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物理竞赛第26届复赛模拟卷


物理竞赛第 26 届复赛模拟卷
1.试证明:物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系:
2 E 2 ? p 2 c 2 ? E0

2. 在用质子 (1 P) 轰击固定锂 (3 Li) 靶的核反应中, (1)计算放出α 粒子的 反应能。 (2)如果质子能量为 1 兆电子伏特,问在垂直质子束的方向观测到α 粒
1

H , 2 He , 3 Li , 子的能量有多大?有关原子核的质量如下: 1.007825; 4.002603; 7.015999. 1 4 7

1

7

p2

? ?
p3

p1

图 51-21

3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非

弹性碰撞的最小速度为多少?如果速度较大而产生光反射, 且在原速度方向和反 方向可以观察到光。问这种光的频率与简正频率相差多少?氢原子的质量为
?18 1.67×10-27kg,电离能 E ? 13.6eV ? 2.18?10 J 。

4. 如图 11-136 所示,光滑无底圆筒重 W,内放两个重量均为 G 的光滑球, 圆筒半径为 R,球半径为 r,且 r<R<2r,试求圆筒发生倾倒的条件。

r O 1

O2

A

G
图 11-136

B

5. 两个完全相同的木板,长均为 L,重力均为 G,彼此以光滑铰链 A 相连, 并通过光滑铰链与竖直墙相连,如图(甲)所示。为使两木板达水平状态保持平 衡,问应在何处施加外力?所施加的最小外力为多大?

6. 如图 11-505 所示,屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成,各绞接

点依次为 1、2??9,其中绞接点 8、2、5、7、9 位于同一水平直线上,且 9 可以无摩擦地水平滑 动。 各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向 上的间距如图所示, 绞接点 3 承受有竖直向下的压 力 P/2, 点 1 承受有竖直向下的压力 P, 求绞接点 3 和 4 间杆的内力。

p 3 2
P
1 4

6 9

l l

8
l

2

5
l l
图 11-505

7

l

L,G 1

L,G

A
(甲) 1

2

7. 一平直的传送带以速度 v=2m/s 匀速运行, 传送带把 A 点处 的零件运送到 B 点处,A、B 两点之间相距 L=10m,从 A 点把零件 轻轻地放到传送带上,经过时间 t=6s,能送到 B 点,如果提高传送 带的运动速率,零件能较快地传送到 B 点,要让零件用最短的时间 从 A 点传送到 B 点处, 说明并计算传送带的运动速率至少应多大? 如要把求得的速率再提高一倍,则零件传送时间为多少
2 ( g ? 10m / s )?

F1

G

(乙)

x 2

F

A

B
' F 1 G

(丙)

8. 一物体以某一初速度 v0 开始做匀减速直线运动直至停止, v

其总位移为 s,当其位移为 2/3s 时,所用时间为 t1;当其速度为 1/3v0 时,所用时间为 t2,则 t1、t2 有什么样的关系?

v0 D
1 v0 3

B
C
t 2 t1

O
图 12-31

A
t

9.一根长为 1m 具有小内截面的玻璃管,两端开口,一半埋在水中。在上端

被覆盖后,把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。

10. 静止的原子核衰变成质量为 m1,m2,m3 的三个裂片,它们的质量损为Δ

m。若三裂片中每两片之间速度方向的夹角都是 120°,求每个裂片能量。

11.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度,内装一种在紫外线照 射下会发出绿色荧光的液体,即液体中的每一点都可以成为绿色 光源。已知玻璃对绿光的折射率为 n1,液体对绿光的折射率为 n2。 当容器壁的内、外半径之比 r:R 为多少时,在容器侧面能看到容器 壁厚为零?

i1 B

A

O n2 n1

i2
C
D

12.(1)用折射率为 2 的透明物质做成内半径、外半径分别为 a、b 的空心 球,b 远大于 a,内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被 吸收掉的光束横截面积为多大?(注意:被吸收掉的光束的横截面积,指的是原 来光束的横截面积,不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。 )图 33-114 所示是 经过球心的截面图。 (2)如果外半径 b 趋于 a 时,第(1)问中的答案还能 成立?为什么? b
a

13.真空中有一个半径为 R 的均匀透明球,今有两束相距为 2d(d≤R)对称地 (即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离)射到球上,试就球的折射 率 n 的取值范围进行讨论 (1)n 取何值时两束光一定在球内相交? (2)n 取何值时两束光一定在球外相交? d O (3)如果 n、d、R 均已给定,如何判断此时两束光的交 ? d 点是在球内还是在球外。

i



14. 一点电荷+q 和半径为 a 的接地导体的球心相距为 h, ? q 求空间的电势分布。

15.电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R,CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的轴线,如图 41-91。P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧,离 O 点距离相 等的两点,已知 P 点的电势为 Up,试求 Q 点的电势 UQ。

物理竞赛第 26 届复赛模拟卷
1.试证明:物体的相对论能量 E 与相对论动量 P 的量值之间有如下关系:
2 2 2 2 证明: E ? p c ? mc
2 E 2 ? p 2 c 2 ? E0

?

