用源。. (3)错误!未找到引用源。. (1)lga=-1.5.(2)e
4.605

(2)错误!未找到引用源。. (4)错误!未找到引用源。. 【学习小结】 1.指数式与对数式互化时的技巧及应注意的问题 (1)技巧:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指 数当成对数值, 而底数不变即可; 若是对数式化为指数式, 则正好相反. (2)注意问题:①利用对数式与指数式间的互化公式互化 时,要注意字母的位置改变; ②对数式的书写要规范:底数 要写在符号“㏒”的右下

=100.(3)错误!未找到引用源。.(4)错

误!未找到引用源。. 3.已知错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引

用源。B
A.4 B.8 C.3 D.2

4.计算错误!未找到引用源。.

5.已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。都是大于 1 的正数,错误!未找到

角,真数正常表示. 2.求对数值的四个步骤 (1)设:设出所求对数值.

(2)化:把对数式转化为指数式. (3)解:解有关方程. (4)答:总结得结果. 提醒:求对数 数的运算性质来处理. 3.对数的运算性质在解题中的两种应用 就是求 中的 ,可利用指

4

4.将下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式: (l)错误!未找到引用源。. (1)e
-1.2

(2)错误!未找到引用源。.

=a.(2)错误!未找到引用源。.

5.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度错误! 未找到引用源。(单位:m/s)和燃料的质量 M(单位:㎏) 满足错误!未找到引用源。 数的底). (1)当燃料质量错误!未找到引用源。为火箭(除燃料外) 质量错误!未找到引用源。的两倍时,求火箭的最大速 度.(单位:m/s) 2198km/s 为自然对

提醒:对数的运算性质主要用于化简与求值,它只适用于 同底的对数的化简. 4.利用换底公式计算、化简、求值问题的两种思路 一是先利用对数的运算性质进行部分运算,最后再换成统 一底计算. 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、 通 分、求值. 5.解决对数应用题的四个步骤

(2)当燃料质量错误!未找到引用源。为火箭(除燃料外) 质量错误!未找到引用源。的多少倍时,火箭的最大速度 可以达到 8km/s.(结果精确到个位,数据:错误!未找到 引用源。) 54 6.计算:错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。.

【当堂检测】 1.求下列各式的值: (1)错误!未找到引用源。 引用源。 .-3 . 4 (2)错误!未找到

2.求下列各式中的错误!未找到引用源。的值: (1)错误!未找到引用源。.(2)错误!未找到引用源。.(3) 错误!未找到引用源。.(4)错误!未找到引用源。. 64

1

3.计算:(1)错误!未找到引用源。.(2)错误!未找到引用 源。.(3)错误!未找到引用源。. 216

c

课时作业 1: 一、选择题( 每小题 5 分,共 20 分) 1.下列语句正确的是( ) (1)对数式 logaN=b 与指数式 ab=N 是同一关系的两 种不同表示方法; (2)若 ab=N(a>0 且 a≠1,N>0),则 alogaN=N 一定 成立; (3)对数的底数可以为任意正实数; (4)logaab=b 对一切 a>0 且 a≠1 恒成立. A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D. (2)(3)(4) 解析: 由对数定义可知( 1)(2)(4)均正确,而(3)中对 数的底数不等于 1. 答案: B 2.若 log2[log3(log5x)]=0,则 x 等于( ) A.125 B.5 C.3 D.2 解析: 由题意知 log3(log5x)=1, ∴log5x=3,∴x= 53=1 25. 答案: A

3. 在 N=log(5-b)(b-2)中, 实数 b 的取值范 围是( ) A.b<2 或 b>5 B.2<b<5 C.4<b<5 D.2<b<5 且 b≠4 解析: 要使 N=log(5-b)(b-2)有意义,

5

8.(1)求对数式 log(2x-1) 1-x2中 x 的取值范围; (2)若 log5[log3(log2x)]=0,求 x. 解析: (1)要使对数式 log(2x-1) 1-x2有意义, 2x-1>0, ? ? 只须使?2x-1≠1, ? ?1-x2>0, 1 解得 <x<1. 2

?5-b>0,
须使?5-b≠1,

?

? ?b-2>0,

∴2<b<5 且 b≠4.

答案: D 1? 4.已知 f( log2x)=x,则 f? ?2?=( 1 A. 2 C. 2 ) 1 B. 4 D.1

(2)由题意得 log 3(log2x)=1, ∴log2x=3, ∴x=23=8.
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? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)已知 α,β 是方程 x2- 10x+2=0 的两实 α2-αβ+β2 根,求 log2 . |α-β| 解析: ∵α,β 是方程 x2- 10x +2=0 的两实根, ∴α+β= 10,αβ=2, α2-αβ+β2 ?α+β?2-3αβ ∴ = |α-β| ?α+β?2-4αβ
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1 解析: 令 log2x= , 2 1 则 x=2 = 2, 2 1 ? 即 f? ?2?=f(log2 2)= 2. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.有以下四个说法: (1)lg(lg 10)=0; (2)若 10=lg x,则 x=10; (3)ln(ln e)=0; (4)若 e=ln x,则 x=e2. 其中正确的序号是________. 解析: lg(lg 10)=lg 1=0;ln(ln e)=ln 1=0,故(1), (3)正确.若 10=lg x,则 x=1010,(2)错误.若 e=ln x, 则 x=ee,故(4)错误. 答案: (1)(3) + 6.若 loga3=m,loga5=n,则 a2m n=________. m 解析: loga3=m?a =3,loga5=n?an=5, + ∴a2m n=a2m· an=(am)2· an=32· 5=45. 答案: 45 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求下列各式的值: - (1)lg 1;(2)log(2- 3)(2+ 3) 1; lg 3 (3)10 - 10 log81+πlogπ6;(4)22+log23+32- log39. 解析: (1)∵100=1,∴lg 1=0. 1 - (2)因为(2+ 3) 1= =2- 3, 2+ 3 - 所以 log(2- 3)(2+ 3) 1 =log(2- 3)(2- 3)=1. (3)10lg 3- 10 log81+πlogπ6=3-0+6=9. 32 (4)22+log23+32-log39=22×2log23+ 3log39 2 3 =22×3+ =12+1=13. 9
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4 = = 2 2, 2 10-8 ∴原式所求值转化为求 log22 2. 3 令 log22 2=x,则 2x=2 2=2 , 2 2 2 α -αβ+β 3 3 ∴x= ,∴log2 = . 2 2 |α-β| =

