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2014年高考试题(广东卷)理科数学word解析版


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试卷类型: A

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A

)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答 题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 M ? {?1,0,1} , N ? {0,1, 2} ,则 M A. {0,1} B. {?1, 0, 2}

N?
D. {?1, 0,1}

C. {?1, 0,1, 2}

2.已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ?
A. ?3 ? 4i B. ?3 ? 4i C. 3 ? 4 i D. 3 ? 4 i

?y ≤ x ? 3.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 m 和 n ,则 m ? n ? ? y ≥ ?1 ?
A.5 B.6 C.7 D.8

4.若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线 A.焦距相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C.虚半轴长相等 D.离心率相等

B.实半轴长相等

5.已知向量 a = (1, 0, ?1) ,则下列向量中与 a 成 60 夹角的是
A. (?1,1, 0) B. (1, ?1, 0) C. (0, ?1,1) D. (?1, 0,1)

6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取 2 %的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为

数学(理科)试题 A 第 1 页 (共 8 页)

近视率/ % 小学生 3500 名 高中生 2000 名 50 30

初中生 4500 名 图1

10

O

小学

初中 图2

高中

年级

A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10

7.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 ,则下列结论一定正确的是 A. l1 ? l4 8.设集合 A ?
1

B. l1 // l4
2 3 4 5

C. l1 与 l4 既不垂直也不平行
i

D. l1 与 l4 的位置关系不确定

| x ???1,0,1?, i ? 1, 2,3, 4,5? ,那么集合 A 中满足条件 ?? x , x , x , x , x ?  

“ 1≤ x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ≤ 3 ”的元素个数为 A.60 B.90 C.120 D.130

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9 ~ 13 题) 9.不等式 x ?1 ? x ? 2 ≥ 5 的解集为 10.曲线 y ? e ?5 x ? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为 . . .

11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为 12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c . 已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则 13.若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 ,则 ln a1 ? ln a2 ? (二)选做题(14 ~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin
2

a ? b

. .

? ln a20 ?

? ? cos? 和 ? sin ? ? 1 .

以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直 角坐标为 .

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB ? 2 AE , AC 与 DE 交于点 F ,则

?CDF 的面积 = ?AEF 的面积



D
F

C

A

E
图3

B

数学(理科)试题 A 第 2 页 (共 8 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?
4

) , x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? . 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4

17. (本小题满分 12 分) 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得数据如下: 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 . 根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 频数 3 5 8 频率 0.12 0.20 0.32

[25,30]

(30,35] (35, 40]
(40, 45]

n1 n2

f1 f2

(45,50]

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] 的 概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,

A

B

?DPC ? 30 , AF ? PC 于点 F , FE ∥ CD ,交 PD 于点 E .
(1)证明: CF ? 平面 ADF ; (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值.
D
E P F

C

图4

数学(理科)试题 A 第 3 页 (共 8 页)

19. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn 满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n , n ? N ,且 S3 ? 15 .
*

(1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 . 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3

,其中 k ? ?2 .

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D (用区间表示) ; (2)讨论 f ( x ) 在区间 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示) .

数学(理科)试题 A 第 4 页 (共 8 页)

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 A 5 B 6 A 7 D 8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9 ~ 13 题) 9. (??, ?3] [2, ??) 10. 5x ? y ? 3 ? 0 11.

1 6

12. 2

13.50

(二)选做题(14 ~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (1,1) 15.9

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

5? 5? ? 2? 3 3 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? A ? ,解得 A ? 3 . 12 12 4 3 2 2 ? (2)由(1)得 f ( x) ? 3 sin( x ? ) , 4 ? ? 所以 f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ) 4 4 2 2 2 2 3 ? 3( cos ? ? sin ? ) ? 3( cos ? ? sin ? ) ? 6 cos ? ? 2 2 2 2 2 ? 10 6 2 所以 cos ? ? ,又因为 ? ? (0, ) ,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? , 2 4 4 3 3 ? 10 30 所以 f ( ? ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 3 ? . ? 4 4 4 4 4
16. 解: (1) f ( 17.(本小题满分 12 分) 17. 解: (1) n1 ? 7 , n2 ? 2 , f1 ?
频率 组距

7 2 ? 0.28 , f 2 ? ? 0.08 . 25 25

(2)所求的样本频率分布直方图如图所示:

0.064 0.056
x 0.040

0.024 0.016

0 25 30 35 40 45 50 零件数 (3)设“该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] ”为事件 A ,

P( A) ? 1 ? (1 ? 0.2)4 ? 0.5904 ,即至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35] 概率为 0.5904 .
数学(理科)试题 A 第 5 页 (共 8 页)