?

2

? ?m?c ?
2 2 m0 c

2

? m c c ??
2 2 2

?

2

??

1?
2 4 m0 c ? 2 c 2 ?? 2 2 ? ?c 2 4 2 ? m0 c ? E0

?

2

?c ?? ?
2 2

c2

?

?

2 2 2 2 2 2 2 2 ? E ? p c ? E0 读者可试为之,从 E ? E0 入手证明它等于 p c 。 1 7 2. 在用质子 (1 P) 轰击固定锂 (3 Li) 靶的核反应中, (1)计算放出α 粒子的

反应能。 (2)如果质子能量为 1 兆电子伏特,问在垂直质子束的方向观测到α 粒
1H , 2 He , 3 Li , 子的能量有多大?有关原子核的质量如下: 1.007825; 4.002603; 7.015999. 解: (1)核反应方程如下: 4 4 Li ?1 1 P ?2 He ? 2 He M1 M3 静质量 M 0 E1 E3 动 能 E0 7 3 1 4 7

p2

M2 E2
? ?
p3 p1

由总质量和总能量守恒:

M0 ?

由反应能 Q 的定义得: Q ? ( E2 ? E3 ) ? ( E0 ? E1 )

E0 E3 E1 E2 ? M1 ? 2 ? M2 ? 2 ? M3 ? 2 2 c c c c

图 51-21

? [(7.015999? 1.007825 ) ? 2 ? 4.002603 ] ? 931.5

? [(M 0 ? M1 ) ? (M 2 ? M 3 )]c 2
? 17.35 (兆电子伏特)

?27 8 2 [其中:1u ? c ? (1.66 ?10 千克) ? (2.997925?10 米 / 秒) 2

? 931.5 ?106 兆电子伏特

=931.5 兆电子伏特] (2)设锂靶是静止的,根据动量守恒,可知,反应所产生的两个相同的α 粒子( 2 He 核) ,应沿入射质子的方向对称分开,如图 51-21 所示。 由动量守恒定律有
4

p1 ? p 2 ? p3
矢量 p1 , p 2 , p3 合成的三角形,两底角皆为θ ,又因 M 2 ? M 3 ,因而有 E2 ? E3 已知反应能 Q=17.35 兆电子伏特,且

Q ? E2 ? E3 ? E1 其中 E1 ? 1 兆电子伏特,可得 1 E2 ? E3 ? (Q ? E1 ) 2 1 ? ? (17.35 ? 1) 2
=9.175(兆电子伏特) 即反应所生成的α 粒子其能量为 9.175 兆电子伏特。 α 粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为θ ,因此
2 2 P32 ? P 1 ?P 2 ? 2 p1 p2 cos?
2 由于 P ? 2ME ,得:

M 3 E3 ? M1E1 ? M 2 E2 ? 2M1M 2 E1 E2 c o ? s
代入反应能 Q 的定义式:

Q ? E2 ? E3 ? E1
2 M 1 M 2 E1 E 2 ? M2 ? ? M1 ? ? ? ? ?? 1 ? E ? 1 ? E ? cos ? 2 1 ? ? M ? M3 ? M3 3 ? ? ? ? 将上式中质量数改为质量比得 2 A1 A2 E1 E 2 ? ? A2 ? A1 ? Q?? cos ? ?1 ? A ? ?E2 ? ? ?1 ? A ? ? E1 ? A3 3 ? 3 ? ? ?

其中 A1 ? 1 , A2 ? A3 ? 4 ,代入上式:

所以

3 Q ? 2 E2 ? E1 ? E1 E 2 c o ? s 4 3 2 E2 ? Q ? E1 4 co? s ? E1 E 2

所以

3 2 ? 9.175 ? 17.35 ? ?1 4 ? 0.0825 ? 1? 9.175 ? ? ? 85 16?
4

由此可知, 在垂直于质子束的方向上观察到 2 He 的能量近似就是 9.175 兆电 子伏特。

3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非 弹性碰撞的最小速度为多少?如果速度较大而产生光反射, 且在原速度方向和反 方向可以观察到光。问这种光的频率与简正频率相差多少?氢原子的质量为 1.67×10-27kg,电离能

E ? 13.6eV ? 2.18?10?18 J 。
1 1 解:处于基态的氢原子能量为 E1 ? ?E?12 ,第二激发能量为 E2 ? ?E?22 . 被 氢原子吸收的最小能量子为

1 3 ?18 2 ? 2 ? E ? 1.16 ? 10 ?E ? E2 ? E1 ? E 11 J 4 2 我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数值的最小速度。 如果碰撞是完全非 ? . 弹性的,则碰撞中能量损失最大,碰撞后的速度将是 2 初动能和末动能之差为

?

