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山东省济宁市邹城一中2014-2015学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山东省济宁市邹城一中高二(上)9 月月考数学试 卷
一、选择题 1.△ABC 中,a=1,b= ,A=30°,则 B 等于( ) A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° 2.△ABC 中,已知 b=15,c=30,C=123°,则此三角形的解的情况是( A.一解 B.二解 C.无解 D.无法确定 3.在△ABC

中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,并且 a=1,b= 为( ) A.2 B.1 C.1 或 2 D. 或 2 )

,A=30°,则 c 的值

4.在△ABC 中,若

,则△ABC 是(



A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a =b +bc+c ,则 A=( A.120° B.60° C.150° D.30° 6.△ABC 中,AB= A. B. ,AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积等于( C. D. )
2 2 2



7.在△ABC 中,sinAsinC>cosA cosC,则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

8.若△ABC 的三边 a,b,c,它的面积为 A.30° B.45° C.60° D.90°

,则角 C 等于(



9.在△ABC 中,若 A.有一内角为 30°的直角三角形 B.等腰直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形 D.等边三角形

,则△ABC 是(



10. 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则 灯塔 A 与 B 的距离为( ) A . a km B .a km C. a km D.2a km

二、填空题 11.在△ABC 中,已知 c=2acosB,则△ABC 的形状为



12.在锐角△ABC 中,若 C=2B,则 的范围是



13.在△ABC 中,a=1,b=2,cosC= ,则 c=

;sinA=



14.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) ﹣c =4,且 C=60°,ab 的值 为 . 15. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 sinA=sinB? cosC, 则 B= 若 ,则 = . ;

2

2

三、解答题 16.在△ABC 中,已知 a=2 ,b=6,A=30°,求 B 及 S△ABC.

17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b=3,c=8,角 A 为锐角,△ABC 的面积为 6 . (1)求角 A 的大小; (2)求 a 的值.

18.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosB= ,b=2. (1)当 A= 时,求 a 的值;

(2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

19.在△ABC 中,已知 AC=2,BC=3,cosA=﹣ . (Ⅰ)求 sinB 的值; (Ⅱ)求 sin(2B+ )的值.

20.如图,在△ABC 中,∠B= (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长.

,AB=8,点 D 在边 BC 上,且 CD=2,cos∠ADC= .

21.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ )海里的两个观测点,现位于 A 点北偏 东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相 距 20 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

2014-2015 学年山东省济宁市邹城一中高二(上)9 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1.△ABC 中,a=1,b= ,A=30°,则 B 等于( ) A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题 . 分析: 由正弦定理可得 解答: 解:由正弦定理可得 ,求出 sinB 的值,根据 B 的范围求得 B 的大小. ,∴ ,∴sinB= .

又 0<B<π,∴B=





故选 B. 点评: 本题考查正弦定理的应用,根据三角函数的值求角的大小,由 sinB 的值求出 B 的大 小是解题的易错点. 2.△ABC 中,已知 b=15,c=30,C=123°,则此三角形的解的情况是( ) A.一解 B.二解 C.无解 D.无法确定 考点: 正弦定理. 专题:[来源:学科网 ZXXK] 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,把 b,c,sinC 的值代入表示出 sinB,根据 sinB 的范围, 以及三角形边角关系判断即可得到结果. 解答: 解:∵△ABC 中,b=15,c=30,C=123°, ∴由正弦定理 = 得:sinB= = = sin123°< ,

∴此三角形有解, ∵b<c,∴B<C, 则此三角形只有一解,B 为锐角. 故选:A. 点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. [来源:学科网 ZXXK] 3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,并且 a=1,b= 为( ) A.2 B.1 C.1 或 2 D. 或 2 考点: 余弦定理. 专题: 计算题.
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,A=30°,则 c 的值

分析: 由 a,b 及 cosA 的值,利用余弦定理即可列出关于 c 的方程,求出方程的解即可得到 c 的值. 解答: 解:由 a=1,b= ,A=30°, 2 2 2 根据余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得: 2 2 2 1 =( ) +c ﹣2 c? cos30°, 2 化简得:c ﹣3c+2=0,即(c﹣1) (c﹣2)=0, 解得:c=1 或 c=2, 则 c 的值为 1 或 2. 故选 C 点评: 此题考查了运用余弦定理化简求值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

