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裂项相消


等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 定 每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.这个 义 常数叫公差. ① an?1 ? an ? a2 ? a1 递 推 关 系 ③ an?1 ? an ? an ? an?1 ③ ( n ? 2, n ? N )
*

差 数 列



比 数 列

一般地,如果一个数列从第 2 项起,

一般地,如果一个数列从第 2 项起,每 一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那 么这个数列就叫等比数列.这个常数叫公 比.

(n? N )
*



② an?1 ? an ? d

(n? N )
*

an?1 a2 ? an a1 an ?1 ?q an an ?1 a ? n an an ?1

(n? N )
*



( q ? 0, n ? N * )

( n ? 2, n ? N * )

通 项 公 式

① an ? a1 ? (n ?1)d ② an ? pn ? q

(n? N )
*

① an ? a1 ? q n?1

(n? N )
*

( p, q为常数, n ? N ) ② an ? p ? q n
*

( p, q是常数, q ? 0, p ? 0, n ? N )
*

① 2Sn ? n(a1 ? an ) 求 和 公 式 ② S n ? na1 ?

(n? N )
*

? n ? n * ①求积公式 ? ? ? ai ? ? ? ( a1 a n ) ( n ? N ) ? i ?1 ?

2

n(n ? 1) d 2

(n? N )
*

?na1 , q ? 1 ? ② S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ? 1 ?
③ Sn ? ?

(n? N )
*

③ Sn ? An2 ? Bn ( A, B是常数, n ? N )
*

?na1 , q ? 1 ? A ? Aq , q ? 1
n

( n ? N ,A ? 0 )
*

①若 p+q=s+r, p、q、s、r ? N*,则

①若 p+q=s+r, p、q、s、r ? N*,则

a p ? aq ? as ? ar .
②对任意 c>0,c ? 1, c

a p aq ? a s ar .
an

? ? 为等比数列.

②对任意 c>0,c ? 1, 若 an 恒大于 0 ,则

?logc an ? 为等差数列.
《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页) 第1页



③ an?1 ? an?1 ? 2an , n ? N * , n ? 2 . ④若 ?an ? 、 ?bn ? 分别为两等差数列,则

2 ③ an?1an?1 ? an ,n ? N?,n ? 2 .

④若 ?an ? 、 则 ?an bn ?为 ?bn ? 为两等比数列, 等比数列. ⑤若 an 恒大于 0,则数列 ?n

?an ? bn ? 为等差数列.


?S ? ⑤数列 ? n ? 为等差数列. ?n?
⑥若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 abn 为等差数列.

? ? ? ?

? ? a ? i ? 为等比 ? i ?1 ?
n

? ?

数列. ⑥若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 abn 为 等比数列. ⑦ S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n ,?为等比数列. ⑧

? ?



⑦ S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n , ? 为 等 差 数 列. ⑧

Sn Sn?m ? Sm * ? ,n>2m,m、n ? N . n n ? 2m

n

? ai ? n ? 2 m
i ?1
*

n

i ? m ?1

?a

n?m

i

, n>2m , m 、

质 ⑨ Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd . ⑩若 Sm ? Sn , m ? n, 则 Sm?n ? 0 .

n ? N , a p ? 0, p ? N * . ⑨ Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm . ⑩若 a1a2 ?am ? a1a2 ?an , m ? n, 则

?a
i ?1

m?n

i

? 1.

此外,还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论,这些结论之间不具有对偶关系: 等 差 数 列 重 要 结 论 ② 若 S p ? q, S q ? p, 且 p ? q , 则 ②若|q|<1,则 lim S n ? S ?
n??



比 数 列

* ①若 a p ? q, aq ? p, p、 q? N , 且p?q,

① S mn ? S m (1 ? q m ? q 2m ? ? ? q ( n?1) m ) = S n (1 ? q n ? q 2n ? ? ? q ( m?1) n ) .

则 a p ?q ? 0 .

a1 . 1? q

S p?q ? ?( p ? q), p、q ? N * .
数列双基复习训练(A) (满分:100 分 时间:60 分种) 一.选择题(共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分)

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第2页

1.数列 1,3,6,10,? 的一个通项公式是 A. n 2 ? (n ? 1) B. n ? 1
2

( C.



n( n ? 1) 2

D.

n( n ? 1) 2

2.已知数列 ?an ? 满足 an an?1 ? an?1 ? (?1) n (n ? 2) 且 a1 ? 1 ,则

a3 ? a2





A.2

B.

1 4

C.4

D.

1 2


3.等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,如果 a1 , a2 , a5 成等比数列,那么公差 d 等于 ( A.2 B.-2 C.2 或 0 D. ? 2 (

4.数列的前 n 项和 sn ? 2n 2 ? 5n ? 2 ,则此数列一定是 A.递增数列 B.等差数列 C.等比数列 D.常数列



5.凸五边形各内角度数成等差数列,则其中必有一个内角等于 A. 108
?





B. 120

?

C. 90

?

D. 72

?

6.在 a 和 b(a ? b) 两数之间插入 n 个数,使它们与 a、 b 组成等差数列,则该数列公差为 ( A. )

b?a n

B.

b?a n ?1

C.

a?b n ?1

D.

b?a n?2
( )

7.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ? 3n ? c , 则 c 等于

A.0 B.1 C.2 D.3 8.一个等比数列的前 n 项和为 48,前 2 n 项和为 60,那么前 3n 项和为 ( ) A.84 B.75 C.68 D.63 9. 设{an}是等差数列,Sn 是前 n 项的和,且 S5 < S6, S6 = S7 > S8,则下列结论错误的是( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6、S7 均为 Sn 的最大值 10. ?an ? 是一个等差数列且 a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a4 ? a5 ? ? ? a14 ? 77 .若 ak ? 13 ,则 k等于 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22 11. 等比数列前 n 项和为 Sn,有人算得 S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了, 错 误的是 ( ) A.S1 B.S2 C.S3 D.S4 12. 若相异三数 a(b-c),b(c-a),c(a-b)组成以 q 为公比的等比数列, 则 q 满足的方程是 ( ) 2 4 2 2 A. q -q+1=0 B、q +q -1=0 C、q +q+1=0 D、q4+q2+1=0 选择题答题卡(请将以上选择题的答案填入下面的表格中) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第3页

二.填空题(共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分) 14.若 f ?n ? 1? ? f ?n? ? 4 ,且 f ?1? ? 2 ,则 f ?100? ? _____. 15.在等比数列{an}中,a7?a11=6, a4+a14=5, 则 13.在等比数列中, a5 ? 2 ,则此数列前九项之积为 _____.

a 20 =_________. a10 a1 ? a3 ? a9 =_________. a 2 ? a 4 ? a10

16.已知等差数列{an}中,a1、a3、a9 成等比数列,则

三.解答题(共两道小题,每小题 12 分,共 24 分) 17.已知一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170, 试求这个数列的公比和项数.

18.已知函数 y= log2

n

1 (n?N*). x

(1)当 n=1,2,3,?时,已知函数的图象和直线 y=1 的交点的横坐标依次记为 a1,a2,a3,?. 求证:a1+a2+a3+?+an<1. * (2)对每一个 n?N ,设 An、Bn 为已知函数图象上与 x 轴距离为 1 的两点,求证:n 取任意一 个正整数时, 以线段 AnBn 为直径的圆都与一条定直线相切, 并求这条直线的方程和切点的坐标.

