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广州市海珠区2017届高三上学期调研测试(一)(文数)


广州市海珠区 2017 届高三上学期调研测试(一) 数学(文科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在

答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 (1)已知集合 M ? ??2,0,2,4,? , N ? x x ? 9 ,则 M ? N ?

?

?

(A) ?0,2? (2)复数 ? (A) ? i

(B) ??2,0,2?

(C)

?0,2,4?

(D) ??2,2?

?1 ?2

?

3 ? i ? (其中 i 为虚数单位)的值是 2 ?
(B) i

3

(C) ? 1

(D) 1

(3)要得到函数 y ? sin ? 2 x ? (A)向左平移 (C)向左平移

? ?

??

? 的图象,只需要将函数 y ? sin 2 x 的图象 6?
(B)向右平移 (D)向右平移

?
12

个单位

?
12

个单位

? 个单位 6

? 个单位 6

(4)已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数 也相同,则图中的 m, n 的比值 (A)

m = n

3 8

(B)

1 3

(C)

2 9

(D) 1

(5)如图,在底面边长为 1,高为 2 的正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点,则三棱锥 P ? BCD 的正视图与侧视 图的面积之和为 (A) 2 (B) 3
2 2

(C) 4

(D) 5

(6)设点 P 是双曲线

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上的一点, 2 a b F1 , F2 分 别 为 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 , 已 知 PF1 ? PF2 , 且

PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线的离心率为
(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 5

?y ? x ? (7)在平面直角坐标系中,已知点 A ? 2, ? 1? 和坐标满足 ? x ? y ? 1 的动点 M ? x, y ? ,则目 ? y ? ?1 ?

1

(8)已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ,则 f ? x ? 的图像大致为

标函数 z ? OA ? OM 的最大值为 (A) 4 (B) 5

??? ? ???? ?

(C) 6

(D) 7

(9)若 c ? 1 , 0 ? b ? a ? 1 ,则 (A) a c ? bc (B) ba c ? abc (C) a logb c ? b loga c (D) loga c ? logb c (10)在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b ,

c ,已知 b ? c , a2 ? 2b2 (1 ? sin A) ,则 A ?
3π 4 π (C) 4
(A)

π 3 π (D) 6
(B)

(11)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 (A) ? 1 (B) 1 (C) ? 2 (D) 2
2

(12)设奇函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,且 f ? ?1? ? ?1 , 若函数 f ? x ? ? t ? 2at ? 1 对所有的 x ? ? ?1,1? 都成立, 当 a ? ? ?1,1? 时,则 t 的取值范围是 (A) ?

1 1 ?t? (B) ?2 ? t ? 2 2 2 1 1 t ? 或t ? ? 或t ? 0 (D) t ? 2或t ? ?2或t ? 0 (C) 2 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)设向量 a ? ? x ? 1,2 ? , b ? ?1, x ? ,且 a ? b ,则 x ? (14)已知 ? ? ?

?

?

?

?



π? 3 π? ? ? ? 3? ? . , 2? ? ,且 cos ? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 4? 5 4? ? ? ? 2 ? x2 y2 ( 15)已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,上、下顶点分别是 a b ???? ? ???? ? B1,B2 ,点 C 是 B1F2 的中点,若 B1 F1 ? B1F2 ? 2 ,且 CF 1 ? B 1F 2 ,则椭圆的方程
为 . (16)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点 都在球 O 的表面上,且三棱柱的体积为

9 ,则球 O 的表面积为 4



2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

在公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列.

1 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? an ?1

(18) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60? , PD ? 平面 ABCD , PD ? AD ? 1 ,点 E,F 分别为 AB 和 PD 的中点. P (Ⅰ)求证:直线 AF / / 平面 PEC ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? BEF 的体积.

F D A
(19) (本小题满分 12 分)

C B

E
第 18 题图

某商店计 划 每 天 购 进 某 商 品 若 干 件 , 商 店 每 销 售 一 件 该 商 品 可 获 利 润 60 元 , 若 供 大 于 求 , 剩 余 商 品 全 部 退 回 , 但 每 件 商 品 亏 损 10 元 ; 若 供 不 应 求 , 则 从 外 部 调 剂 , 此 时 每 件 调 剂 商 品 可 获 利 40 元 . (Ⅰ)若商店一天购进该商品 10 件,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:件, n ? N )的函数解析式; (Ⅱ)商店记录了 50 天该商品的日需求量 n (单位:件, n ? N ) ,整理得下表: 日需求量 频数

7

8

9

10
14

11

12 5

4

8

10

9

若商店一天购进 10 件该商品, 以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发 生的概率,求当天的利润在区间 ?500, 650? 内的概率. (20) (本小题满分 12 分) 已知点 F 为抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A(2, m) 在抛物线 E 上,且到原
2

点的距离为 2 3 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G (?1, 0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B ,证明:以点 F 为圆心且与直 线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ln x ? (Ⅰ)求 a 的取值范围;

a 2 x ? x ? a (a ? R R )在其定义域内有两个不同的极值点. 2
2

(Ⅱ)设两个极值点分别为 x1 , x2 ,证明: x1 ? x2 ? e .

3

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做的第一个题目计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC . (Ⅰ)求证: BE ? 2 AD ; (Ⅱ)当 AC ? 1 , EC ? 2 时,求 AD 的长.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程为 ?

坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? ? (Ⅰ)求曲线 C 在极坐标系中的方程; (Ⅱ)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

? x ? 2 ? 2cos? , ?? 为参数? ,在极 ? y ? 2sin ? ,

? ?

??

??2 2. 4?

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若存在实数 x ,使得 f ( x) ? x ? a ,求实数 a 的取值范围.

4

数学(文科)参考答案
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. (1)B (7)B (2)C (8)A (3)A (9)D (4)A (10)C (5)A (11)D (6)D (12)D

二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分.

1 (13) 3
三.解答题

3 (14) 4

x2 y2 ? ?1 (15) 4 3

(16) 7?

(17)(本小题满分 12 分) 解:解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为

d ? d ? 0? ,
由题意知 ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 3d ? ,
2 2

…………1分 …………2分

即 ? 2+d ? ? 2 ? 2 ? 3d ? ,即 d ? d ? 2? ? 0 ,又 d ? 0 ,所以 d ? 2 .…………3分 故数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n . 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? …………

1 1 1 1 1 1 ……7 分 = ? ? ( ? ) an ? an ?1 2n ? 2 ? n ? 1? 4n ?n ? 1? 4 n n ? 1
…………8 分 …………9 分

所以 Tn =b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 = ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n n ? 1 ??
1? 1 ? = ?1 ? ? 4 ? n ?1?

…………10 分 …………11 分

=

n . 4 ? n ? 1? n . 4 ? n ? 1?

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = (18)(本小题满分 12 分)

…………12 分

5

解: (Ⅰ)作 FM / /CD 交 PC 于 M ,连接 ME .

…………1分

?点F 为PD 的中点,
// 1 ? FM ? CD , 2 // 1 又 AE ? CD , 2

P F D A B M C

// ? AE? FM ,

E

?四边形 AEMF 为平行四边形,
? AF / / EM ,
…………2分 …………3 分 …………4 分

? AF ? 平面PEC, EM ? 平面PEC , ?直线AF / /平面PEC .
(Ⅱ)连接 ED ,在 ?ADE 中, AD ? 1 , AE ?
2 2 2 ?

1 ? , ?DAE ? 60 , 2
2

1 1 3 ?1? ? ED ? AD ? AE ? 2 AD ? AE ? cos60 =1 + ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? , 2 2 4 ?2?
2

? ED ?

3 , 2
…………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分 …………9 分

? AE 2 ? ED 2 ? AD 2 , ? ED ? AB .

PD ? 平面ABCD, AB ? 平面ABCD ,
? PD ? AB ,

PD ? ED ? D, PD ? 平面PEF , ED ? 平面PEF ,
? AB ? 平面PEF .

S?PEF ?

1 1 1 3 3 , ? PF ? ED ? ? ? ? 2 2 2 2 8

?三棱锥 P ? BEF 的体积 ? VP?BEF ? VB?PEF
1 ? ? S?PEF ? BE 3

…………10 分 …………11 分

1 3 1 ? ? ? 3 8 2

?

3 . 48

…………12 分

(19)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当日需求量 n ? 10 时, 利润为 y ? 60 ?10 ? ? n ? 10? ? 40 ? 40n ? 200 ; …………2 分 当日需求量 n ? 10 时,利润为 y ? 60 ? n ? ?10 ? n ? ?10 ? 70n ? 100 .…………4 分

6

所以利润 y 关于需求量 n 的函数解析式为

? ?40n ? 200 ? n ? 10, n ? N ? y?? . 70 n ? 100 n ? 10, n ? N ? ? ? ?

…………6 分

(Ⅱ)50 天内有 4 天获得的利润为 390 元,有 8 天获得的利润为 460 元,有 10 天获得的利 润为 530 元,有 14 天获得的利润为 600 元,有 9 天获得的利润为 640 元,有 5 天获得的利 润为 680 元. …………9 分 若利润在区间 ?500, 650? 内,日需求量为 9 、 10 、 11 ,其对应的频数分别为 10 、 14 、 9. 则利润在区间 ?500, 650? 内的概率为 (20)(本小题满分 12 分)
2 ? ?m ? 4 p 【解析】解法一: (I)由题意可得: ? , 2 4 ? m ? 2 3 ? ? 解得 p ? 2 ,

…………10 分

10+14+9 33 = . 50 50

…………12 分

…………2 分 …………3 分 …………4 分

所以抛物线 ? 的方程为 y ? 4 x .
2

(II)因为点 ? ? 2, m ? 在抛物线 ? : y ? 4 x 上,
2

所以 m ? ?2 2 ,

由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 . 由 ? 2, 2 2 , F ?1, 0 ? 可得直线 ?F 的方程 y ? 2 2 ? x ? 1? . …………6 分 由?

?

?

…………5 分

?

?

? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ,

解得 x ? 2 或 x ? 又 G ? ?1, 0 ? , 所以 kG? ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

…………7 分

2 2 ?0 2 2 ? , 2 ? ? ?1? 3

…………8 分

kG? ?

? 2 ?0 2 2 , ?? 1 3 ? ? ?1? 2

…………9 分

所以 kG? ? kG? ? 0 ,从而 ??GF ? ??GF , 这表明点 F 到直线 G? , G? 的距离相等, 故以 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆必与直线 G? 相切. 解法二: (I)同解法一. (II)设以点 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆的半径为 r .

…………10 分 …………11 分 …………12 分

7

因为点 ? ? 2, m ? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,

由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 . 由 ? 2, 2 2 , F ?1, 0 ? 可得直线 ?F 的方程为 y ? 2 2 ? x ? 1? .…………6 分 由?

?

?

…………5 分

?

?

? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ,

解得 x ? 2 或 x ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

…………7 分 …………8 分 …………9 分 …………10 分

又 G ? ?1, 0 ? ,故直线 G? 的方程为 2 2 x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 从而 r ?

2 2?2 2 8?9

?

4 2 . 17
2 2?2 2 8?9

又直线 G? 的方程为 2 2 x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 所以点 F 到直线 G? 的距离 d ?

?

4 2 ?r. 17

…………11 分

这表明以点 F 为圆心且与直线 G? 相切的圆必与直线 G? 相切. …………12 分 (21)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)依题,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 所以方程 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 有两个不同根. 即,方程 ln x ? ax ? 0 在 (0, ??) 有两个不同根. ………………1 分 (解法一)转化为,函数 y ? ln x 与函数 y ? ax 的图像在 (0, ??) 上有两个不同交点,如图. 可见,若令过原点且切于函数 y ? ln x 图像的直线斜率为 k , 只须 0 ? a ? k . 令切点 A( x0 ,ln x0 ) ,所以 k ? y? |x ? x0 ? 解得, x 0 ? e ,于是 k ? 所以 0 ? a ? …………4 分 o 1 x …………3 分 A y=lnx y y=ax

ln x0 1 1 ln x0 ? ,又 k ? ,所以 , x0 x0 x0 x0
…………5 分 …………6 分

1 , e

1 . e

(解法二)转化为,函数 g ( x) ? 又 g ?( x) ?

ln x 与函数 y ? a 的图像在 (0, ??) 上有两个不同交点. x

1 ? ln x , x2
8

即 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 , x ? e 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 (0, e) 上单调增,在 (e, ??) 上单调减. 从而 g ( x)极大 ? g (e) ?

…………2 分

1 e
…………5 分

…………3 分

又 g ( x) 有且只有一个零点是 1, 且在 x ? 0 时,g ( x) ? ?? , 在在 x ??? 时,g ( x) ? 0 , 所以 g ( x) 的草图如下, 可见,要想函数 g ( x) ?

ln x 与函数 y ? a 的 x

1 e
a o

y

图像在 (0, ??) 上有两个不同交点, 只须 0 ? a ?

1 e 1 . …………6 分 e (解法三)令 g ( x) ? ln x ? ax ,从而转化为函数 g ( x) 有两个不同零点,

x

1 1 ? ax ? ax ? …………2 分 (x ? 0) x x 若 a ? 0 ,可见 g ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调增,
而 g ?( x) ? 此时 g ( x) 不可能有两个不同零点. 若 a ? 0 ,在 0 ? x ? …………3 分

1 1 时, g ?( x) ? 0 ,在 x ? 时, g ?( x) ? 0 , a a 1 1 所以 g ( x) 在 (0, ) 上单调增,在 ( , ??) 上单调减, a a 1 1 …………4 分 从而 g ( x)极大 ? g ( ) ? ln ? 1 a a 又因为在 x ? 0 时, g ( x) ? ?? ,在在 x ??? 时, g ( x) ? ?? ,于是只须:
1 1 ? 1 ? 0 ,所以 0 ? a ? . a e 1 综上所述, 0 ? a ? e

g ( x)极大 ? 0 ,即 ln

…………5 分 …………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 x1 , x2 分别是方程 ln x ? ax ? 0 的两个根, 即 ln x1 ? ax1 , ln x2 ? ax2 ,

x ln 1 x1 ? a( x1 ? x2 ) ,即 x2 . 设 x1 ? x2 ,作差得, ln a? x2 x1 ? x2
原不等式 x1 ? x2 ? e 等价于
2

…………7 分

ln x1 ? ln x2 ? 2 ? a ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ln

x1 2 ? x1 ? x2 ? ? x2 x1 ? x2

…………8 分

9



x1 2 ? t ? 1? x 2 ? x1 ? x2 ? ? t ,则 t ? 1 , ln 1 ? ? ln t ? x2 x2 x1 ? x2 t ?1
2

…………9 分

? t ? 1? ? 0 2 ? t ? 1? 设 g ? t ? ? ln t ? , , t ? 1 , g ' ?t ? ? 2 t ?1 t ? t ? 1?
∴ 函 数 g ? t ? 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 增 , ∴ g ? t ? ? g ?1? ? 0 , 即 不 等 式 ln t ? …………10 分

2 ? t ? 1? 成立, t ?1
2

…………11 分 …………12 分

故 所 证 不 等 式 x1 ? x2 ? e 成 立 . (22)(本小题满分 10 分)

解: (Ⅰ)如图所示,连接 DE ,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形,

?BDE ? ?BCA , 又 ?DBE ? ?CBA , 所以 ?DBE ~ ?CBA ,
即有

…………1 分
D

A C

BE DE ? . …………2分 BA CA E 又 AB ? 2 AC , B 所以, BE ? 2 DE , …………3分 又 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , …………4分 从而 BE ? 2 AD . …………5分 (Ⅱ)因为 AC ? 1 , EC ? 2 ,所以 AB ? 2 AC ? 2 , …………6 分 设 AD ? t ,根据割线定理得, BD ? BA ? BE ? BC ,即

? AB ? AD? ? BA ? 2 AD ? ?2 AD ? CE ? , 所以 ? 2 ? t ? ? 2 ? 2t ? 2t ? 2? ,
即 2t ? 3t ? 2 ? 0 ,
2

…………7 分

…………8 分 …………9 分 …………10 分

解得 t ? 即 AD ?

1 或t ? ?2 ? 舍去 ? , 2 1 . 2
2 2

(23)(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 , 即 x ? y ? 4 x ? 0 ,将 ?
2 2

? x ? ? cos ? 2 2 代入方程 x ? y ? 4 x ? 0 化简得 ? ? 4 cos? . ? y ? ? sin ?
…………5 分

所以,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? . (Ⅱ)? 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,

10

由?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x ? y ? 4,

得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为 (2, 2),(4,0) , …………10 分

所以弦长 OA ? 2 2 . (24)(本小题满分 10 分) (Ⅰ)① 当 x ? ?

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 ③ 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1
综合①②③不等式的解集为 ? ??, ?3? ? ?1, ?? ? …………5 分

(Ⅱ)即 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ? 由绝对值的几何意义,只需 ?

1 a ? x ? 1? 2 2
…………10 分

1 a ? 1 ? ? a ? ?3 2 2

11


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