当前位置:首页 >> 数学 >>

饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)


饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

三角函数,同角关系与诱导公式 (一)知识要点 ▲三角函数的概念 1 角的概念的推广 (1)角的定义(用旋转来定义角) (2)正角,负角和零角(按旋转方向不同定义) (3)象限角和轴上角(终边落在坐标系的不同位置) 如, ? 是第一象限角可表示为: ?? | 2k? ? ? ? 2k

? 如,终边落在坐标轴上的角可表示为: {? | ? ? (4)终边相同的角 所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合 {? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z}. 2 弧度制

? ?

?

? ,k ?Z? 2 ?

k? , k ? Z} 2

1 1 1 为 1 度的角.即 周角=10; (2)弧度制: 周角=1 弧度( rad ) ; 360 360 2? 180 ? ? )? ? 57?18' , 1? ? rad (3)角度制和弧度制互换: 2? ? 360 ,1800= ? , 1rad ? ( ? 180 1 1 2 (4)弧长,扇形面积的公式: l ? r | a | ,S= lr ? | ? | r 2 2
(1)角度制:周角的 3 任意角的三角函教 设 ? 是一个任意角, ? 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y),它与原点的距离是 r,那么

sin a ?

y ; r

cos a ?

x ; r

tan a ?

y x

注意各自的定义域和取值符号

▲ 同角关系与诱导公式 1 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:sin 2 ? +cos 2 ? =1;(2)商数关系: tan ? ? 2 诱导公式:

sin ? cos ?

? ?、? ? ?、 2? ? ? 的三角函数等于 ? 的同名函数值,前面加上一个把 ? (1) 2k? ? ? (k ? Z )、
看成锐角时原函数值的符号,口诀为:函数名不变,符号看象限. (2)

?

3? ? ?、 ? ? 的三角函数值等于 ? 的余函数值,前面加上一个把 ? 看成锐角时原函数值的 2 2 k? ? ? " (k ? Z ) 中 k 是奇数或偶数, 2

符号.口诀为:函数名改变,符号看象限. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇、偶”是指 "
第 1 页 共 9 页

饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

“符号”是把任意角 ? 看作锐角时,原函数值的符号. (二)学习要点 1 角的概念的推广 (1)区域角的书写; (2)弧度制的应用; (3)坐标系,三角函数线的应用. 2 同角关系 (1)掌握公式的变形.如 sinα =tanα ·cosα , (2)使用这组公式进行变形时,经常把“切”用“弦”表示,即化弦法. (3)几个常用关系式 ① sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ·cosα ;(三式之间可以互相表示.) ② 1 ? sin ? ? ?1 ? sin

? ?

??
? 2?

2

③当 x ? ? 0,

? ?

??

? 时,有 sin x ? x ? tan x . 2?

(4)公式中“1”的妙用 3 诱导公式 (1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角. (2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定. (三)例题讲解 例 1(1)角 ? 的终边上一个点 P(4t,-3t)( t ? 0) ,求 2sin ? +cos ? 的值 (2)已知角 ? 的终边在直线 y ? 3x 上,用三角函数定义求 sin ? 和 tan ? 的值

例2已知一扇形的中心角是 ? ,所在圆的半径是 R. (1) 若 ? =600 , R=10cm , 求扇形的弧长及弧所在的弓形面积; (2) 若扇形的周长是一定值 c (c>0)当 ? 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

例3若 ? 为第三象限角,求

? ? , 角所在象限,并在平面直角坐标系表示出来. 2 3

第 2 页 共 9 页

饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

例4在 (0, 2? )内,使sin x ? cos x 成立的 x 取值范围是( A(

) D(

? ?

5 , ) ? (? , ? ) 4 2 4

B(

?
4

,? )

C(

?

5 3 ,? ) ? ( ? , ? ) 4 4 2

? 5

, ?) 4 4

例 5 已知 sin ? ? cos ? ?