18. (本小题满分 14 分) 18.(1)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD . 因为在正方形 ABCD 中 CD ? AD ,又 CD PD ? D ,所以 AD ? 平面 PCD . 因为 CF ? 平面 PCD ,所以 AD ? CF . 因为 AF ? CF , AF AD ? A ,所以 CF ? 平面 ADF . (2)方法一:以 D 为坐标原点, DP 、 DC 、 DA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 设正方形 ABCD 的边长为 1, 则 D(0, 0, 0), A(0, 0,1), C (0,1, 0), P( 3, 0, 0), E (
z

3 3 3 , 0, 0), F ( , , 0) . 4 4 4

A

B

由(1)得 CP ? ( 3, ?1,0) 是平面 BCDE 的一个法向量. 设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

D
E F

3 3 EF ? (0, , 0) , EA ? (? , 0,1) , 4 4 P 3 x ? n ? EF ? y ? 0 ? 4 ? 所以 ? . 3 ?n ? EA ? ? x? z ?0 ? ? 4 令 x ? 4 ,则 y ? 0 , z ? 3 ,所以 n ? (4,0, 3) 是平面 AEF 的一个法向量.
设二面角 D ? AF ? E 的平面角为 ? ,且 ? ? (0, 所以 cos ? ?

C y

?
2

)

CP ? n CP ? n

?

4 3 2 57 , ? 19 2 ? 19

2 57 . 19 方法二:过点 D 作 DG ? AE 于 G ,过点 D 作 DH ? AF 于 H ,连接 GH . 因为 CD ? PD , CD ? ED , ED AD ? D ,所以 CD ? 平面 ADE . A B 因为 FE ∥ CD ,所以 FE ? 平面 ADE . 因为 DG ? 平面 ADE ,所以 FE ? DG . 因为 AE FE ? E ,所以 DG ? 平面 AEF . H 根据三垂线定理,有 GH ? AF , G D 所以 ?DHG 为二面角 D ? AF ? E 的平面角. C E F 设正方形 ABCD 的边长为 1, 3 21 在 Rt △ ADF 中, AD ? 1 , DF ? ,所以 DH ? . P 2 7 1 1 1 3 57 在 Rt △ ADE 中,因为 FC ? CD ? PC ,所以 DE ? PD ? ,所以 DG ? . 2 4 4 4 19 6 133 2 2 所以 GH ? DH ? DG ? , 133 GH 2 57 ? 所以 cos ?DHG ? , DH 19 2 57 所以二面角 D ? AF ? E 的平面角的余弦值为 . 19
所以二面角 D ? AF ? E 的平面角的余弦值为 数学(理科)试题 A 第 6 页 (共 8 页)

19.(本小题满分 14 分) 19. 解: (1)当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? 4a3 ? 20 , 又 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,所以 4a3 ? 20 ? a3 ? 15 ,解得 a3 ? 7 . 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2a2 ? 7 ,又 a1 ? a2 ? 8 ,解得 a1 ? 3, a2 ? 5 . 所以 a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7 . (2) Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n ① ② 当 n ≥ 2 时, Sn?1 ? 2(n ?1)an ? 3(n ?1)2 ? 4(n ?1) ① ? ②得 an ? 2nan?1 ? (2n ? 2)an ? 6n ?1 . 整理得 2nan?1 ? (2n ?1)an ? 6n ? 1 ,即 an ?1 ?
*

2n ? 1 6n ? 1 an ? . 2n 2n

猜想 an ? 2n ? 1, n ? N . 以下用数学归纳法证明: 当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,猜想成立; 假设当 n ? k 时, ak ? 2k ? 1 ,

2k ? 1 6k ? 1 2k ? 1 6k ? 1 ak ? ? (2k ? 1) ? 2k 2k 2k 2k 2 4k ? 1 ? 6k ? 1 ? ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 ,猜想也成立, 2k * 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1, n ? N .
当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 20.(本小题满分 14 分) 20. 解: (1)依题意得 c ? 5 , e ?
2 2 2 所以 a ? 3 , b ? a ? c ? 4 ,

c 5 , ? a 3

x2 y 2 ? ?1 9 4 (2)当过点 P 的两条切线 l1 , l2 的斜率均存在时,设 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .
所以椭圆 C 的标准方程为 设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立 ? 9 , 4 ? y ? y ? k(x ? x ) 0 0 ?
得 (4 ? 9k 2 ) x2 ?18k ( y0 ? kx0 ) x ? 9( y0 ? kx0 )2 ? 36 ? 0 , 所以 ? ? (18k )2 ( y0 ? kx0 )2 ? 4(4 ? 9k 2 )[9( y0 ? kx0 )2 ? 36] ? 0 , 整理得 ( y0 ? kx0 )2 ? 4 ? 9k 2 ,
2 2 即 ( x0 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ?4 ? 0,
2 y0 ?4 ? ?1 , 2 x0 ? 9

因为 l1 ? l2 ,所以 k1k2 ?
2 2 整理得 x0 ? y0 ? 13 ;

当过点 P 的两条切线 l1 , l2 一条斜率不存在,一条斜率为 0 时,
2 2 P 为 (3, ?2) 或 (?3, ?2) ,均满足 x0 ? y0 ? 13 .