4.在△ABC 中,若

,则△ABC 是(



A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用余弦定理表示出 cosB 及 cosA,变形后代入已知等式的右边,整理后利用正弦定 理化简,再利用二倍角的正弦函数公式化简得到 sin2A=sin2B,由 A 和 B 都为三角形的内角, 可得 2A 与 2B 相等或 2A 与 2B 互补,进而得到 A 等于 B 或 A 与 B 互余,可得出三角形为等腰 三角形或直角三角形. 解答: 解:∵cosB=
2 2 2 2 2 2

,cosA=



∴a +c ﹣b =2ac? cosB,b +c ﹣a =2bc? cosA, ∴ = = = ,又 = ,



= =

,即 sinAcosA=sinBcosB,

∴sin2A=sin2B,又 A 和 B 都为三角形的内角, ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,即 A=B 或 A+B=90°, 则△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选 D 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的正弦函数公式,以及正弦函数的图象与性质, 熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a =b +bc+c ,则 A=( A.120° B.60° C.150° D.30° 考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形.
2 2 2



分析: 根据题中数据结合余弦定理 cosA= 内角的范围即可求出角 A 的大小.

的式子,算出 cosA=﹣ ,结合三角形

解答: 解:∵在△ABC 中,a =b +bc+c ,可得 b +c ﹣a =﹣bc, ∴根据余弦定理,可得 cosA= =﹣

2

2

2

2

2

2

结合 A∈(0°,180°) ,可得 A=120° 故选:A 点评: 本题给出三角形的边的平方关系,求角 A 的大小,着重考查了利用余弦定理解三角形 和特殊三角函数的值等知识,属于基础题. 6.△ABC 中,AB= A. B. ,AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积等于( C. D. )

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 由 AB,AC 及 cosB 的值,利用余弦定理即可列出关于 BC 的方程,求出方程的解即可 得到 BC 的长,然后利用三角形的面积公式,由 AB,BC 以及 sinB 的值即可求出△ABC 的面积. 解答: 解:由 AB=
2

,AC=1,cosB=cos30°=
2 2


2

根据余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB? BCcosB,即 1=3+BC ﹣3BC, 即(BC﹣1) (BC﹣2)=0,解得:BC=1 或 BC=2, 当 BC=1 时,△ABC 的面积 S= AB? BCsinB= × 当 BC=2 时,△ABC 的面积 S= AB? BCsinB= × 所以△ABC 的面积等于 或 . × 1× = × 2× = ; ,

故选 D 点评: 此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值,是一道中档题. 7.在△ABC 中,sinAsinC>cosAcosC,则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 解三角形. 分析: 由两角差的余弦可判 B 为锐角,结合 A,C 可作出判断. 解答: 解:∵sinAsinC>cosAcosC, ∴cosAcosC﹣sinAsinC<0, 即 cos(A+C)<0, ∴cosB>0,即 B 为锐角, 但 A、C 不能判断. 故选: D

点评:[来源:学§科§网] 本题考查三角形形状的判断,涉及两角差的余弦,属基础题.

8.若△ABC 的三边 a,b,c,它的面积为 A.30° B.45° C.60° D.90° 考点: 余弦定理;三角形的面积公式. 专题: 解三角形.

,则角 C 等于(



分析: 利用余弦定理列出关系式,表示出 a +b ﹣c ,利用三角形面积表示出面积,根据题意 列出关系式,求出 tanC 的值,即可确定出 C 的度数. 解答: 解:由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC,即 a +b ﹣c =2abcosC, 由三角形面积公式得:S= absinC, ∴ absinC= >0,即 tanC= ,
2 2 2 2 2 2

2

2

2

则角 C 等于 30°. 故选 A 点评: 此题考查了余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

9.在△ABC 中,若

,则△ABC 是(



A.有一内角为 30°的直角三角形[来源:学科网] B.等腰直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形 D.等边三角形 考点: 三角形的形状判断;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由题中等式结合正弦定理,算出 A=B= 角形. 解答: 解:∵ ∴结合正弦定理 因此 tanA=1,可得 A= , ,可得 sinA=cosA, .同理得到 B= ,由此可得△ABC 是以 C 为直角的等腰直角三