2 , ? ? (0, ? ), 求 tan ?及 sin 3 ? ? cos 3 ? 的值 3

tan ? ? ?1, 求下列各式的值: tan ? ? 1 sin ? ? 3 cos ? (1) ; (2) sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 sin ? ? cos ?
例 6 已知

(四)练习题 一 选择题 0 1.已知集合 A={第一象限角}, B= {锐角} , C= {小于90 的角} , 则下列关系正确的是 ( A.A=B=C B. C ? A . C. B ? C D. A ? C ? B 2.若 ? 为第一象限角,那么能确定为正值的是( A.cos2 ? B. sin )



? ? ? C. cos D. tan 2 2 2 k? ? k? ? ? , k ? Z }, N ? {x | x ? ? , k ? Z } 则有( 3.集合 M ? {x | x ? 2 4 4 2
A.M=N B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ?



4.给出下列四个命题: (1) 如果 ? ? ? ,那么 sin ? ? sin ? ; (2) 如果 sin ? ? sin ? ,那么 ? ? ? ; (3) 如果 sin ? ? 0 ,那么 ? 是第一或第二象限角; (4) 如果 ? 是第一或第二象限角,那么 sin ? ? 0 .
第 3 页 共 9 页

饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

这四个命题中,错误的命题有( A.1个 B.2个

) C.3个 D.4个 )

5.角 ? 的终边上有一点 P(a, a), a ? R且a ? 0, 则sin ? 的值是(

A.

2 2

B.-

2 2

C.

2 2 或- 2 2

D.1

6.若角 ? 满足 sin2 ? <0, cos ? -sin ? <0, 则 ? 为( ) A。第一象限角 B。第二象限角 C。第三象限角

D.第四象限角

1 ? sin(?? ? 900 ) 1 cos( ?? ) ,则 7.若 sin(? ? ? ) ? 的值等于( 1 0 10 ? cos(?? ? 270 ) sin(5400 ? ? )
A.-



1 3

B. ?

1 27

C.

1 3

D. ? ) D.

3 3

8.已知 sin ? ? cos ? ? A.1 9.若

2, 求 tan ? ?

cos ? 的值( sin ?
C.2

B. 2

sin ? ? cos ? 3 ? 2, 求 sin(? ? 5? ) sin( ? ? ? ) 的值( sin ? ? cos ? 2 3 3 3 3 A. B. ? C. D. ? 4 10 10 10
10.化简

1 2


1 ? sin 2 11800 的结果是(
B.cos800

) C.sin800 D.cos100

A.cos1000 (二)填空题

11.已知角 ? 的终边经过点 (3a ? 9, a ? 2)且 cos? ? 0, sin ? ? 0 ,则 a 的取值范围是__________ 12 已知 f (n) ? sin

n? , n ? N , 则f (1) ? f (2) ? ? ? f (100 ) =____________ 4

13 已知集合 A ? {x | k? ?

?

3

? x ? k? ? ? , k ? Z }, B ? {x | 4 ? x 2 ? 0},则 A ? B

=____________________________ 14 计算:sin100 sin(-2600 )-cos1000cos(-1700)-tan1900tan2800=______________. 15 如果 cos? =

1 ? ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos( ? ? ) = 5 2
第 4 页 共 9 页

饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

16.已知 sin ? ? 三、解答题

2 5 ? , ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2 5



17 已知 ? ? ? ? ? ?

4 ? ? , ?? ? ? ? ? ? ? ,求 2? ? ? 的范围。 3 3

18 已知一扇形的周长为 c(c ? 0) ,当扇形的中心角为多大时,扇形的面积最大?

19 已知 sin ? ?

1 , sin(? ? ? ) ? 1 ,求 sin(2? ? ? ) 的值 3

2 20 已知 sin ? ? cos ? ? 1 ,求 y ? sin ? ? cos ? 的取值范围。

21 已知 sin ? ?

1? a 3a ? 1 , cos ? ? ,若 ? 是第二象限角,求实数 a 的值 1? a 1? a

第 5 页 共 9 页

饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

22 化简

sin[( k ?1)? ? ? ] ?cos[( k ?1) ? ? ?] (k ? Z ) sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? )

23 若 ? 是第三象限角,问是否存在这样的实数 m,使得 sin ? 、cos ? 是关于 x 的方程: 8 x2+6 m x+2 m+1=0 的两个根.若存在,求出实数 m,若不存在,说明理由.