综上所述,点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 13 .
2 2

数学(理科)试题 A 第 7 页 (共 8 页)

21.(本小题满分 14 分) 21. 解: (1) f ( x) ?

1 ( x2 ? 2 x ? k ? 3)( x2 ? 2 x ? k ? 1)
2


2

由 ( x2 ? 2 x ? k ? 3)( x2 ? 2 x ? k ?1) ? 0 ,得 x ? 2 x ? k ? ?3 或 x ? 2 x ? k ? 1 , 即 ( x ? 1)2 ? ?k ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ?k ? 2 , 所以 ?1 ? ?k ? 2 ? x ? ?1 ? ?k ? 2 或 x ? ?1 ? ?k ? 2 或 x ? ?1 ? ?k ? 2 ,其中 k ? ?2 . 所以函数 f ( x ) 的定义域 D ? (??, ?1 ? ?k ? 2) ? (?1 ? ?k ? 2, ?1 ? ?k ? 2) ? (?1 ? ?k ? 2, ??) . (2)令 g ( x) ? ( x 2 ? 2x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3 ,则 f ( x) ?

1 , x?D g ( x)

g?( x) ? 2( x2 ? 2x ? k )(2x ? 2) ? 2(2x ? 2) ? 4( x ? 1)( x2 ? 2x ? k ?1) ,
令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1 ? ?k , x2 ? ?1 , x3 ? ?1 ? ?k ,其中 k ? ?2 . 因为 ?1 ? ?k ? 2 ? x1 ? ?1? ?k ? 2 ? ?1 ? ?1? ?k ? 2 ? x3 ? ?1? ?k ? 2 , 所以 g ?( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

↘ ↗ 极大值 因为函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在区间 D 上的单调性相反, 所以 f ( x ) 在 (??, ?1 ? ?k ? 2) 和 (?1, ?1 ? ?k ? 2) 上是增函数, 在 (?1 ? ?k ? 2, ?1) 和 (?1 ? ?k ? 2, ??) 上是减函数. (3)因为 g (?1 ? x) ? g (?1 ? x) ,所以 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) , 所以函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称, 所以 f (1) ? f (?3) . 因为 k ? ?6 ,所以 ?1 ? ?k ? 2 ? ?3 ? 1 ? ?1 ? ?k ? 2 . ①当 x ? (?1 ? ?k ? 2, ?1 ? ?k ? 2) 时, 要使 f ( x) ? f (1) ,则 x ? (?1 ? ?k ? 2, ?3) ? (1, ?1 ? ?k ? 2) ; ②当 x ? (??, ?1 ? ?k ? 2) ? (?1 ? ?k ? 2, ??) 时,

x g ?( x ) g ( x)

(??, ?1 ? ?k ? 2) ?

(?1 ? ?k ? 2, ?1) ?

?1
0

(?1, ?1 ? ?k ? 2) ?


(?1 ? ?k ? 2, ??) ?


2 2 令 f ( x) ? f (1) ,即 g ( x) ? g (1) , ( x ? 2x ? k ? 3)( x ? 2 x ? k ?1) ? (k ? 6)(k ? 2) ,

令 t ? x ? 2 x ? k (t ? 1) ,则 (t ? 3)(t ? 1) ? (k ? 6)(k ? 2) ,
2

整理得 t ? 2t ? (k ? 8k ? 15) ? 0 ,即 [t ? (k ? 3)][t ? (k ? 5)] ? 0 ,
2 2
2 因为 t ? 1 且 k ? ?6 ,所以 t ? ?(k ? 5) ,即 x ? 2 x ? k ? ?k ? 5 ,

所以 x ? 2 x ? 2k ? 5 ? 0 ,解得 x ? ?1 ? ?2k ? 4 ? (??, ?1 ? ?k ? 2) ? (?1 ? ?k ? 2, ??) ,
2

所以 f ( x) ? f (1) ? f (?1 ? ?2k ? 4) . 要使 f ( x) ? f (1) ,则 x ? (?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? ?k ? 2) ? (?1 ? ?k ? 2, ?1 ? ?2k ? 4) . 综上所述,当 k ? ?6 时,在 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合为

(?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? ?k ? 2) ? (?1 ? ?k ? 2, ?3) ? (1, ?1 ? ?k ? 2) ? (?1 ? ?k ? 2, ?1 ? ?2k ? 4) .

数学(理科)试题 A 第 8 页 (共 8 页)


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