∴△ABC 是以 C 为直角的等腰直角三 角形 故选:B 点评: 本题给出三角形的边角关系式,判断三角形的形状.着重考查了正弦定理、同角三角 函数的关系和三角形的形状判断等知识点,属于基础题. 10. 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与 B 的距离为( ) A. a km B.a km C. a km D.2a km

考点: 专题: 分析: 解答:

解三角形的实际应用. 计算题;解三角形. 先根据题意求得∠ACB,进而根据余弦定理求得 AB. 解:依题意知∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°, = .

在△ABC 中,由余弦定理知 AB= 即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 故选 A km.

点评: 本题给出实际应用问题,求海洋上灯塔 A 与灯塔 B 的距离.着重考查了三角形内角和 定理和运用余弦定理解三角形等知识,属于基础题. 二、填空题 11.在△ABC 中,已知 c=2acosB,则△ABC 的形状为 等腰三角形 . 考点:[来源:学科网] 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可求得 sin(A﹣B) =0 ,根据﹣π<A﹣B<π,故 A﹣B=0,从而得到△ABC 的形状为等腰三角形. 解答: 解:由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴sin(A﹣B)=0,又﹣π<A﹣B<π,∴A﹣B=0,故△ABC 的形状为等腰三角形, 故答案为等腰三角形. 点评: 本题考查正弦定理的应用,已知三角函数值求角的大小,得到 sin(A﹣B)=0,是解 题的关键.

12.在锐角△ABC 中,若 C=2B,则 的范围是



考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 由已知 C=2B 可得 A=180°﹣3B,再由锐角△ABC 可得 B 的范围,由正弦定理可得, .从而可求 解答: 解:因为锐角△ABC 中,若 C=2B 所以 A=180°﹣3B



∴30°<B<45° 由正弦定理可得, ∵ ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查了三角形的内角和定理,正弦定理在解三角形的应用.属于基础试题.

13.在△ABC 中,a=1,b=2,cosC= ,则 c=

2 ;sinA=



考点: 余弦定理. 专题:[来源:学科网 ZXXK] 解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,将 a,b,以及 cosC 的值代入求出 c 的值,由 cosC 的值求 出 sinC 的值,再由 a,c 的值,利用正弦定理即可求出 sinA 的值. 解答: 解:∵在△ABC 中,a=1,b=2,cosC= , ∴由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=1+4﹣1=4,即 c=2; ∵cosC= ,C 为三角形内角, ∴sinC= = ,
2 2 2

∴由正弦定理 故答案为:2;

= .

得:sinA=

=

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本 题的关键. 14.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) ﹣c =4,且 C=60°,ab 的值为 .
2 2

考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 将(a+b) ﹣c =4 化为 c =(a+b) ﹣4=a +b +2ab﹣4,又 C=60° ,再利用余弦定理得 2 2 2 2 2 c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab 即可求得答案. 2 2 解答: 解:∵△ABC 的边 a、b、c 满足(a+b) ﹣c =4, 2 2 2 2 ∴c =(a+b) ﹣4=a +b +2ab﹣4, 2 2 2 2 2 又 C=60°,由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴2ab﹣4=﹣ab,
2 2 2 2 2 2

∴ab= . 故答案为: . 点评: 本题考查余弦定理,考查代换与运算的能力,属于基础题.

15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sinA=sinB? cosC,则 B= 若 ,则 = .