三角函数,同角关系与诱导公式答案

例 1 解: (1) 据题意,有 x=4t,y=-3t,所以 r ? (4t ) 2 ? (?3t ) 2 ? 5 | t |
3 4 6 4 2 ①当 t>0 时,r=5t,sin ? = ? , cos ? ? , 2 sin ? ? cos ? ? ? ? ? ? ; 5 5 5 5 5 3 4 6 4 2 ②当 t<0 时, r ? ?5t , sin ? ? , cos ? ? ? , 则2 sin ? ? cos ? ? ? ? . ①② 5 5 5 5 5

(2)设 p(a, 3a)(a ? 0) 是 ? 角终边 y ? 3x 上一点,则 tan ? ? 3 若 a<o,则 ? 是第三象限角, r ? ?2a, sin ? ?
3a 3 ?? ; ? 2a 2 3a 3 ? . 2a 2

当 a>0,则 ? 是第一象限角, r ? 2a. sin ? ?

例 2 解:(1)设弧长为 l,弓形面积为 S弓 S 扇 S ? ∵ ? ? 60 0 ?

?
3

, R ? 10, ∴ l ?

10 ? (cm ) 3
第 6 页 共 9 页

饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

1 10 1 ? 3 )(cm2 ) S弓 = S 扇 - S ? = ? ? ? 10 ? ? 102 ? sin 600 ? 50( ? 2 3 2 3 2

(2) ∵扇形周长 c=2R+ l =2R+aR , ∴ R ?

c , 2?a

1 1 c 2 c2 1 c2 1 c2 ) ? a? ? ? ? . S 扇 = a ? R 2 ? a( 4 16 2 2 2?a 2 2 4 ? 4a ? a 2 4?a? a
4 c2 ∴当且仅当 a ? , 即a ? 2(a ? ?2舍去) 时,扇形面积有最大值 . a 16 3? ? ? 3? (k ? Z ), 则k? ? ? ? k? ? (k ? Z ). 2 2 2 4 ? ? 当 k 为偶数时, 在第二象限;当 k 为奇数时, 在第四象限. 2 2 2k? ? ? 2k? ? ? ? ? ? (k ? Z ) 又 3 3 3 3 2 ? 当 k=3n 时 (n ? Z ) , 在第一象限; 3 ? 当 k=3n+1 时 (n ? Z ) , 在第三象限; 3 ? 当 k=3n+2 时 (n ? Z ) , 在第四象限. (图略) 3 例 4 选 D; 2 例 5 解: ∵ sin ? ? cos ? ? , ① 3 5 由①2 可得 sin ? cos ? ? ? , ② 18

例 3 解:由已知 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?

当 ? ? (0, ? ), 由②可得 sin ? ? 0 ? cos ? . 由①与②联立解得: sin ? ?
9 ? 2 14 5
2 5 23 (1 ? ) ? . 3 18 27

2 ? 14 2 ? 14 , cos? ? . 6 6

∴ tan? ? ?

sin 3 ? ? cos 3 ? ? (sin ? ? cos ? )(sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ) ?
第 7 页 共 9 页

饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

例 6 解:由已知得 tan ? ?

1 . 2

1 ?3 sin ? ? 3 cos? tan? ? 3 2 5 (1) ? ? ?? . sin ? ? cos? tan? ? 1 1 3 ?1 2
(2) sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 ? sin 2 ? ? sin ? ? cos? ? 2(cos2 ? ? sin 2 ? )
3 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 3 tan2 ? ? tan? ? 2 = = = sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1
一 选择题

1 1 3( ) 2 ? ? 2 13 2 2 ? 1 5 ( )2 ? 1 2

第 1~10 题:CDC BCB
二 填空题

BCCB

11

(-2, 3) ;

12

2 ?1

13 {x | ?2 ? x ? 0或

?
3

? x ? 2} ; 14

1 ;

15.解:已知 ? cos(? ? ? ) ? ?sin? ? ?(? 1? cos 2 ? ) ? 2 6 ;

2

5

16.解:由 sin ? ? 三、解答题 17 ?? ? 2? ? ? ? 18 当 2? ?