?

m? 2 2m( 2) m? 2 ? ? 2 2 4 这个值应等于最小的能量子
m? 2 ?E ? 4

?

2

因此

? ? 4?E m ? 6.26 ? 104 m s
在非弹性碰撞后,两个原子的速度为 ? ? 3.13 ? 10 4 m s 2 本题第二间的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度,相对 速度之比给出频率相对变化的极好近似。故有

6.26?104 : 3 ?108 ? 2.09?10?4 ? 2.09?10 0 两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率 4. 如图 11-136 所示,光滑无底圆筒重 W,内放两个重量均为 G 的光滑球, 圆筒半径为 R,球半径为 r,且 r<R<2r,试求圆筒发生倾倒的条件。 分析:如果对两个小球和无底圆筒分别隔离分 析受力再列方程组,较复杂,采取整体法较好。 解:根据物体平衡条件,列出以下方程: r O 选择两个小球作为研究对象,则在竖直方向上 1 O2 有 N-2G=0 A B G (1) 以整体为研究对象,若翻倒必以 A 为轴逆时针 图 11-136 方向旋转,在临界态下对 A 的力矩和为零。此时, 系统受力情况为:两物体的重力,桌面对球支持力 N,筒的重力 W,它们对 A 的力矩不为零,桌面对筒的支持力过 A 点,力矩为零,故有 M A ? N ?2R ? r ? ? Gr ? G?2R ? r ? ? WR ? 0 (2) 将 1 式代入 2 式有 2G?2R ? r ? ? WR

?20

G R ? W 2?R ? r ? G R ? 若该圆筒倾倒必须有 W 2?R ? r ? 。

讨论: (1)从答案中可以看出,当 G 大 W 小,r 与 R 很接近,就容易倾倒, 这也符合重心高、支面小稳度就小的结论。 (2)如果是一个有底圆筒,则在没有其他力推它的情况下,就绝不会倾倒。 请同学们想一想,这是为什么? 5. 两个完全相同的木板,长均为 L,重力均为 G,彼此以光滑铰链 A 相连, 并通过光滑铰链与竖直墙相连,如图 11-245(甲)所示。为使两木板达水平状 态保持平衡,问应在何处施加外力?所施加的最小外力为多大? 分析:要使两板均处于平衡状态,外力只能作用在板 2 上,作用点应位于铰 链 A 与板 2 的重心之间, 以便使板 1 的右端受到向上的作用力,方可使板 1 也处 于平衡状态。为使作用力最小,外力应与木板垂直。 解:如图 11-245(乙) 、 (丙)所示。为使板 1 达水平平衡状态,其右端 A 应受到向上的 F1 作用, F1 的施力物体是板 2 左端。根据力矩平衡条件有
1 F1 L ? G ? L 2

解之得

F1 ?

1 G 2

L,G 1

L,G

隔离木板 2,其左端受到 F1 ' (与 F1 为作用力的反作用力)及重 力 mg 作用,为使板 2 呈水平且平衡,外力 F 的作用点应在 F1 ' 和 G 的作用点之间。设 F 作用点距 A 为 x,选 F 作用点 B 为转轴,根据力 矩平衡条件有 ?1 ? F1 x ? G? L ? x ? ?2 ? 1 ?1 ? 1 G ? x ? G? L ? x ? F1 ? G ?2 ? 2 代入上式得 2 将 1 x? L 3 解之得 3 F ? F1 ? G ? G 2 板 2 所受合力应为 0,有

A
(甲) 1

2

F1

G

(乙)

x 2

F

A

B
' F 1

G

(丙) 图 11-245

点评:本题着重领会由结果或效果反推原因的思想方法, F1 和 F 的方向及作用点均由此方法推出。本题两次使用隔离法。 6. 如图 11-505 所示,屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成,各绞接 点依次为 1、2??9,其中绞接点 8、2、5、 p 7、9 位于同一水平直线上,且 9 可以无摩 3 2 擦地水平滑动。 各绞接点间沿水平方向上的 P l 间距和沿竖直方向上的间距如图所示, 绞接 4 6 1 点 3 承受有竖直向下的压力 P/2,点 1 承受 有竖直向下的压力 P,求绞接点 3 和 4 间杆 l

8
l

2

9

5
l l
图 11-505

7

l

的内力。 解: 由于点 9 可沿水平方向无摩擦滑动,故屋架在点 9 处所受外力只可能 沿竖直方向,设为 N9。由于屋架所受外力 N9、P/2 和 P 均沿竖直方向,则屋架 在点 8 所受的外力也只可能沿竖直方向,设其为 N9。 以整个屋架为对象,列各外力对支点 8 的力矩平衡方程,有

P ?l ?