数列双基复习训练(B) (满分:100 分 时间:60 分种) 一.选择题(共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.命题甲是“a,b,c 成等比数列” ,命题乙是“b=± ac ”那么 A.甲是乙的充分非必要条件 C.甲是乙的充要条件 B.甲是乙的必要非充分条件 D.甲不是乙的充分条件也不是必要条件 ( )

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

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2.已知等差数列{an}中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D. 64





3.等比数列{an}中 a2-a1=9, a5-a4=576 , 则

a12 的值等于 a9
D.





A.46

B.64

C.

1 46

1 64
1 为第三 3

4.在△ABC 中,tanA 是以-4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以

项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形 5.已知-9,a1, a2,-1 四个实数成等差数列;-9,b1, b2, b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1) 等于 ( ) A.-8 B.8 C.-

9 8

D.

9 8
( )

6.如果数列{an}的前 n 项和 Sn= A.an=2(n2+n+1)

3 an-3,那么这个数列的通项公式是 2
C.an=3n+1 D.an=2· 3n

B.an=3· 2n

7.若两个等差数列{an} . {bn}前 n 项和 An 和 Bn 满足 是 A.

An a 7n ? 1 (n? ? *) ,则 11 的值 ? Bn 4n ? 27 b11
78 71

7 4

B.

3 2

C.

4 3

D.

( ( ( (

) ) ) )

8.已知等差数列前 n 项和为 Sn,若 S12>0,S13<0,则此数列中绝对值最小的项是 A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D. 第 8 项 9.已知{an}是等比数列,a1=2,q=3,又第 m 项至第 n 项和为 720,则 m 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 10.在各项均为正数的等比数列{an}中若 a4· a7=9,则 log3a1+log3a2+?+log3a10 等于 A.8 B.10 C.12 D. 14 11.若关于 x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为 的值是 A.

1 的等差数列,则 a+b 4
( )

3 8

B.

11 24

C.

13 24

D.

31 72
( )

12.等比数列中,S10=10,S10=(1+ 2 )S5,则 S40 等于

A.150 B.-200 C.150 或-200 D. 400 或-50 二.填空题(共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.等差数列{an}中 a3=10, a3,a7,a9 成等比数列,则公差 d= __________. 14.在

1 和 4 之间插入 10 个数,使它们成等比数列,则插入 10 个数的积为 2

_______.

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

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15.集合 M={m︱m=7k+3, k?N , 100<m<200}的所有元素的和为 . 16.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” .设{an}是公比为 q 的等比数 列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第_________组.(写出所有符合要求 的组号) ①S1 与 S2; ②a2 与 S3; ③a1 与 an; ④q 与 an. 这里 n 为大于 1 的整数,Sn 为{an}的前 n 项和. 三.解答题(共两道小题,每小题 12 分,共 24 分) 17.有 4 个数,其中第 1、第 3、第 4 个数成等差数列,第 1、第 2、第 4 个数成等比数列,若 首末两个数之和为 20,中间两个数之积为 80,求这四个数.

*

18.陈老师购买安居工程集资房一套 72m2,单价为 1000 元/m2,国家一次性补贴 28800 元,学 校补贴 14400 元,余款由个人负担,房地产开发公司对教师实行分期付款,每期为一年,等额付款, 签订购房合同后一年付款一次,再过一年又付款一次等等,共付 10 次,10 年后付清,如果按年利 率 7.5%(按复利计息) ,那么每年应付款多少元?(计算结果精确到百元,可参考数据:1.075 9≈ 10 1.921,1.075 ≈2.065,1.07511≈2.221).

数列双基复习训练(A)参考答案 一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 B 8 D 9 C 10 B 11 C 12 C

二、填空题 13.29(=512) 14.398 15.

3 2 或 2 3

16.1 或

13 16

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

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三、解答题 17.解: 设该等比数列{an}的公比为 q, 项数为 2n,则

S 奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a 2 n ?1 S 偶 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ? ? ? a 2 n ? q (a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a 2 n ?1 )
所以,q=

S偶 S奇

?

170 =2 85

a1 (1 ? q 2 n ) 又 S偶 ? S奇 ? 255,所以 ? 255,又已知 a1 ? 1 1? q
所以, 2
2n

? 256 ,所求数列的项数为 2n=8
1 n ), 2

18.解:(1)易知 an=(

1 1 n ?1 ?( ) 1 2 2 ? 1 ? ( ) n ? 1. ∴ a1+a2+?+an= 1 2 1? 2 1 (2)令 y= ? 1,求得 An,Bn 两点坐标分别为( n ,1)和(2n,-1),以 AnBn 为直径的圆的 Cn 2
的方程为

1 )( x ? 2 n ) ? ( y ? 1)( y ? 1) ? 0 n 2 1 1 2n ? n 2n ? n 2 )2 ? y 2 ? ( 2 )2 配方得 (x ? 2 2 (x ?
∴所在圆 Cn 与 y 轴相切于原点.

数列双基复习训练(B)参考答案 一、选择题 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A

二、填空题 13.0 或 ?

5 4

14.32

15.2250

16.①④

三、解答题 17.解: 设这四个数分别为 a1 , a2 , a3 ,a 4 .依题意有:

2a3 ? a1 ?a 4 ,

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

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2 a2 ? a1a4 ,

a1 ? a4 ? 20,

a2 a3 ? 80.
求得 a1 ? 4, a2 ? 8, a3 ? 10,a 4 ? 16 或 a1 ? 16, a2 ? 8, a3 ? 10,a 4 ? 4 . 18.解:设每年应付款 x 元.陈老师个人需付款 72?1000-28800-14400=28800,由分期付 款的知识,可得方程:

28800? (1 ? 7.5%)10 ? x(1 ? 7.5%)9 ? x(1 ? 7.5%)8 ? ? ? x


28800? (1 ? 7.5%)10 ? x ?

(1 ? 7.5%)10 ? 1 (1 ? 7.5%) ? 1

所以

x?

28800? (1 ? 7.5%)10 ? 7.5% ? 4 2 0 .0 (1 ? 7.5%)10 ? 1

答: 陈老师每年应付 4200 元.

求数列{an}通项公式的方法
1. a n ?1 = an + 累加法:

f ( n) 型

3. a n ?1 =p an +q 型(p、q 为常数)

an =( an - an?1 )+( an?1 - an?2 )+?+( a2 - a1 )
+ a1 =

q q ), = p(a n ? p ?1 p ?1 再根据等比数列的相关知识求 an .
方法: (1) a n ?1 +

f (n ? 1) + f (n ? 2) +?+ f (1) + a1
n

例 1.已知数列{ an }满足 a1 =1, , an?1 = an + 2 (n?N+) 求 an . [解]

an = an - an?1 + an?1 - an?2 +?+ a2 - a1 + a1
=2
n ?1

+2
n

n?2

+?+ 2 +1

1

p(an ? an?1 ) 再用累加法求 an . a n ?1 a n q ( 3 ) n ?1 = n + n ?1 ,先用累加 p p p an 法求 n 再求 an . p 例 3. 已知 { an } 的首项 a1 =a ( a 为常数) , ,求 an . an =2 an?1 +1(n?N+,n≥2) [解] 设 an -λ =2( a n ?1 -λ ) ,则λ =-1 ∴ an +1=2( a n ?1 +1) ∴{ an ? 1 }为公比为 2 的等比数列.
(2) a n ?1 - an = ∴ an +1=(a+1) ?2
n ?1

=

1? 2 1? 2

= 2 -1

n

∴ an =(a+1) ?2

n ?1

-1

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第8页

∴ an = 2 -1 (n?N+)

n

2.

an?1 ? g ( n) 型 an an a n?1
?

