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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第7章第6讲知能训练轻松闯关


1 → → 1.在△ABC 中,设CB=a,CA=b,求证:S△ABC= 2 |a|2|b|2-?a· b?2. 1 a· b 1 [导学号 35950539] 证明:∵S△ABC= |a||b|· sin C,cos C= ,S2 = |a|2|b|2sin2C 2 |a||b| △ABC 4 1 = |a|2|b|2(1-cos2C) 4 b ?2? 1 ? a· = |

a|2|b|2? ?1-?|a||b|? ? 4 1 = [|a|2|b|2-(a· b)2] 4 ∴S△ABC= 1 2 |a|2|b|2-?a· b?2. a 2.已知函数 f(x)= +bx,其中 a>0,b>0,x∈(0,+∞),试确定 f(x)的单调区间,并 x 证明在每个单调区间上的增减性. [导学号 35950540] 解:设 0<x1<x2, a a ? a -b?. +bx1?-? +bx2?=(x2-x1)· 则 f(x1)-f(x2)=? x x ? 1 ? ?2 ? ?x1x2 ? 当 0<x1<x2≤ a 时,∵a>0,b>0, b a a ∴x2-x1>0,0<x1x2< , >b, b x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在?0, ? a? 上是减函数; b? a >0 时, b 当 x2>x1≥ a a x2-x1>0,x1x2> , <b, b x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在? ? a ? ,+∞ 上是增函数. b ? 3.已知 a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. [导学号 35950541] 证明:要证明 2a3-b3≥2ab2-a2b 成立, 只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0, 即 2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0, 即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0. ∵a≥b>0, ∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0 成立, ∴2a3-b3≥2ab2-a2b. ?a+mb?2<a +mb . 4.已知 m>0,a,b∈R,求证:? ? 1+m ? 1+m ? [导学号 35950542] 证明:∵m>0,∴1+m>0.所以要证原不等式成立, 只需证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0 显然成立,故原不等式得证. 5.设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. [导学号 35950543] 解:(1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1.① - 2 2 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, na ,q=1, ? ? 1 a1?1-qn? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ,q≠1. ? ? 1-q (2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, 2k k k 1 a2 · a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1, 1q +2a1q =a1q - + - + ∵

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