所以 N9 的方向竖直向上。又由整个屋架的受力平衡关系应有

P ? 2l ? N 9 ? 4l 2 P N9 ? 2

N8 ? N9 ? P ?
N8 ? P ?

P 2

所以 N8 的方向竖直向上。 假设将绞接点 5、 6、 7、 9 这部分从整个屋架中隔离出来, 则这部分受到杆 15、杆 47、杆 36 的作用力,这几个作用力 均沿与杆 15 平行的方向,设其以一个力 T 表示,则这个力 T 也必与杆 15 方向平行。 此外, 这部分还受到杆 25 的作用, N9 设其为 T25,显然 T25 的方向应沿水平方向;这部分还受到支 持力 N9 的作用。这样,这部分就等效为受 T、T25 和 N9 三个 力的作用而平衡。则表示此三力的矢量构成一个封闭三角 形,由前述此三力的方向关系可以确定,这一三角形只能是 如图 11-506 所示的三角形,由此三角形可见,

P ? N9 ? P 2

T

45?
图 11-506

T25

T25 ? N 9 ?

P 2

杆 25 对点 5 的作用力方向水平向左,可见杆 25 中的内力为张力。 又假设取绞接点 8 为研究对象,它受到支持力 N8 和杆 82 对它的作用力 T82 和杆 81 对它的作用力 T81,由于此三力平衡,则 N8 与 T82 的合力必沿杆 81 的方 向,可见应有

T82 ? N8 ? P
且 T82 的方向应水平向右,即杆 82 的内力为张力。 再假设取绞接点 2 为研究对象,由以上分析知, 其左、右两水平杆对它的作用力均为拉力,其大小分 别为 P 和 P/2。而另外只有杆 24 能对点 2 提供水平方 P 向的分力,则为使点 2 在水平方向受力平衡,杆 24 作用于点 2 的力必沿由 2 指向点 4 的方向,进而为使 点 2 在竖直方向上受力平衡, 则杆 12 对点 2 的作用力 必沿竖直向下的方向。 综合上述可得点 2 的受力如图 11-507 所示。由图知

2

T24

45? p 2
T12

图 11-507

T24 cos 45? ?

P ?P 2

故得

T24 ?

2 P 2

2 P 即杆 24 中的内力为张力,其大小为 2
最后以点 4 为研究对象,它受到与之相连的三根杆的 三个力的作用。此三力应互相平衡。现以 T42、T47、T43 表示这三个力, 由于 T42 的方向是确定的 (杆 42 的内力为 张力,则 T42 必沿由点 4 指向点 2 的方向) ,而 T47、T43 又只能沿对应杆的方向,则此三力只可能取如图 11-508 所示的方向。由点 4 在水平方向的受力平衡,应有 所以 由点 4 在竖直方向的平衡,应有

T13

45? 4 45?
T42
图 11-508

T42 cos 45? ? T47 cos 45? T47 ? T42

T47

=P 即杆 43 中的内力为张力,大小为 P。 7. 一平直的传送带以速度 v=2m/s 匀速运行,传送带把 A 点处的零件运送 到 B 点处,A、B 两点之间相距 L=10m,从 A 点把零件轻轻地放到传送带上, 经过时间 t=6s,能送到 B 点,如果提高传送带的运动速率,零件能较快地传送 到 B 点,要让零件用最短的时间从 A 点传送到 B 点处,说明并计算传送带的运 动速率至少应多大?如要把求得的速率再提高一倍,则零件传送时间为多少
2 ( g ? 10m / s )? 分析:零件在传递带上加速运动,当零件与传送带的速度相等时,就与传送 带一起作匀速运动,这就说明了传送带的速度大,它加速的时间长,由于传送带 的长度一定, 只要零件在这有限的长度内一直是加速的,在此加速过程中得到的 最大速度也就是传送带要使零件一直加速具有的最小速度, 若传送带的速度再加 大,也不能使零件运送的时间变短。反过来看,若是零件以一定的初速度滑上传 送带,它在传送带上运动的时间有一个最大值和最小值,显然,最小值就是它在 传送带一直是加速的,而最大值就是零件在传送带上一直是减速的,同样地,减 速过程中对于传送带的速度也有一个临界值,当传送带小于这个临界值时,零件 到达传送带另一端的时间不会变。这两个临界值是值得注意的。 解:零件的初速度为零,放在传送带上,受到传送带对它的滑动摩擦力,提 供它作加速运动所需要的外力,即 f ? ?m g ? m a, a ? ?g 。若零件一直是加速,

T43 ? T42 sin 45? ? T47 sin 45? ? 2T42 sin 45?

到达 B 点的速度为 v t ,由题意可知 2 L 2 ? 10 vt ? ? m / s ? 3.6m / s ? 2m / s t 6 。 显然这是不可能的, 当零件与传送带的速度相等时,它们之间的滑动摩擦力 v2 L? v 2a ? t ? v 消失,零件与传送带一起作匀速运动,由题意可知 a ,代入数据后

L?

vt t 2 ,

解得 a ? 1m / s 。 要使零件能较快地从 A 点到达 B 点,则零件在 A、B 之间应该一直加速, 也就是零件到达 B 点时的速度 v Bm ? v带 ,而
2

vBm ? 2aL ? 2 ?1?10m / s ? 2 5m / s , v带 ? vBm ? 2 5m / s 。
故最短的时间 若传送带的速率提高一倍,则零件传送的时间不变,这是因为零件一直是加速 的,由于加速度和加速的距离一定,故运行的时间也就一定了,还是 2 5 s。 8. 一物体以某一初速度 v0 开始做匀减速直线运动直 v 至停止,其总位移为 s,当其位移为 2/3s 时,所用时间为 t1;当其速度为 1/3v0 时,所用时间为 t2,则 t1、t2 有什么 v0 D 样的关系? 解法一:设物体的加速度为 a(大小) ,由速度公式得
t min ? 2L ? 2 5s v Bm

1 v0 ? v0 ? at2 3

1 v0 3

B A
t

O

C
t 2 t1

2v t2 ? 0 3a 有

(1) 根据位移公式得

2 1 2 s ? v0 t1 ? at1 3 2 且
此两式联立得

2 v0 s? 2a

at12 ? 2v0t1 ?
v0 ? a

2 2v0 ?0 3a

解之得

t1 ?

v20 3

因为该物体运动的总时间

T?

v0 a ,因此有 t1 ? T ,由此知 t1 只能取

v20 v0 ? 3 ? 3 ? 3 ? v0 t1 ? a 3 a 比较(1) 、 (2)式可知 t1 ? t 2
解法二:物体在 t1 时间内的位移为

(2)

s1 ?
物体在 t 2 时间内的位移为

2 s 3

(3)

?1 ? v ? ? v0 ? 2 ? 3 ? ? 4v0 ? 8 s s2 ? 2a 9a 9 (9) 比较(3) 、 (4)式可知 S1 ? S 2 ,因而其对应的时间应满足 t1 ? t 2 。
2 0

2

解法三: 根据题意作出物体的 v -t 图像如图 12-31 所示, 显然, 当经过时间 t 2

2 s 时,发生的位移早已超过 3 。原因是,根据图中 ?ABC ~ ?ADO ,由此可知, 1 8 s s t ?ABC 表示的位移为 9 ,即在 2 时间内发生的位移为 9 ,所以, t1 ? t 2 。

9.一根长为 1m 具有小内截面的玻璃管,两端开口,一半埋在水中。在上端 被覆盖后,把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。 解:埋入水中后,玻璃管中水柱为 0.5m。取出水面时,有一小部分水流出。 如留下的水柱高度为 h,水管内的空气压强可用玻意耳-马略特定律算出: P V P ?L / 2 ? A P0 L P? 0 ? 0 ? ?L ? h?A 2?L ? h? V1 (1)

式中 L=1m,A 为玻璃管的截面。 玻璃管外的压强等于玻璃管内水柱和空气的压强之和。 P0 L P0 ? ? h?g 2?L ? h ? (2) 其中 ? ? 10 kg / m 为水的密度。 解此方程, 得出 h ? 0.475 m ? 47.5cm. 这从物 理上看是可接受的数值。
3 3

10.静止的原子核衰变成质量为 m1,m2,m3 的三个裂

片, 它们的质量损为Δ m。 若三裂片中每两片之间速度方 向的夹角都是 120°,求每个裂片能量。 解: 由题建立如下坐标系图(51-1)
2 原子核衰变释放能量: ?E ? ?mc 由能量守恒知: 1 1 1 ?E ? m1?12 ? m2 ? 2 2 ? m3 ?3 2 2 2 2 由轴方向动量守恒得:

y m 1 ?1
120?
? O 120

x

120?

? m3 3

m 2 ?2

图 51-1

∴ 又由 y 轴方向动量守恒得: ∴ ∴ 又 ∴

P2 sim60? ? P3sim60? ? 0 P2 ? P3

P2 sim30? ? P3sim30? ? P 1 ?0 P2 ? P3 ? 2P 1
P 1 ? P2 ? P 3
P2 Ek ? 2m

?mc2 ?