4. a n?1 =p an + f ( n) 型(p 为常数) 方法:变形得

a n ?1 p n ?1

=

an pn

+

f (n) , p n ?1

累乘法: an =

a n ?1 an?2

?

a2 a1

? a1

则{ 例

an pn

}可用累加法求出,由此求 an .

4. 已 知 {
n ?1



an?1 2.已知数列{ an }满足 , a1 =1, ? n (n?N+) an
求 an .

an

} 满 足

a1

=2 ,

[解]

an =

an a n?1

?

a n ?1 an?2

?

a2 a1

? a1

=(n-1) ? (n-2)?1?1=(n-1) ! ∴ an =(n-1) ! (n?N+)

an?1 =2 an + 2 .求 an . a n ?1 a n [解] = +1 2 n ?1 2 n an ∴{ n }为等差数列. 2 a n a1 ? n ?1 ? n = 2n 2 n ∴ an =n? 2

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

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5. an?2 = p a n ?1 +q an 型(p、q 为常数)

7. “已知 S n ,求 an ”型 方法: an = S n - S n ?1 (注意 a1 是否符合) 例 6.设 S n 为{ an }的前 n 项和, S n = ( an -1) ,求 an (n?N+) [解] ∵ S n =

? px ? q n n (1) x1 ? x2 时, an = C1 ? x1 + C 2 ? x2
特征根法: x
2 n ? x1 ? x2 时, an =( C1 + C2 ?n) 例 5.数列{ an }中,a1 =2,a2 =3, 且 2 an = a n ?1 + a n ?1 (n?N+,n≥2) ,求 an . [解] a n ?1 =2 an - a n ?1

(2) x1

3 2

3 2

( an -1) (n?N+)

? x2 ? 1 n ∴ an =( C1 + C 2 ?n) ? 1 = C1 + C 2 ?n
∴x
2

? 2x ?1

∴ x1

∴当 n=1 时, a1 = ∴ a1 =3 当 n≥2 时,

3 2

( a1 -1)

?C1 ? C 2 ? 2 ∴? ?C1 ? 2C 2 ? 3
∴ an

?C1 ? 1 ∴? ?C2 ? 1

? n ? 1(n ? N ? )

an = S n - S n?1 3 3 = ( an -1)- ( a n ?1 -1) 2 2 n ∴ an =3 a n ?1 ∴ an = 3 (n?N+)
8. “已知 an , a n?1 , S n 的关系,求 an ”
型 方法:构造与转化的方法. 例 8. 已知{ an }的前 n 项和为 S n , 且 an +2 S n( S n ?1 - a n ?1 - an ) =0 (n≥2) ,

Aan ? B 型(A、B、C、D 为常数) Ca n ? D Ax ? B 特征根法: x = Cx ? D an ? x1 a n ?1 ? x1 (1) x1 ? x2 时, =C? an ? x2 a n ?1 ? x 2 1 1 (2) x1 ? x2 时, = ?C a n ? x1 an?1 ? x1 2a n 例 6. 已知 a1 =1, a n ?1 = (n?N+) ,求 an . an ? 2 2x [解] x = ∴ x1 ? x2 ? 0 x?2 1 1 ∴ = +C a n a n?1 2 1 ∵ a1 =1, a2 = ,∴代入,得 C= 3 2 ?1? 1 ∴? ? 为首项为 1,d= 的等差数列. 2 ? an ?
6. a n ?1 = ∴

a1 =

1 2

,求 an .

[解] 依题意,得 S n - S n ?1 +2 S n ? S n ?1 =0

1 Sn 1 ∴ Sn




1 S n ?1

=2

=2+2(n-1)=2n

1 an

=

n ?1 2

∴ an =

2 (n?N+) n ?1

1 1 , S n ?1 = 2n 2(n ? 1) ∴ an = S n - S n ?1 1 1 =-2? ? 2 n 2(n ? 1) 1 = ( n ? 2) 2n(1 ? n)
∴ Sn =

?1 ? (n ? 1) ∴ an = ? 2 ? 1 ? (n ? N ? , n ? 2) ? ? 2n(1 ? n)

数列的通项公式的求法训练题
(满分:100 分 时间:60 分钟) 一、选择题(每小题 5 分,共 12 个小题,共 60 分)

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第 10 页

1、 若一数列的前四项依次是 2, 0, 2, 0, 则下列式子中, 不能作为它的通项公式的是 ( ) n n+1 A、an= 1-(-1) B、an=1+(-1) 2 n? C、 a n ? 2 sin 2 D、an=(1-cosnπ )+(n-1)(n-2) 2、等差数列{an}中,d 为公差,前 n 项 和为 sn=-n2 则 A、an=2n-1 d=-2 C、 an= -2n+1 d=-2 B、 an=2n-1 d=2 D、 an= -2n+1 d=2 ) ( )

3、若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? 2n ? 3 ,那么这个数列的前 3 项为( A、-1,1,3 B、2,1,0 C、2、1、3 D、2、1、6 4、数列 ?an ? 中, a0 ? 1 ,an ? a0 ? a1 ? ? ? an?1 (n ? 1), 则当 n ? 1 时, an ? ( A、 2
n



B、 1 n(n ? 1)
2

C、 2 n ?1

D、 2 ? 1
n

5、数列-1,7,-13,19,?的通项公式( ) n A、2n-1 B、-6n+5 C、(-1) ?6n-5 6、数列{ an }满足 a1 =1, a2 =

D、(-1) (6n-5)

n

2 1 1 2 ,且 (n≥2),则 an 等于( ) . ? ? 3 an?1 an?1 an
C、(

A、

2 n ?1

B、(

2 3

)n-1

2 n ) 3

D、

2 n?2
( )

7、在等比数列{an}中.前 n 项的和为 sn,且 sn=2n-1 则 a12+a22+? ? ?+an2 等于 A、 (2n-1)2 B、

1 n 2 (2 -1) 3

C、 4n-1

D、

1 n (4 -1) 3

8、已知数列{ an }中, a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n(n ? N ? ) ,则 a100 的值是( ) A、9900 B、9902 C、9904 D、11000

9、已知数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ? A、2n-1 B、2n+1

an , 则这个数列的第 n 项 an 为( ) 1 ? 2an
C、
?

1 2n ? 1
2

D、

1 2n ? 1

10、已知数列{an}中,对任意的 n ? N 满足 an?2 ? an an?4 ,且 a3 ? 2, a7 ? 4 ,则 a15 的 值是( ) A、8 B、12 C、16 D、32 11、设函数 f 定义如下,数列{xn}满足 x0=5,且对任意自然数均有 xn+1=f(xn),则 x2005 的值

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第 11 页

为( X

) 1 4 2 1 3 3 4 5 5 2 f(x)

A、1 B、2 C、4 D、5 12、把正整数按下图所示的规律排序: 1→2 5→6 9→10? ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 3 →4 7→8 11? 则从 2004 到 2006 的箭头方向依次为( ) ↓ ↑ 2005→ A、2005→ B、 →2005 C、 ↓ 二、填空题(每小题 4 分,共 4 个小题,共 16 分)

→2005 D、 ↓

13、 a1 ? ?3, an ? 2an?1 ? 1 ,则 an ? ________________.
2 2 14、 设数列{ an }是首项为 1 的正数数列, 且 (n ? 1)an ,2,3,?) , ?1 ? nan ? an?1an ? 0(n ? 1

则它的通项公式是_______________. 15、设数列{ an }满足 a1 ?

4 1 1 ,a 2 ? , a n ? a n ?1 ? (a n ?1 ? a n ? 2 )( n ? 3) ,则数列{ an } 3 3 3

的通项公式为 an =_________________. 16、 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n ,则 an ? _________________. 三、解答题(共 24 分) 17、(12 分)写出下列数列的一个通项公式 (1) ?

5 6 2 3 4 , ,? , ,? ,? 35 3 8 15 24

(3)7,77,777,7777,?

1 4 9 16 2 5 10 17 3 5 9 17 (4) , , , ,? 2 4 16 256 ? (2) , , , ,

18、(12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 试求通项公式 an .

1 ,前 n 项和 S n 与 an 的关系是 S n ? n(2n ? 1)an , 3

数列的通项公式的求法训练题参考答案

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第 12 页

一、选择题 题号 答案 1 D
n

2 C

3 C

4 A

5 D

6 A 15、 a n ? ?

7 D

8 B

9 C

10 C

11 B
n n

12 C

二、填空题 13、 ? 2 ? 1 三、解答题 17、 (1) a n ? (?1) ?
n

14、

1 n

1 1 1 n?2 ? ?( ) 6 2 3

16、 3 ? 2

n ?1 (n ? 1) 2 ? 1

(2)

n2 n2 ?1

(3) a n ?

7 ? (10 n ? 1) 9

(4) a n ?

2n ? 1 22
n ?1

18、解:首先由 S n ? n(2n ? 1)an 易求递推公式:

(2n ? 1)an ? (2n ? 3)an?1 ,? ?

an 2n ? 3 ? an?1 2n ? 1

an?1 2n ? 5 a 1 ? ??? 2 ? an?2 2n ? 1 a1 5

将上面 n—1 个等式相乘得:

a n (2n ? 3)(2n ? 5)(2n ? 7) ?3 ? 1 3 ? ? a1 (2n ? 1)(2n ? 1)(2n ? 3) ?7 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) ? an ? 1 . (2n ? 1(2n ? 1)

求数列{an}的前 n 项和的方法
(1)倒序相加法 此种方法主要针对类似等差数列中 (2)公式法 此种方法是针对于有公式可套的数列,如 等差、等比数列,关键是观察数列的特点,找 出对应的公式. 公式: ①等差数列:

an ? a1 ? an?1 ? a2 ?
数列. 例:等差数列求和

, 具有这样特点的

Sn ? a1 ? a2 ?
? a1 ? (a1 ? d ) ?

? an
? [a1 ? (n ?1)d ] ①

Sn ?

把项的次序反过来,则:

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 n(n ? 1) ? nan ? d 2

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第 13 页

Sn ? an ? (an ? d ) ?
①+②得:

? [an ? (n ?1)d ] ②

Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd
Sn Sn?m ? Sm ? (n ? 2m, m, n ? N * ) n n ? 2m

n个

2Sn ? ? a1 ? an ? ? (a1 ? an ) ?

? (a1 ? an )

②等比数列:

? n(a1 ? an )
Sn ? n(a1 ? an ) 2

Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ; (q ? 1) ? 1? q 1? q

Sm?n ? Sn ? Smqn
③1+2+3+??+n =

n( n ? 1) ; 2

12 ? 22 ? 32 ?
?

? n2

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

13 ? 23 ? 33 ?

? n3

? (1 ? 2 ? 3 ?
?
(3)错位相减法 此种方法主要用于数列 {an bn } 的求和, 其中 {an } 为等差数列, {bn } 是公比为 q 的 等比数列,只需用 Sn ? qSn 便可转化为等比 数列的求和,但要注意讨论 q=1 和 q≠1 两 种情况. 例:试化简下列和式:

? n)2

1 2 n (n ? 1) 2 4
(4)分组化归法 此方法主要用于无法整体求和的数列,可

将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分 别进行求和,再综合求出所有项的和.

Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

? nxn?1 ( x ? 0)
n( n ? 1) 2

解: ①若 x=1, 则 Sn=1+2+3+?+n = ②若 x≠1,则 Sn ? 1 ? 2x ? 3x ?
2

1 1 1 , 1 ? ? ,??, 2 2 4 1 1 1 1 ? ? +??+ n ?1 的和. 2 4 2 1 1 1 解:∵ an ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 4 2
例:求数列 1, 1 ?

? nxn?1

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xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ?
两式相减得:

? nxn

(1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 +?+ x n?1 ? nxn
? 1 ? xn ? nx n 1? x



Sn ?

1 ? xn nx n ? (1 ? x)2 1 ? x

1 1 ? ( )n 2 ? 2? 1 ? 1 2n ?1 1? 2 1 1 1 ∴ S n ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? 2 2 4 1 1 1 ?(1 ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2 1 1 ? (2 ? 1) ? (2 ? ) ? (2 ? 2 ) 2 2 1 ? ? (2 ? n ?1 ) 2 1 1 1 ? 2n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2 1 ? 2n ? 2 ? n ?1 2
(6)裂项相消法 此方法主要针对

(5)奇偶求和法 此种方法是针对于奇、偶数项,要考虑 符号的数列, 要求 Sn, 就必须分奇偶来讨论, 最后进行综合.

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 这 样的求和 ,其中 an?1an

{an}是等差数列. 例:求和 例:{an}为首项为 a1,公差为 d 的等差数列,求

Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

? (?1)n?1 (2n ?1)

Sn ?
解:

解:当 n = 2k (k ? N+)时,

1 1 1 ? ? ? a1a2 a2 a3 a3a4

?

1 an?1an

Sn ? S2k ? (1 ? 3) ? (5 ? 7) ?
? [(4k ? 3) ? (4k ? 1)]
? ?2k ? ?n
当 n ? 2k ? 1(k ? N? )时 , ∵

1 1 1 ak ? d ? ak ? ? ak ak ?1 ak (ak ? d ) d ak (ak ? d ) ? 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? ) d ak ak ? d d ak ak ?1

Sn ? S2k ?1 ? S2k ? a2k ? ?2k ? [?(4k ?1)]

∴ Sn ?

1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? ) d a1 a2 d a2 a3

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? 2k ? 1 ?n
综合得: Sn ? (?1)n?1 n

?

?

1 1 1 ( ? ) d an ?1 an

?

1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? d a1 a2 a2 a3 ? 1 1 1 ( ? ) d a1 an n ?1 a1[a1 ? (n ? 1)d ]

?(

1 1 ? )] an?1 an

?

(7)分类讨论 此方法是针对数列 { an } 的其中几项符号 与另外的项不同,而求各项绝对值的和的问 题,主要是要分段求.