2 5 ? 5 , ? ? ? ? ?cos?=- ,所以 tan ? ? -2 2 5 5

?
6

8

?

,即扇形中心角 ? ? 2 弧度时,扇形有最大面积 Smax ?

c2 16

19

1 3

3 4 21 解∵ ? 为第二象限角, ∴sin ? >0,cos ? <0. 1? a ? ? 0 ? 1? a ? 1 1 ∴? 解之得0 ? a ? . 3a ? 1 3 ?? 1 ? ?0 1? a ? 2 又∵sin ? +cos2 ? =1
20 y ? [ ,1]
第 8 页 共 9 页

饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)

∴(

1? a 2 3a ? 1 2 1 1 ) ?( ) ? 1 解之得 a= 或 a=1(舍去).故实数 a 的值为 1? a 1? a 9 9

22 当 k ? 2n(n ? Z ) 时,原式=-1;当 k ? 2n ? 1(n ? Z ) 时,原式=-1 23 解:若存在这样的实数满足条件,由题设得

? ?? ? 36m 2 ? 32(2m ? 1) ? 0 ? 1 ? ? 3 ? ? sin ? ? cos? ? ? m ? 2 ? 4 ? 2 m ? 1 ? sin ? cos? ? ?0 ?3? ? 8 ?
又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1得(sin? ? cos? ) 2 ? 2 sin ? cos? ? 1
3 2m ? 1 ?1 把(2) 、 (3)代入上式得: (? m) 2 ? 2 ? 4 8 10 即 9m 2 ? 8m ? 20 ? 0, m1 ? 2, m2 ? ? 但 m1 ? 2 不满足条件(1)舍去; 9 10 m 2 ? ? 不满足条件(3)也舍去,故这样的实数 m 不存在。 9

第 9 页 共 9 页


相关文章:
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)_专业资料。三角函数,同角关系与诱导公式 (一)知识要点 ▲三角函数的概念 1 角的概念的...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一)_专业资料。三角函数,同角关系与诱导公式 (一)知识要点 ▲三角函数的概念 1 角的概念的...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三...
饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习(三角函数与三角恒等变换之一) 三角函数,同角关系与诱导公式 (一)知识要点 ▲三角函数的概念 1 角的概念的推广 (1)...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习_专业资料。三角函数与恒等变化测试题 ...饶平二中高三理科数学单元测试 三角函数与恒等变换姓名:___ 座号:___ 班级:__...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习
饶平二中高三理科数学单元测试 三角函数与恒等变换姓名:___ 座号:___ 班级:___ 成绩:___ 一 填空题:(本题共 6 题,每题 4 分,共 24 分) 1. 130? ...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习
? 2 ) 的图象的一部分如图 饶平二中高三理科数学单元测试 三角函数与恒等变换姓名:___ 座号:___ 班级:___ 成绩:___ 一 填空题:(本题共 6 题,每题 4...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习_专业资料。三角函数与恒等变化测试题 ...饶平二中高三理科数学单元测试 三角函数与恒等变换姓名:___ 座号:___ 班级:__...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习
? 2 ) 的图象的一部分如 第 1 页共 3 页 饶平二中 2007 届高三理科数学第一轮总复习 饶平二中高三理科数学单元测试 三角函数与恒等变换姓名:___ 座号:___...
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习
饶平二中2007届高三理科数学第一轮总复习_数学_高中教育_教育专区。三角函数与恒等变化测试题 一 填空题(本大题 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 1 与 ?...
广东饶平二中高三数学高考一轮复习:三角恒等变换4(含答...
广东饶平二中高三数学高考一轮复习:三角恒等变换4(含答案)_从业资格考试_资格...三角恒等变换 (一) 知识要点 1 三角恒等变化的知识平台 (1)同角三角函数的...
更多相关标签: