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3.2古典概型3


3.2 古典概型
一、古典概型的概念 二、例题选讲 三、小结

一、古典概型
1. 定义
若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征: (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个, 即Ω={ω1,ω2,…,ωn}; (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的, 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的

数学模型为古典概型。

2. 古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验 E 为古典概型,其样本空间 Ω 及 事件A分别为: Ω={ω1,ω2,…,ωn} A={ωi1,ωi2,…,ωik} 则随机事件 A 的概率为:

k 事件A中包含的基本事件数 P( A) ? ? n ?中的基本事件总数

3. 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白 球,n个黑球的概率? 解

设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球
样本点总数为
?M ? N? ? ?, ? m?n ?

A 所包含的样本点个数为
? M ?? N ? ? M ? N ? 故 P ( A) ? ? ?? ? ? ? m n m ? n ? ?? ? ? ?

? M ?? N ? ? ?m ? ?? ?n ? ?, ? ?? ?

(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球 的概率. 解 设 A ? {前2次摸到黑球, 第三次摸到红球 }

第3次摸到红球 4种

1次摸到黑球 6种 第2

第3 2 1次摸球

10种

样本点总数为

10 ? 10 ? 10 ? 103 ,

A 所包含样本点的个数为 6 ? 6 ? 4, 6? 6? 4 ? 0.144 . 故 P ( A) ? 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位 数字互不相同的概率. 7 7

(答案: p ? P10 10 )

2o 骰子问题 概率.

掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p ? 3 63 )

4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.

3

3

3

3

4个球放到3个杯子的所有放法 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 34 种,

????? ????? ?

? 4? ? ?种 ? 2?

? 2? ? ?种 ? 2?

2个

2个

因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为

? 4 ?? 2 ? 4 2 p ? ? ?? ? 3 ? . 27 ? 2 ?? 2 ?

(2) 每个杯子只能放一个球

问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
4 p4 4 ? 3 ? 2 ?1 p? 4 ? p10 10 ? 9 ? 8 ? 7

1 ? . 210

课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.

(答案: 3! 33 )
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. ? 20 ?? 10 ?

(答案 : p ? ? ?? ? 36520 ) ? 10 ?? 10 ?

5. 古典概型的概率的性质 (1)对于任意事件A , 0 ? P(A) ? 1
( 2) P (?) ? 1, P (?) ? 0;
(1) (3) 对于两两互斥的有限多 个事件 A1 , A2 ,?, Am ,

P ( A1 ? A2 ? ? ? Am ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? ? P ( Am )

二、 例题选讲
例1 将一枚硬币抛掷三次 . (1) 设事件 A1 为" 恰有一
次出现正面" , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 "至少有一 次出现正面" , 求 P ( A2 ).

解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 ? ? { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
而 A 1 ? { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) ? 3 8 ,

( 2) A 2 ? { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.

因此 P ( A 2 ) ? 7 8 .

nA ? 5

例2 设有编号为1,2,…,10的十个相同的球,一学生任 意取一球,求此球的号码是偶数的概率. 解 记i={所取球的号码为i}i=1,2,…10.显然,学 生抽到任一球的可能性是一样的,这是一个古典概型, 基本事件总数n=10,令A={所取球的号码为偶数} 则A所含的基本事件数nA=5,故所求概率为

nA 5 1 P( A) ? ? ? n 10 2

例3 一套5卷的选集随机地排放在书架上,问:(1)第1 卷放在最左边的概率?(2)从左到右正好按卷号排成 12345的概率? 解 5卷选集在5个位置上的任一种排列,是一个基本 事件,因此,所有可能的基本事件总数(即样本空间中 的基本事件总数)为5!。 设A={第1卷放在最左边}, B={从左到右正好按卷号排 。 成 12345},则A包含的基本事件总数为1×4!,B包含的基 本事件总数为1。从而,P(A)=4!/5!,P(B)=1/5!。

?

注:计算样本空间所含基本事件总数,有时用排列 有时用组合,那么,何时用排列何时用组合?一般 来讲,当考虑“顺序”时用排列,不考虑“顺序” 时用组合。另外,当考虑“顺序”时,样本空间及 所关心的事件A所包含的基本事件总数的计算,都 要用排列,反之亦然

例4 设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k ? D ) 件次品的概率是多少 ?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
?N? ? ?n ? ?种, ? ? 在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法

共有

? D ?? N ? D ? ? ?? ?种, ? k ?? n ? k ?

? D ?? N ? D ? ? N ? ? ? ?. 于是所求的概率为 p ? ? ?? ? k ?? n ? k ? ? n ?

例 5(分房问题) 有 n 个人,每个人都以同样的概 率 1/N 被分配在 N (n ? N ) 间房中的每一间中,试求 下列各事件的概率: 1)某指定 n 间房中各有一人 ; 2)恰有 n间房,其中各有一人;

m(m ? n) 人。 3) 某指定一间房中恰有
解 先求样本空间中所含样本点的个数。

首先,把 n 个人分到N间房中去共有 N n种分法,其 次,求每种情形下事件所含的样本点个数。

a)某指定n间房中各有一人,所含样本点的个数, 即可能的的分法为 n!; n b)恰有n间房中各有一人,所有可能的分法为 C N n!;

c)某指一间房中恰有m人,可能的分法为 Cnm ( N ? 1) n?m .

进而我们可以得到三种情形下事件的概率,其分别为 :
m n (1 ) ( N ? 1) n?m N n . n! N n (2) CN ? n! N n (3) Cn

? 30, m ? 2 上述分房问题中,若令 N ? 365, n 则可演化为

生日问题.全班学生30人, (1) (2) 某指定30天,每位学生生日各占一天的概率; 全班学生生日各不相同的概率;

(3)

全年某天,恰有二人在这一天同生日的概率。

利用上述结论可得到概率分别为 :

(1) 30! 365 ; (2) C
2 C ) (3) 30 ( 3 6 4

30

30 365

? 30!/ 365 ? 0.294 ;
30

(365)30

由(2)立刻得出,全班30人至少有2人生日相同 的概率等于1-0.294=0.706, 这个值大于70%。

备份题
1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的 纪念章,任选3个记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概 率. ? 10 ? 解 (1)总的选法种数为 n ? ? ?, ?3 ?

? 5? 最小号码为5的选法种数为 m ? ? ?, ? 2?

故小号码为5的概率为

? 5 ? ? 10 ? ? 1 . P?? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 12 ? 4? (2)最大号码为5的选法种数为 ? ?, ? 2? 故最大号码为5的概率为 ? 4 ? ? 10 ? ? 1 . P?? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 20

2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试求每 个盒子至多有一只球的概率.
4种 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 , 共有 6 解 放法. 每个盒子中至多放一只球共有6 ? 5 ? 4 ? 3 种不同放

法. 因而所求的概率为
6? 5? 4? 3 p? 64 ? 0.2778.

例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:

? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 15! . ? ?? ?? ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? 5! 5! 5!
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有

? 3 ? ? 2 ? ? 1 ?? 12? ? 8 ? ? 4 ? ? ? 4? ?? ? 4? ?? ? 4? ? ? (3!?12! ) (4! 4! 4! ) 种. ?1 ? ?? ?1 ? ?? ? 1? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

因此所求概率为
25 3!?12! 15! ? . p1 ? 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91

(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有

(3 ?12! ) (2! 5! 5! ) 种, 因此所求概率为
6 3 ? 12! 15! ? . p2 ? 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91

4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问 是否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四

?
周五

7 12 周六 周日

故一周内接待 12 次来访共有 712 种.

2 1

2

2 3

2 4

?

2 12

周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为

212 p ? 12 ? 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.

5 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 解 64 个人生日各不相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? 64 ? 1) p1 ? 36564

故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? 64 ? 1) ? 0.997. p ? 1? 64 365

说明 随机选取n(? 365)个人, 他们的生日各不相同的 概

率为

365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? n ? 1) p? 365n

而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 ? 364 ? ? ? ( 365 ? n ? 1) p ? 1? 365n

我们利用软件包进行数值计算.

三、小结

? ? 古典概型 ? ? ? ? ? k ? 应用 P (A) ? ?

? (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限 ? 个, 即Ω={ω1,ω2,…,ωn}; ? 定义? ? ? ? (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的, ? ? P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。

事件A中包含的基本事件 ? n ?中的基本事件


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