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等比数列求和教学设计(修改后)


等比数列的前 n 项和
一.教学目标
知识与技能目标:理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程,掌握公式的特 点,并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. 过程与方法目标 :通过对公式的研究过程,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解 决问题的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思 想及转化思想,优化思维品质. 情感、态度与价值目标:通过学生自主对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大 胆尝试、勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,并从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、 结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.

二、教学重点、难点

重点:等比数列前 n 项和公式的推导及公式的简单应用. 难点:错位相减法的生成和等比数列前 n 项和公式的运用.
三、教学流程 :
创设情景 提出问题 类比探索 形成公式 公式应用 培养能力

解决问题 前呼后应

归纳总结 加深理解

延伸拓展 发散思维

四、教学过程
教学 环节

教学内容

学生活动

设计意图
为用 “错位相减 法” 求等比数列 前 n 项和埋下 伏笔.

复 习 旧 知

【教师提问】 (1) 等比数列定义及通项公式? 学生:回忆回答问题(1) 和(2) . (2) 等比数列的项之间有何特点?

二、问题情境,引出课题:

创 设 情 境

设计意图: 情境动画的 【多媒体动画演示】 引入让引出 八戒向悟空借钱 课题的同时 学生:观看多媒体动画,回答 【教师提问】 激发学生的 问题. 怎么求②式?(用追问的方式引出 兴趣 课题) 探究一:如何求和 引导学生回忆:等差数列求和 的重要方法是倒序相加法,剖 析倒序相加法的本质即整体 设元,构造等式,利用方程的 思想化繁为简,把不易求和的 问题转化为易于求和的问题, 反思: 纵观全过程,①式两边为什 从而求和的实质是减少了项 . 那现在用这种办法还行吗? 么要乘以 2 ? 若不行,那该怎样简化运算?
1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 228 ? 229 【教师提问】 (1)能否逐一相加得结果? (2)那有什么简单方法?

提 出 问 题

探讨 : 悟空要求八戒还钱的总 数是: S30=1+2+22+· · · +229 ① 上式有何特点? 如果①式两边同乘以 2 得 2S30=2+22+23+· · · +228+229② 比较①、②两式,有什么关 接着教师再顺势引导学生将问题一 系? 般化,类比联想解决问题.

设计意图: 用错位相减 法推导等比 数列前 n 项 和公式的关 键是变 “加” 为“减”, 在教师看来 这是“天经 地义”的, 但在学生看 来却是“不 可思议” 的, 因此在这儿 下功夫,让 学生经过思 考讨论,教 师引导类比 倒序相加求 和的本质, 运用数学中 重要的转化 思想,通过 构造法发现

上述解法

探究二: 类 比 探 索 【教师提问】

学生讨论发言 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ?

设 等 比 数 列 {an } 的 首 项 为 注意:①学生已有上面问题的 处理经验,肯定有不少学生会 a1, 公比为q, 如何求此数列的前n项 想到“错位相减法” ,此时教 和Sn ? 师可放手让学生自主探究、讨 论,并请学生发言.

设计意图:在教 师的指导下, 让 学生经历从特 殊到一般, 从已 知到未知, 步步 深入的过程, 让 学生自己探究 公式,加以体 验.

形 成 公 式

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?

① ② 将 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an 写 成 : 2 n?1 S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q ,

两边同时乘以公比 q 后会得 剖析公式结构特征,并强调 q ? 1时 到 : 2 3 n 该求和公式中有 5 个量,知任意 3 qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q , 两个等式相减后,哪些项被消 去,还剩下哪些项,剩下项的 外 2 个的方程思想. 符号有没有改变?这些都是用 学生易忽略对 q =1 的讨论,应强调 错位相减法的关键所在,让学 生先思考,再讨论,最后用多 媒体给予突出强调,加深印象! 个通过解方程(组)都可以求另

初 步 应 用 感 悟 公 式

设计意图:学生 的错误教师不 变式研究: 立即指出, 让学 1 1 1 1.求等比数列 , , ,? 的第 5 生经历错误, 2 4 8 在矛盾中感悟, 至第 10 项的和 防范错误的再 1 1 1 度发生 例 1.已知等比数列 {an } 中的有 2. 求等比数列 a , a 2 , a 3 , ? 的 关量,求指定量 前 10 项的和

教师点评: 应用公式时注意(1)要准确的表示 求和公式中的每个量, (2)含参数 列求和代公式前要先判断是否为等
引导学生将实际问题转化为数学 问题, 这里的重点是: 审题与转化, 明确已知是什么?要求什么?

练习: 边长为 2cm 的正方形, 再将 这个正方形各边的中点相连得到 比数列的求和,是等比数列求 第 2 个正方形,依此类推,这样一 和再分 q ? 1 , q ? 1 合理选用公式. 共画了 10 个正方形,求这 10 个正 方形的面积的和 例 2.“远望巍巍塔七层,红光点点倍加 增,共灯三百八十一,请问尖头几盏 灯?”这首中国古诗的答案是多少? 例 3.见课本 P56 例 2

学以致用, 激发 兴趣

学生课后自主探索推导等比 数列前 n 项和公式 的其它方 法.

深 入 研 究

加 深 理 解

通过课后对不同推导方法的 研究,可以使学生从不同的思 维角度掌握等比数列前 n 项和 探究三:课后探索 公式.它源于课本,又高于课 【教师提问】 本, 是优秀学生研究性学习 推导等比数列的前 n 项和公式,还 和拓展学习的极佳资源 . 有其它方法吗?

设计意图: 由于 本节课的重点、 难点在于用错 位相减法推导 公式, 所以这个 问题留于学生 课后探索, 下节 课再来展示,

作品方式:以小组为单位 进行合作探究,交小论文 《等比数列求和公式的推 导的新途径》,下节课前 展示。

根据时间而定,引导学生 探究。

巩固作业: 小 结 与 分 层 作 业
1、课本 P143 习题 3.5 (1、3、

本题采用弹 性教学设计 的方式,根 据实际上课 情况来选 择。

5)

创新作业:
备用题: (04 年高考全国卷数列考题, 题 目略) 小结: (1)等比数列求和公式: 当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时 , Sn ?

a1 ? a n q 1? q



Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

(2)本堂课所涉及的数学思想方法 (3)关于数学实际应用问题的处理


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