(8)归纳—猜想—证明 此种方法是针对无法求出通项或无法根 据通项求出各项之和的数列,先用不完全 归纳法猜出 S n 的表达式,然后用数学归纳 法证明之.

例:已知等比数列{ an }中, a1 =64,q=

1 2 2 2 2 , 例:求和 S n = 1 + 3 + 5 +?+ (2n ? 1) 2
解: S1 ? 1 , S 2 ? 10 , S3 ? 35 ,

设 bn =log2 an ,求数列{| bn |}的前 n 项和 S n .
解: an = a1

q n?1 = 2 7?n

S 4 ? 84 , S5 ? 165,?
观察得:S n = n( 4n ? 1) (待定系数法)
2

∴ bn = log2 an = 7 ? n (1)当 n ≤7 时, bn ≥0

1 3

证明: (1)当 n =1 时,

1 n( 4n 2 ? 1) =1= S1 3 1 k ( 4k 2 ? 1) 3

此时, S n =-

1 2 13 n + n 2 2

∴ n =1 时成立. (2)假设当 n =k 时, S k =

(2)当 n >7 时, bn <0

则 n =k+1 时,

1 2 13 此时,S n = n - ( n ≥8) n +42 2 2

S k ?1 = S k + (2k ? 1) 2
2 = k ( 4k ? 1) + (2k ? 1)
2

1 3

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- ∴ Sn =

1 2 13 n + n ( n ≤7) 2 2

=
=

k ?1 (2k ? 3)( 2k ? 1) 3
k ?1 [2(k ? 1) ? 1][ 2(k ? 1) ? 1] 3
*

1 2 13 n - n +42( n ≥8) 2 2

n =k+1 时,成立.
由(1) 、 (2)知,对一切 n?N ,

1 S n = n(4n 2 ? 1) . 3

数列的求和训练题 (满分:100 分 时间:90 分钟) 一、选择题(每小题 5 分,共 12 个小题,共 60 分) 1、数列 {a n} 的通项公式是 a
n

=

1 n ? n ?1

(n ?N*), 若前 n 项的和为 10,则项数为 ( )

A.11

B.99

C.120

D.121 )

2、数列{an}中,a1= -60,且 a n+1 =an + 3,则这个数列的前 30 项的绝对值之和为 ( A.495 B.765 C.3105
- -1

D.120 的结果是 ( )

3、化简 S n = n+(n-1)?2+(n-2)?2 2+??+2?2 n 2+2 n A.2 n+1+2-n-2 C.2 n-n-2 4 、 若 数 列 {an} 是 公 差 为 +a 99 的值是 A.60 B.72.5 C.85


B.2 n+1-n+2 D.2 n+1-n-2

1 的 等 差 数 列 , 它 的 前 100 项 和 为 145, 则 a1 +a3+a5+ ? 2
( D.120 ( ) )

5、数列 1,(1+2),(1+2+22),??(1+2+2 2+?+2 n 1),??前 n 项的和是 A.2 n B.2 n-2
n+1

C.2 n+1-n-2
a

D.n2n +?? +x
100

6、设数列{x n}满足 logax +??+x 200 的值为 A.100a

=1+ log

x

n

,且 x 1+x

2

=100,则 x (

101+x 102



B.101a 2

C.101a 100

D.100a 100 ( )

7、已知数列{a n}的前 n 项的和 S n = n 2-4n+1,则|a 1|+|a 2|+??+|a 10|的值是 A.56 B.61 C.65 D.67

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

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8、已知 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(1) =2,则 f(1)+f(2)+??+f(n)不能是 A.f(1)+2f(1)+?+nf(1) C.n(n+1) B.f[





n( n ? 1) ] 2

D .n(n+1)?f(1)

9、将一条宽为 5cm 的长纸条绕在一个直径为 2cm 的厚纸筒上,共绕了 600 圈,成为一个直 径为 10cm 的圆筒,这条纸条的长度是 ( ) A. 36? m B. 45? m C. 60? m D. 72? m 10、一小球从 100 m 的高处自由落下,每一次着地后又弹回原来高度的一半,当它第 10 次落 地时,小球共经过的路程是 ( ) A. 299

19 64

B. 299

25 64

C. 299

39 64

D. 299

45 64
( )

11、若等差数列 ?an ? 中, A.4 n B.4

a2 n 4n ? 1 S ,则 2 n ? ? Sn an 2n ? 1
D.2

C.2 n

12、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = (A)—3 (B)—1

1 a n ? 1, n ? N ,那么 a2 ? a4 ? ? ? a2n ? ? 的值是 3
( (C)3 (D)1 )

二、填空题(每小题 4 分,共 4 个小题,共 16 分) 13、{a n}是等差数列,且 a n ≠0,则

1 1 1 + +??+ a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1
?5n ? 1 (n为奇数)

= _________.

? 14 、 数列 {an} 的 通 项公式 为 an = ?

? n ?2 2 (n为偶数) ? ?

则 数列 的前 2m 项 的和 S2m =

__________. 15、求和: S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? n(n ? 1)(2n ? 1) =_________________. 16、设数列 ?an ? 是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列,求和:
0 1 n =______________________. S n?1 ? a0Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn

三、解答题(共 24 分) 17、 (12 分)已知等比数列前n项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,求再后面 3n 项的和.

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第 18 页

18、 (12 分) n 2 (n ? 4) 正数排成 n 行 n 列

a11 , a12 , a13 , ? a1n a 21 , a 22 , a 23 , ? a 2 n a 31 , a 32 , a 33 , ? a 3 n ??????? a n1 , a n 2 , a n 3 , ? a nn
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比相等,已知

1 3 a 24 ? 1, a 42 ? , a 43 ? ,求 a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann 的值. 8 16

数列的求和训练题参考答案 一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 C 6 D 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 D

二、填空题 13、

n a1 a n ?1
n ?1

14、 5m ? 2
2

m ?1

?m?2

15、

1 n( n ? 1) 2 (n ? 2) 2

16、 (n ? 2)2

d

三、解答题 17、解:∵ 数列{an}为等比数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?,也成等比数列,公比为 n q ,于是,问题转化为已知 A1=2, A1qn+A1q2n=12, 要求 A1q3n+A1q4n+A1q5n 的值. 由前面两式相加,解得:q2n+qn+1=7 ∴ qn=2 或 qn=-3
《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页) 第 19 页



n ? ?112(q ? 2) A1q +A1q +A1q =A1q (1+ q + q )=2 q (1+7)=14(q ) = ? n ? ?? 378(q ? ?3)

3n

4n

5n

3n

n

2n

3n

n

3

18、略解:依题意,每一列的数成等比数列,并且所有的公比相等,设这个公比为 q ,又 设第一行组成的等差数列的公差为 d ,可得方程组:

? ?a 24 ? (a11 ? 3d )q ? 1 ? 1 1 ? 3 ?a 42 ? (a11 ? d )q ? ? a11 ? d ? q ? 8 2 ? 1 3 ? a 43 ? ? dq3 ? ? 8 16 ?
S ? a11 ? a 22 ? a33 ? ? ? a nn 1 2 n ? 2 ??? n 2 2 2 1 1 2 n ? S ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 ?
两式相减得:

1 1 1 1 n S ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 n ? 1 ? n ? n ?1 2 2
? a11 ? a 22 ? a33 ? ? ? a nn ? 2 ? 2?n . 2n