2 P2 P P2 1 ? 2 ? 3 2m1 2m2 2m3

2 ?P 1 (
2 1

1 1 1 ? ? ) 2m1 2m2 2m3

∴ ∴

2?m c2 ? m1m2 m3 P ? m1 ? m2 ? m2 ? m3 ? m1 ? m3

Ek1 ? Ek 2 Ek 3 ?

2 ?mc2 m2 m3 P 1 ? 2m1 m1m2 ? m2 m3 ? m1m3

?mc2 m1m3 P22 ? ? 2m2 m1m2 ? m2 m3 ? m1m3 P32 ?mc2 m1m2 ? 2m3 m1m2 ? m2 m3 ? m1m3

11.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度,内装一种在紫外线照射下会发出绿 色荧光的液体, 即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射 率为 n1,液体对绿光的折射率为 n2。当容器壁的内、外半径之比 r:R 为多少时, 在容器侧面能看到容器壁厚为零? 分析: 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零” ,是指眼在容器截面位置看 到绿光从 C 点处沿容器外壁的切线方向射出,即本题所描述为折射角为 90°的 临界折射,因为题中未给出 n1 、 n2 的大小关系,故需要分别讨论。 解: (1)当 n1 ? n2 时 因为是要求 r : R 的最小值, 所以当 n1 < n2 时, 应考虑的是图 33-104 中 ABCD 这样一种临界情况, 其中 BC 光线与容器内壁相切, CD 光线 和容器外壁相切,即两次都是临界折射,此时应该有 sin i2 1 ? ? n1 sin 90 设此时容器内壁半径为 r0 ,在直角三角形 BCO 中, sin i2 ? r0 / R 。

i1 B

A

O n2 n1

i2
C
D

图 33-104

当 r ? r0 时,C 处不可能发生临界折射,即不可能看到壁厚为零;当 r ? r0 时,荧 光液体中很多点发出的光都能在 C 处发生临界折射,所以只要满足

r / R ? 1 / n1 即可看到壁厚为零。 (2)当 n1 = n2 时
此时荧光液体发出的光线将直线穿过容器内壁,只要在 CB 及 其延长线上有发光体,即可看到壁厚为零,因此此时应满足的条件 r / R ? 1 / n1 仍然是 (3)当 n1 > n2 时 因为 n1 > n2 ,所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生
图 33-105 折射角为 90 ? 的临界折射,因此当 r ? r0 时,所看到的壁厚不可能 为零了,当 r ? r0 时,应考虑的是图 33-105 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 AB 光线的入射角为 90°,BC 光线的折射角为 r1 ,此时应该有

O

A B E r0

r1

C
D

i2

sin 90? n1 ? sin r1 n2
在直角三角形 OBE 中有

sin r1 ? OE / OB

因为图 33-104 和图 33-105 中的 i 2 角是相同的,所以 OE ? r0 ,即

sin 90? n1 ? r0 / r n2
R n1 代入,可得当 r / R ? 1 / n2 将 时,可看到容器壁厚为零。 上面的讨论, 图 33-104 和图 33-105 中 B 点和 C 点的位置都是任意的。故所 得条件对眼的 r0 ?

12.(1)用折射率为 2 的透明物质做成内半径、外半径分 别为 a、b 的空心球,b 远大于 a,内表面涂上能完全吸光的物 质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多 a 大?(注意:被吸收掉的光束的横截面积,指的是原来光束的 横截面积, 不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。 ) 图 33-114 所示是经过球心的截面图。 图 33-114 (2)如果外半径 b 趋于 a 时,第(1)问中的答案还能成 立?为什么? 分析: (1)如图 33-115 所示,不被 a 球吸收的极限光线是与 a 球相切的光线 AB ,因此被吸收掉的光束横截面积应该是以 R 为半径的一个圆盘,面积为 S ? ?R 2 。利用折射定律和相关几何关系式不难求出 R 而得解。 (2) 在 b 趋于 a 的过程中, 当 b 减小到一定程度时, E 入射到 b 球面上的所有光线折射后可能都会与 a 球面相 i A B 交,此时如果 b 再度减小,则依据第(1)问计算出的 r D R b a R ? 结果就不能成立。 ? i C O 解: (1)如图 33-115 所示,CO 为穿过球心的光线, F 与 CO 相距为 R 的光线在 b 球面折射后折射光线 AB 恰 好与 a 球相切,则有
b 图 33-115

由折射定律 所以 又因为 所以

R ? b sin i sin i ? ns i n r R ? nb sin r
sin r? a b ,n ? 2

i ? 90 ? A b

r

B
a

R ? na ? 2a

S ? ?R 2 ? 2?a 2 2 即被吸收掉的光束横截面积为 2?a 。 (2)在 b 趋于 a 达到一定程度时,从第(1)

O

问的结果可知,当 b 减小到 b ? na ? 2a 时, ?b 2 ? 2?a 2 ,即入射到此空心球上的全部光线都
?

图 33-116

将被吸收掉,此时极限光线的入射角 i ? 90 ,而 R=b,如图 33-116 所示。如果 b 再减小,则入射到此空心球上的全部光线仍将被 ? i ? 90 ? 吸收掉,此时极限入射光线(即入射角 i ? 90 )的折射线 2 r 并不与内球表面相切,所以被吸收光束截面积为 2?a 的 b 2 2 a 结论不再成立。被吸收光束截面积此时为 ?b ? 2?a ,参 见图 33-117 所示。 讨论: (1)本题第(1)问可以改为求经过空心球折 射后的光束在球右边形成的出射光束的截面积大小是多 少的问题。 从左边平行入射到空心球的光束只有 AE 区域 图 33-117 间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来,如图 33-115 所示。与 a 球相切的光线 AB 光 b 球于 D,过 E 点
? ? 的光线入射角为 90 ,因折射率为 2 ,所以该折射光线的折射角为 45 ,即折射 光线刚好交于 b 球于 F 点。设 ?DOF ? ? , D 到直线 OF 的距离为 R ? ,且 R? ? b s i n ?, 2 而出射光束截面积 S ? ? ?R? 。由几何关系易知 ? ? 2r ? r ? ,


i

? ? 2 arcsin

A

? B r
i

C

D

O

a a ? arcsin( n) b b ,所以可求出 S ? 。 (2)如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质, 而要求进入球内空心部分的光束在球壳外的截面积大小是多少。 因为距中心光线 CO 越远的光线,在两球面上的入射角越大,因 此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光 从介质进入空气的临界角这条特殊光线来考虑,如图 33-118 所 示。设 ? 角为光由介质射入空气的临界角,在Δ ABO 中,有

图 33-118

sin r sin(? ? ? ) 1 ? ? a b nb , 又由 sin i ? n sin r , 由图可知 AD ? b sin i 。 利用以上几个关系式可得 AD ? a , 2 2 故所求射入球内空心部分的光束在球外的截面积 S ?? ? ?AD ? ?a

点评:从本例的解答中可看出,正确分析和作出边界光线是解决问题的关键。 边界光线是随着具体问题的不同而改变的,要注意针对具体问题灵活把握。

13.真空中有一个半径为 R 的均匀透明球,今有两束相距为 2d(d≤R)对称地 (即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离)射到球上,试就球的折射 率 n 的取值范围进行讨论 (1)n 取何值时两束光一定在球内相交? (2)n 取何值时两束光一定在球外相交? (3)如果 n、d、R 均已给定,如何判断此时两束光的交点是 在球内还是在球外。 d O 分析:设当球的折射率为 n0 时,两束光刚好交于球面上,如图 ? d 33-123 所示。令光线射入球中时的入射角为 i,折射角为 r,则由图 i 中的几何关系有 1 r? i 2 图 33-123 又由折射定律有 n0 s i n r ?sin i 由上两式解得 n0 ? 2 c o r s 又由图中的几何关系可以得到

cor s?

?R ?

R ? R2 ? d 2 R2 ? d 2
2

? ?d

2

?
?

R ? R2 ? d 2 2R
1 d2 2 ? 2 1? 2 2 R

1 d2 n0 ? 2 ? 2 1? 2 2 R
d 由上式可见,对于某一个确定的比值 R ,为使两光线刚好交于球面,球的 折射率有一个确定的值 n0 与之对应。这样,我们可以假想,若球的实际折射率 n 不等于 n0 时,则两光线进入球内时的情况与前面图示的情况有所不同,即两光 线不是交于球面上。当 n ? n0 时,两光线将比图示情况偏折得更厉害(图中角 r

将更小) ,两光线的交点必在球内;当 n ? n0 时,两光线将比图示情况偏折得少 一些(图中的角 r 将大一些) ,两光线的交点必在球外。 d d 0 ? ?1 R 若以 R 作为一个变量来讨论上述问题,由于 ,故由此确定的 n0 的 范围是 2 ? n0 ? 2 。
d 解: (1)当 n ? 2 时,对于任何 R 来说,都有 n ? n0 ,即不管球的半径和两 光线间的距离如何,两光线都必定在球内相交。

d (2)当 n ? 2 时,对于任何 R 来说,都有 n ? n0 ,即不管球的半径和两光 线间的距离如何,两光线都必定在球外相交。

? 2 ? ?n ? 2 ? 2 1? d ? ? 0 R2 ? ? ?的 (3) 对于任意给定的 n、 R 和 d, 则只需比较 n 与 n0 大小即可确定两光线的交点是在球内还是在球外: 当 n ? n0 时,两光线的交点在球内;