10-6

课时作业二: (本栏目内容,在学生用书中以独立形式 分册装订!) 一、选择题( 每小题 5 分,共 20 分) 1.化简 log618+2log6 2的结果是( ) A.-2 B.2 C. 2 D.log62 解析: log618+2log6 2=lo g618+log6( 2)2 =log6(18×2)=log662=2. 答案: B x? 3 ?y?3=( 2.若 lg x-lg y=a,则 lg? - lg ) ?2? ?2? 3 A.3a B. a 2 a C.a D. 2 x y ?3 ? ?3 解析: lg? ?2? - lg?2? =3(lg x-lg y)=3a. 答案: A 3.给出下列 4 个等式:①log372=2log37;②log253 2 =5log23; ③log 84= ; ④log 24=4.其中正确的等式的个 3 数为( ) A.1 B.2

C.3 D.4 解析: 注意对数运算性质及换底公式的运用. ①正确,但要注意 log3(-7)2=2log3(-7)是错误的; 1 ②不正确,由对数换底公式知 log253= log53; 2 log24 2log22 2 ③正 确,log84= = = ; log28 3log22 3 x ④正确,设 x=log 24,则( 2)x=4,即 2 =22, 2 所以 x=4. 答案: C x 4.已知 2x=3y,则 =( ) y lg 2 lg 3 A. B. lg 3 lg 2 2 3 C.lg D.lg 3 2 解析: 对等式 2x=3y 两边取常用对数, 得 lg 2x=lg 3y, x lg 3 即 xlg 2=ylg 3,所以 = ,故 选 B. y lg 2 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) lg 2+lg 5-lg 1 5. ×(lg 32-lg 2)=________. 1 2lg +lg 8 2 lg?2×5?-0 32 解析: 原式= ×lg 1 2 ? ?2 ? lg? ??2? ×8? 1 = ×lg 24=4. lg 2 答案: 4 1 1 6.设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 解析: 由对数与指数的关系,得 a=log2m,b= 1 1 1 1 log5m,则 + = + =logm2+logm5=logm10= a b log2m log5m 2 2,得 m =10. 又 m>0,故 m= 10. 答案: 10 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.计算下列各式的值: 5 1 (1)lg 12.5-lg +lg ; 8 2 log5 2· log79 (2) . 1 3 log5 · log7 4 3 25 8 1? 解析: (1)原式=lg? ? 2 ×5×2?=lg 10=1; log5 2 log79 (2)原式= · 1 log5 log 3 4 3 7
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6
1 1 3 3 =log 2· log 49=- log32· log29 3 2 2 1 3 =- log32· 3log23=- . 2 2 8.解下列关于 x 的方程: (1)log2(2x+1)=log2(3x); (2)log 5(2x+1)=log5(x2-2); (3)(lg x)2+lg x 3-10=0. 解析: (1)由 log2(2x+1)=log2(3x)得 2x+1=3x,解 得 x=1. 检验:当 x=1 时,2x+1>0,3x>0.故 x=1. (2)由 log5(2x+1)=log5(x2-2)得 2x+1=x2-2,即 x2 -2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. 检验:当 x=-1 时,2x+1<0,x2-2<0,不满足真 数大于 0,舍去;当 x=3 时,2x+1>0,x2-2>0.故 x=3. (3)原方程整理得(lg x)2+3lg x-10=0,即(lg x+5)(lg - x-2)=0,所以 lg x=-5 或 lg x=2,解得 x=10 5 或 x= 102. - 经检验知:x=10 5,x=102 都是原方程的解.
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? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)光线每通过一块玻璃板,其能量要损失 10%,把几块这样的玻璃板重叠起来,设光线原来的能量 为 a,通过 x 块玻璃板以后的能量为 y. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)通过多少块玻璃板以后, 光线能量减弱到原来能量 1 的 以下?(数据 lg 3=0.477 1,lg 2=0.301 0) 2 1 ?x ? 9 ?x 解析: (1)依题意,得 y=a? ?1-10? =a?10? ,其中 x≥1,且 x∈N. 9 ?x 1 (2)依题意,得 a? ?10? ≤a×2. 9 ?x 1 所以? ?10? ≤2.两边同时取常用对数,得 9 1 xlg ≤lg ,整理得 x(2lg 3-1)≤-lg 2,所以 10 2 0.301 0 x≥ ≈6.572, 1-2×0.477 1 所以 xmin=7. 所以通过 7 块玻璃板以后, 光线能量减弱到原来能量 1 的 以下. 2
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