【例1】 (2000 年上海高考题)在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+a3+? * +an= a1+a2+a3+?+a19-n(n<19,n?N )成立.类比以上性质,相应地:在等比数列中,若 b9=1, 则有等式____________________________成立. 【解析】我们从更一般的角度来分析等差数列{ an } . 由题设 , 如果 ak=0, 那么有 * a1+a2+a3+?+an= a1+a2+a3+?+a2k-1-n(n<2k-1,n?N )成立.又如果 k+n=p+q,其中 k,n,p,q 是自 然数.对于等差数列{an}有 ak+an=ap+aq;对于等比数列{bn}有 bkbn=bpbq.这样我们可以得 出结论: 如果 bk=1,则有等式 * b1b2b3?bn= b1b2b3?b2k-1-n(n<2k-1,n?N ) 成立.结合本题 k=9. 2k-1-n=2?9-1-n=17-n. * 于是应填:b1b2b3?bn= b1b2b3?b17-n(n<17,n?N ). 【点评】本题是一道小巧而富于思考的妙题.主要考查观察分析能力,抽象概括能力,考查

《数列》复习与训练新方案尝试(共 33 页)

第 20 页

运用联想与类比的思想方法由等差数列{an}而得到等比数列{bn}的新的一般性结论.有关 这方面的详细总结请详见前面的《等差数列与等比数列的有关知识比较一览表》 . 二、递归与递推 如果知道数列的前一项或前几项 ,并且知道递推公式 ,就可以递推地把所有项都找出来 , 这就是递推法.因为后面的项总是归结(返回)到用前面的项表示,所以也叫递归法. 【例 2】已知 0 0 0 0 S0=1 +2 +3 +??+n =n(n 的一次式) S1=1+2+3+??+n=
2 2 2 2

n( n ? 1) (n 的二次式) 2

求:S2=1 +2 +3 +??+n =? 【解析】为了递归用 S0,S1 表示 S2,须找到一个递推公式.猜想 S2 是 n 的三次式,于是想 到简单的恒等式 3 3 2 (n+1) =n +3n +3n+1 3 3 2 移项得 (n+1) -n =3n +3n+1 (递推公式) 3 3 2 于是有 n -(n-1) =3(n-1) +3(n-1)+1 ???????????????? 3 3 2 3 -2 =3?2 +3?2+1 3 3 2 2 -1 =3?1 +3?1+1 叠加,消去相同项,得 3 (n+1) -1=3S2+3S1+S0(递推公式) ∴ S2=

1 3 [(n+1) -1-3S1-S0] 3 1 n( n ? 1) 3 = [(n+1) -1-3? -n] 3 2 1 3 2 = (2n +3n +n) 6 1 = n(n+1)(2n+1). (n 的二次三项式) 6

【点评】由此可见,递推法不仅能用于证明递归数列命题的结论,而且能用于寻求结论. 【例 3】 (2005 年,北京模拟)猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾, 又多吃了一个.第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半,又多吃了一个.以后第天早上都吃前 一天剩下的一半后还要吃一个.到第十天早上想吃时,见只剩下一个桃子了.求第一天共摘 了多少个桃子? 【解析】设从第一天开始顺次每天还没有吃时的桃子数组成的数列为{an} ,由题意可得

?a10 ? 1 ? ? 1 a n?1 ? a n ?1 ? 2 ?
设 a1 ? x ,由前面介绍的求通项的方法可以求得 a n ? ( x ? 2)( )

1 2

n ?1

?2

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第 21 页



解得 即第一天猴子共摘了 1534 个摘子. 【点评】由上面的递推关系可得 an ? 2an?1 ? 2 ,已知 a10 可求 a9 ,已知 a9 可求 a8 ,?, 由此可求出 a1 ,这就是递归法.研究数列的通项的思想其实就是递归的思想. 三、猜想与论证 如果一个命题的特殊情况甚多,不便于用穷举归纳法,这时往往先研究少数(或个别) 情况以求得结论,这就是不完全归纳法.这种方法虽然结论不一定正确,但对发现规律,得到正 确结论有重要帮助作用.对猜想的结论只要加以严密的论证,就保证了猜想结论的正确性. 【例 4】已知各项都是正数的无穷数列{an}满足以下条件: * a1=1,an+1>an(n?N ); 2 2 * an+1 +an -2an+1an-2an+1-2an+1=0(n?N ) 求数列{an}的通项公式 【分析】在递推公式中,依次令 n=1,2,3,同时注意到题设告诉我们该数列是递增的正项数 列,可以求得 a2=4,a3=9,a4=16,由此可以猜想:an=n ;如果猜想正确,那么 a n =n,{ a n }为公
2

1 a10 ? ( x ? 2)( ) 9 ? 2 ? 1 2 x ? 1534

差为 1,首项也为 1 的等差数列,于是只须证明 a n ?1 - a n =1. 【解】对题设条件变形得: (an+1-an-1) =4an 所以 an+1=an+1+2 a n (为什么)
2

即 ∴ ∴ ∴

( a n ?1 ) =( a n +1)
2

2

an?1 - a n =1,而 a1=1,an+1>an(n?N*)
数列{ a n }为公差为 1,首项也为 1 的等差数列

a n =1+(n-1)?1=n,

∴ an=n (n?N ).

2

*

【点评】本题如果不事先进行归纳猜想,就很难找到以上的简单解法.正如一位伟人所说: 没有大胆的猜想,便没有伟大的发现. 四、顺思与逆思 数列部分中的许多重要结论 ,把它们作为一个个的命题 ,那么在这些真命题中 ,有的逆命 题是成立的,但有的逆命题是不成立的 .平常,我们要自觉地多加以思考 .我们知道,如果一个 数列是等差数列,那么它的前 n 项和公式为:Sn= 式为:Sn=

1 n(a1+an);反过来,如果一个数列的前 n 项和公 2

1 n(a1+an),那么这个数列是不是等差数列呢?这就是 1995 年的一道文科高考压轴题, 2

回答是肯定的.再如,我们知道,两个等差数列的对应项的和组成的新数列仍为等差数列 ,那么

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两个等比数列的对应项的和组成的新数列是不是等比数列呢?这便是 2000 年的一道高考探索 题,需要我们进行分类与讨论后才能做出正确的回答 .高考对我们的要求是 ,要求我们能够进 行主动性的学习,所以平常我们要养成自觉地提出问题,分析问题与解答问题的好习惯. 【例 5】(2004 年高考题?湖北卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a[2-(

1 n-1 1 n-1 ) ]-b[2-(n+1)( ) ](n=1,2,3?),其中 a、b 是非零常数.则存在数列{xn} 、 2 2

{yn}使得 (A) an=xn+yn,其中{xn}是等差数列, {yn}是等比数列 (B) an=xn+yn,其中{xn}和{yn}都是等差数列 (C) an=xnyn,其中{xn}是等差数列, {yn}是等比数列 (D) an=xnyn,其中{xn}和{yn}都是等比数列 2 【解析】等差数列的前 n 项和的一般形式为 Sn=An +Bn;等比数列在公比不等于 1(公比等 n 于 1 时可把它当成等差数列对待)的时候,其前 n 项和的一般形式为 Sn=C-C?q (C≠0).因为两 个等差数列的对应项的和组成的新数列仍为等差数列,故应排斥( B) ;又因为两个等比数列 2 n 的对应项的积组成的新数列仍为等比数列, 故应排斥 (D) ;假设选(A),则 Sn= An +Bn+ C-C? q (C ≠0),对比条件分析知必有 A=0 且 B=0,于是 a[2-(

1 n-1 1 n-1 n ) ]-b[2-(n+1)( ) ]= C-C? q (C≠0), 2 2

此不可能,排斥(A);所以选(C). 【说明】顺思与逆思也就是要求我们注意运用逻辑分析的方法去分析问题与解决问题,要 注意命题的等价形式,如一个命题的原命题与它的逆否命题是等价的,而当一个命题为真命题 时,它的逆命题却不一定为真;要注意正难则反的思维策略,??,如此等等.

【例6】在 xoy 平面上有一系列点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ),? ? ?, Pn ( x n , y n ), ? 对每个自然 数 n ,点 Pn 位于函数 y ? x ( x ? 0) 的图象上. 以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴都相切, 且⊙ Pn
2

与⊙ Pn ?1 又彼此外切.若 x1 ? 1 ,且 xn ?1 ? xn ( n ? N ) . (1)求证:数列 {

1 } 是等差数列; xn
3 ? 2

(2)设⊙ Pn 的面积为 S n , Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n , 求证: Tn ? y

Pn
Pn+1

x

o
【解】 ( 1 ) 依 题 意 , ⊙ Pn 的 半 径 rn ? yn ? xn , ? ⊙ Pn 与 ⊙ Pn ?1 彼 此 外 切 ,
2

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? Pn Pn?1 ? rn ? rn?1
? ( xn ? xn?1 ) 2 ? ( yn ? yn?1 ) 2 ? yn ? yn?1
两边平方,化简得 即
( x n ? xn?1 ) 2 ? 4 y n y n?1 ,

2 2 ( x n ? x n?1 ) 2 ? 4 x n x n?1 ,

? xn ? xn ? 1 ? 0 , ? x n ? x n ? 1 ? 2 x n x n ? 1
1 1 ? ? 2(n ? N ) , xn?1 xn
∴ 数列 {

1 } 是等差数列. xn
1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? x n ? , x n x1 2n ? 1
4

(2) 由题设, x1 ? 1,∴

S n ? ?rn

2

? ?y n

2

? ?xn

?

?
(2n ? 1) 4



Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n
? ? [1 ? 1 1 1 ? 2 ??? ] 2 3 5 (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ??? ] 1? 3 3 ? 5 (2n ? 3) ? (2n ? 1)

? ? [1 ?

1 1 1 2 3 3 1 1 = ? [1 ? (1 ? )] 2 2n ? 1

= ? {1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 5

1 1 ? )]} 2n ? 3 2n ? 1

?

3 ? ? 3 ? . ? ? 2 2(2n ? 1) 2

【点评】本题综合性极强,是考知识、考能力的好题,要求同学们多多回味,理科学生 要加强这方面的训练. 【例7】(2005 年高考,湖北卷) 已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] ,其中 n 为大于 2 2 3 n 2

的整数,[log2n]表示不超过 log2n 的最大整数.设数列{an}的各项为正,且满足

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a1 ? b(b ? 0), an ?
(I)证明: a n ?

nan?1 , n ? 2,3,4? n ? an?1

2b , n ? 3,4,5? 2 ? b[log2 n]
1 . 5

(II)猜想数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; (III)试确定一个正整数 N,使得 n>N 时,对任意 b>0,都有 a n ?

【解析】本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.第(I) 问实质是要求考生找第 n 项与第 1 项的不等关系,所以要通过研究相邻两项的不等关系入手, 将 已 知 条 件 进 行 合 适 的 变 形 , 构 造 新 数 列 ?

?1? ? 后 用 累 加 法 a n ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 即可得到所要证的不等式;第( II)问 an a1 a 2 a1 a3 a 2 an an?1
可直接利用第(I)问的结论,由于当 n 趋向于无穷大时,[log2n]也趋向于无穷大,所以式子

an ?

2b , n ? 3,4,5?右边的极限趋向于 0,而数列{an}的各项为正,所以数列{an} 2 ? b[log2 n]
1 ,这里所找的一个条件没有要求是充要条件,所以只给出一个充分条件即可,N 的值 5

的极限为 0;第(III)问的意思的要求考生找出某一项,使得对于这一项以后的各项都有

an ?

应该是不唯一的,体现了命题者对考生的人文关怀.我们可以来看一下下面的一种解法,在 逻辑上也是很合理的,因而也是正确的. 欲使 a n ?

1 1 1 1 1 ,即要求 ? 5 .由于 n ? 2 时, ? ? ,则 n ? 2 时,有 5 an a n a n ?1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) a n a1 a 2 a1 a3 a 2 a n a n ?1 ? 1 1 1 1 ? ? ??? b 2 3 n
1 2

1 1 1 ? ? ? ) ? ? 5 ??(*) 3 n b 1 1 1 而使(*)式恒成立的一个充分条件可以是 ? ? ? ? ? 5 成立. 2 3 n 1 1 1 1 由于 ? ? 2 ? ? , 3 4 4 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 4? ? , 5 6 7 8 8 2
即只需对一切 b ? 0 都有 ( ?

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1 1 1 1 1 ? ??? ? 8? ? , 9 10 16 16 2
??????????

1 1 1 1 1 ? 9 ? ? ? 10 ? 2 9 ? 10 ? 2 2 ?1 2 ? 2 2 2
9

将以上各不等式两端相加可知,可取 N=210-1=1023. 【点评】N 除了可取 1023 外,还可取比 1023 更大的值.这道题目中给出的数列的相邻两项 的关系不是以等式的形式给出的,那么要用递归或递推的方法去求出它的通项是完全行不通的, 所以解题的关键就是合理把握好放缩与求和的关系-是先求和再放缩还是先放缩再求和. 2004 年与 2005 年高考数列新题型强化训练 (时间:90 分钟 满分:100 分) 一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(04 年,全国)等差数列{ an }中, a1 + a2 + a3 =-24, a18 + a19 + a 20 =78,则此数列前 20 项 的和为 A.160 ( B.180 C.200 D.220 )

2. (04 年,全国)设数列{ an }是等差数列,且 a2 =-6, a8 =6, S n 是数列的前 n 项和,则 A. S 4 < S 5 B. S 4 = S 5
C. S 6 < S 5 D. S 5 = S 6

(

)

3. (05 年,安徽)已知数列{ an }满足 a0 =1, an = a0 + a1 +?+ a n ?1 (n≥1) ,则当 n≥1 时 an = A. 2
n

B.

1 2

n(n+1)

C. 2

n ?1

D. 2 -1

n

(

)

4. (04 年,湖南)数列{ an }中, a1 = = A.

1 6 * , an + a n ?1 = n ?1 (n?N ) ,则 lim ( a1 + a2 +?+ an ) n? ? 5 5
( ) C.

2 5

B.

2 7 3 2

1 4

D.

4 25
( )

5. (04 年,全国)△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差 数列,∠B=30°,△ABC 的面积为
,那么 b=

A.

1? 3 2

B.1+ 3

C.