当 n ? n0 时,两光线的交点在球面上; 当 n ? n0 时,两光线的交点在球外; 14. 一点电荷+q 和半径为 a 的接地导体的球心相距为 h, 求空间的 电势分布。 分析:此处是电荷与导体上的感应电荷共同作用的情况,此处导体 是一导体球,而非平板。我们自然地猜想,球上的感应电荷可否用像电 荷等效替代?若可以,该电荷应在何处? 解:在导体球面上,电力线与球面正交,从电力线会聚的趋势(如 图 41-85(a) )来看,感应电荷与-电荷 ? q? 相当。据对称性, ? q? 应在 z 轴上,设其距球心 h? 。如图 41-85(b) 。 点电荷+q 与像电荷 ? q? 在 P 点的电势为

?q

? q q? U ? k? ? ? 2 2 s r 2 ? h? 2 ? 2rh? c o ? s ? r ? h ? 2ah c o ?
由球面上 U=0,即 r=a 处。U=0,有

? ? ? ?

图 41-85(a)

q a 2 ? h 2 ? 2r a h co? s

?

q? a 2 ? h? 2 ? 2ah? c o ? s

上式含有参量 q? 与 h? ,因而问题化成能否找到两个参量 q? 和 h? ,使上式对 于任意的 ? 都能满足。两边平方 q 2 a 2 ? h 2 ? 2q 2 ah?h c o ? s ? q? 2 a 2 ? h 2 ? 2q? 2 ahc o ? s

?

?

?

?

要使此式对任意 ? 都成立,必须

q 2 a 2 ? h 2 ? q? 2 ? a 2 ? h 2
得出 q? 和 h?
a2 h? h

?

?

?

?

q 2 h? ? q? 2 h

q? ?

a ?q h

?q r h

Z

q ? ? ?q 其中第一组解像电荷在球内,其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组

h? ? h

? q? ? h? r0 O

r? P

图 41-85(b)

解像电荷就在 q 处, 其对球内空间作用与感应电荷相同(第二组解并非其他书上 所说的毫无意义,这一结果有很好的应用。虽然它看起来显而易见) 。 球外空间电势为
? ? ? ? q q ? ? U ? K? ? ? 2 2 2 s ?h? 2 ? h ? r ? 2rh c o ? 2 a ? ? ? r ? 2hr c o ? s? ? ? ?a? ? ? 球内空间电势为零。 讨论:若导体球绝缘,并且原来不带电,则当导体球放在点电荷 q 的电场中 时, 球将感应等量的正负电荷, 球外空间的电场由点电荷 q 及球面上的感应正负 电荷共同产生。这时感应电荷的贡献,除了负电荷根据上面的讨论可由球内 Z 轴上的象 ? q? 代替外,还应有一个感应正电荷的像 q? ,为了保持球面等势,这个

像的位置位于球心。那么

? q q? q? ? U ? K? ? r ? r ? r? ? ? 0 ? ? 对于球面上任意一点 q q? ? r r?
而 r0 ? a ,所以
q? q ? K ? 常数 a h 从上式可以看出球面的电势相当于单独的一个点电荷 q 在球心的电势。 实际 上,由于球表面带电总量为零,这一点是显而易见的。 U ?K
2 如果 q 移到无限远,即 h ? ? ,同时增大 q,使在球心处的电场 E0 ? kq / h

保持有限。 这时, 像电荷 ? q? 的 因而像电荷 q? 和 ? q? 在球心形成一个电偶极子,其偶极矩为
? a3 ? ? ? P ? q ?h? ? E0 ? 4?? 0 a 3 E0 k 。

h? ?

a2 3 2 h 无限趋近球心, 但 q?h? ? a q / h 保持有限,

? E 无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场 0 可看作是均 ? E 匀的。因此一个绝缘的金属球在匀强电场 0 中受到感应后,它的感应电荷在球 a3 ? E0 外空间的作用相当于一个处在球心,电偶极矩为 K 的偶极子。
15.电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R,CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的轴线,如图 41-91。P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧,离 O 点距离相 等的两点,已知 P 点的电势为 Up,试求 Q 点的电势 UQ。 分析:本题关键是将其转化为空间对称情形,而后用电势叠加原理求解。 解:设想一匀匀带电、带电量也是 q 的右半球,与题中所给的左半球组成一

个完整的均匀带电球面,由对称性可知,右半球在 P 点的电势 Q 点的电势,即
U 'p ? U 0 U p ? U Q ? U p ? U 'p

U 'p

等于左半球在

(1) (2)

所以 而
U p ? U 'p

正是两个半球同时存在时 P 点的电势。 因为均匀带电球壳内部各 2q k 处电势都相等,其值等于 R ,k 为静电力恒量,所以得 2q U p ? U 'p ? k R (3)
UQ ? k 2q ?U p R

由(2)、(3)两式得


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