2? 3 2

D.2+ 3

6. (04 年,重庆)若{ an }是等差数列,首项 a1 >0, a2003 + a2004 >0, a2003 ? a2004 <0,则使 前 n 项和 S n >0 成立的最大自然数 n 是 A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 ( )

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7. (05 年,全国)如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则 ( A. a1 a8 > a4 a5 B. a1 a8 < a4 a5 C. a1 + a8 > a4 + a5 D. a1 a8 = a4 a5

)

8. (05 年, 江苏) 在各项为正数的等比数列{ an }中, 首项 a1 =3, 前三项和为 21, 则 a3 + a 4 + a5 = A.33 ( B.72 C.84 D.189 )

9. (05 年,湖南)已知数列{log2( an -1)}n?N*为等差数列,且 a1 =3, a2 =5,则

lim (
n??

1 a2 ? a1

+

1 a3 ? a 2
B.

+?+

1 )= a n?1 ? a n
C.1 D.

(

)

A.2

3 2

1 2
(n?N ) ,则 a 20 =
*

10. (05 年,湖南)已知数列{ an }满足 a1 =0, a n ?1 =

an ? 3 3a n ? 1
3 2

(

)

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

11.(05 年,辽宁)一给定函数 y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意 a1 ?(0,1)由关系式 , 则该函数的图象是 a n?1 =f( an )得到的数列{ an }满足 a n?1 > an(n?N*) y y y y ( )

x O A O B

x O C

x O D x

12. (05 年, 广东) 已知数列{ xn }满足 x2 = 则 x1= A.

x1 2

, xn =

1 ( x n ?1 + xn?2 ) ,n=3,4,?,若 lim xn =2, n?? 2
( )

3 2

B.3

C.4

D.5

选择题答题卡(请将选择题的答案填入下面的表格中) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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答案 二、填空(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 . ( 05 年 , 天津)在数列 { an } 中, a1 =1 , a2 =2 ,且 an?2 - an =1+ (?1) n ( n ? N* ) ,则

S100 =_________.
14. (05 年,江西)将 1,2,3,?,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数 列的概率为________. 15. (05 年,北京)已知 n 次多项式 Pn ( x) = a0 x + a1 x
n n ?1

+?+ a n ?1 x + an , 如果在一种算法中,

k 计算 x0 (k=2,3,4,?,n)的值需要 k-1 次乘法计算, P3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算(6

次乘法,3 次加法) ,那么计算 Pn ( x0 ) 的值共需要___________次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法: Pn ( x) = a0 , Pk ?1 ( x) = x Pk ( x) + a k ?1 (k=0,1,2,?, n-1) ,利用该算法计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算,计算 Pn ( x0 ) 的值共需要_________次运 算. 16.(05 年,上海)用 n 个不同的实数 a1 , a2 , a3 ,?, an 可得到 n! 个不同的排列,每个排列为一行写成一个 n!行的数阵,对第 i 行 ai1 , 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1

ai 2 ,?,ain ,记 bi =- ai1 +2 ai 2 -3 ai 3 +?+ (?1) n n ain ,i=1,2,3,?,
n!.例如用 1,2,3 可得数阵如图,由于此数阵中每一列系数之和都是 12,所以 b1 + b2 +?+ b6 =-12+2 ?12-3?12= - 24.在用 1,2,3,4, 5 形成的数阵中 b1 + b2 + b3 ?+ b120 =________. 三、解答题(共 2 个小题,每题 12 分,共 24 分) 17. (05 年,重庆)数列{ an }满足 a1 =1,且 a n ?1 =(1+ (1)用数学归纳法证明: an ≥2(n≥2).

1 1 ) an + n n ?n 2
2

(n≥1).

(2)已知不等式 ln(1+x)<x 对 x>0 成立,证明: an < e (n≥1) ,其中 e=2.71828?

2

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18. (05 年,浙江)设点 An ( xn ,0), Pn ( xn ,2 n?1 ) 和抛物线 C n :y=x2+ an x+ bn (n?N*),其 中 an =-2-4n-

1 2
n ?1

,xn 由以下方法得到:x1 =1, 点 P2 ( x2 ,2) 在抛物线 C1 : y=x + a1 x+ b1 上,

2

点 A1 ( x1 ,0)到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离,?,点 Pn?1 ( xn?1 ,2n ) 在抛物线 C n : y=x2+ an x+ bn 上,点 An ( xn ,0)到 Pn ?1 的距离是 An 到 C n 上点的最短距离. (1)求 x2 及 C1 的方程; (2)证明{ xn }是等差数列.

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2004 年与 2005 年高考数列新题型强化训练 一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 B 6 B 7 B 8 C 9 C 10 B 11 A 12 B

二、填空题 13、2600 14、

1 56

15、

n( n ? 3) ;2 n 2

16、-1080

三、解答题 17、证明: (1)当 n=2 时,a2=2≥2 假设当 n=k 时,ak≥2 成立 则当 n=k+1 时 ak+1= (1 ?

1 1 ) a k ? k > ak≥2 k ?k 2
2

即当 n=k+1 时,an≥2 也成立 故对一切 n≥2,有 an≥2. (2)∵an+1 = (1+

1 1 1 1 ? n )an )an + n ? (1 ? 2 n ?n 2 n ?n 2 1 1 ? )an ] ∴ ln an ?1 ? ln[(1 ? 2 n ? n 2n 1 1 ? ln an ? ln(1 ? 2 ? n) n ?n 2
2

? ln an ?
∴ ln an ?1 ? ln an ? ∴

1 1 + n n(n ? 1) 2 1 1 1 ? + n n n ?1 2

ln an ? ln an ? ln an?1 ? ln an?1 ? ln an?2 ?
?

? ln a2 ? ln a1 ? ln a1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ( ? 2 ? ? ? n ?1 ) n ?1 n n ?1 n ? 2 2 2 2 2 1 1 ? 1? ?1? n n 2 ?2

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∴ an ? e2 18、解: (1)∵a1 = -7 ∴C1: y=x2 – 7x + b1 ∴ 2=x22 – 7x2 + b1

∵点 P2 ( x2 ,2) 在抛物线 C1

设 d 为 A1 到 C1 上点的(x,y)的距离,d2 =(x-1)2 + y2. 记 f(x) = (x-1)2 + y2 ,则 f′(x) = 2(x-1) + 2yy′=2(x-1) + 2(x2 -7x + b1)(2x - 7),f′(x2) = 0 ∴(x2 - 1)+ (x22 – 7x2 + b1) (2x2 - 7) = 0 ∴ x2 = 3 , b1 = 14 ∴ C1: y = x2 – 7x + 14 (2)证明:∵ Pn?1 ( xn?1 ,2n ) 在抛物线 C n : y=x2+ an x+ bn 上, ∴2n = xn+12 + anxn+1 + bn 设 d 为 An 到 Cn 上点的(x,y)的距离 d2 = (x-xn)2 + y2,记 f(x) = (x-xn)2 + y2,则 f′(x)=2(x-xn) + 2y?y′ =2[x-xn + y?(2x + an)] 由于 f′(xn+1)=0 ∴ xn+1 - xn + 2n (2xn+1 + an)=0 ∴ (1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0 由(1)可猜想,xn = 2n-1 用数学归纳法可以证明{xn}为等差数列(略). 2005 年 10 月

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