考点: 余弦定理的应用;正弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据三角形内角和定理与诱导公式,可得 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,代 入题中等式得到 cosBsinC=0.结合 sinC>0 得 cosB=0,可得 B= 和定理算出 C= ,再根据正弦定理加以计算,可得 的值. ;若 ,由三角形内角

解答: 解:∵△ABC 中,B+C=π﹣A, ∴sinA=sin(π﹣A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, ∵sinA=sinB? cosC, ∴sinBcosC+cosBsinC=sinB? cosC, 即 cosBsinC=0. 又∵△ABC 中,sinC>0, ∴cosB=0,可得 B= 若 , , , ;

则 C=π﹣A﹣B= ∴sinA= ,sinC=

可得 sinC= sinA, 由正弦定理得 c= a, ∴ = . ,

故答案为:

点评: 本题给出三角形角之间的关系式,求角 B 的大小并依此求边的比值.着重考查了三角 形内角和定理、两角和的正弦公式和正弦定理等知识,属于中档题. 三、解答题 16.在△ABC 中,已知 a=2 ,b=6,A=30°,求 B 及 S△ABC.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;分类讨论.[来源:学科网] 分析: 直接利用正弦定理,结合 A 的值,求出 B 的值,利用三角形的面积公式求出面积即可. 解答: 解:在△ABC 中,由正弦定理 ∴sinB= sinA= ? = . = 得,

又 A=30°,且 a<b, ∴B>A. ∴B=60°或 120°.[来源:Z#xx#k.Com] ①当 B=60°时,C=90°, △ABC 为直角三角形, S△ABC= ab=6 .

②当 B=120°时,C=30°, △ABC 为等腰三角形, S△ABC= absinC=3 .

点评: 本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法,注意分类讨论思想的应用,考查计算能 力. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b=3,c=8,角 A 为锐角,△ABC 的面积为 6 . (1)求角 A 的大小; (2)求 a 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由三角形面积公式和已知条件求得 sinA 的值,进而求得 A. (2)利用余弦定理公式和(1)中求得的 A 求得 a. 解答: 解: (1)∵S△ABC= bcsinA= ×3×8×sinA=6 ∴sinA= , ,

∵A 为锐角, ∴A= . = =7.

(2)由余弦定理知 a=

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.考查了学生对三角函数基础公式的熟练 记忆和灵活运用.

18.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cosB= ,b=2.

(1)当 A=

时,求 a 的值;

(2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用同角三角函数的基本关系式,求出 sinB,利用正弦定理求出 a 即可. (2)通过三角形的面积求出 ac 的值,然后利用余弦定理即可求出 a+c 的值. 解答: 解: (1)∵ 由正弦定理得 ,∴ .…(2 分) .…(4 分)



.…(6 分) , .…(8 分)
2 2 2

(2)∵△ABC 的面积 ∴

由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB,…(9 分) 得 4=
2 2

,即 a +c =20.…(10 分)

2

2

∴(a+c) ﹣2ac=20, (a+c) =40,…(11 分) ∴ .…(12 分) 点评: 本题考查同角三角函数的基本关系式的应用,正弦定理与余弦定理的应用,考查计算 能力.

19.在△ABC 中,已知 AC=2,BC=3,cosA=﹣ . (Ⅰ)求 sinB 的值; (Ⅱ)求 sin(2B+ )的值.

考点: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: (1)利用 cosA,求得 sinA,进而根据正弦定理求得 sinB. (2)根据 cosA 小于 0 判断 A 为钝角,从而角 B 为锐角,进而根据 sinB 求得 cosB 和 cos2B, 进而利用倍角公式求得 sin2B,最后根据两角和公式求得答案. 解答: (Ⅰ)解:在△ABC 中, ,由正弦定理,



所以 (Ⅱ)解:∵

. ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,







. = .

=

点评: 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识, 考查基本运算能力

20.如图,在△ABC 中,∠B= (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长.

,AB=8,点 D 在边 BC 上,且 CD=2,cos∠ADC= .

考点: 余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. 解答: 解: (1)在△ABC 中,∵cos∠ADC= , ∴sin∠ADC= = = = , × ﹣ = .

则 sin∠BAD=sin (∠ADC﹣∠B) =sin∠ADC? cosB﹣cos∠ADC? sinB=

(2)在△ABD 中,由正弦定理得 BD=

=



在△ABC 中,由余弦定理得 AC =AB +CB ﹣2AB? BCcosB=8 +5 ﹣2×8×

2

2

2

2

2

=49,

即 AC=7. 点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难 度不大.[来源:Zxxk.Com]

21.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ )海里的两个观测点,现位于 A 点北偏 东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相 距 20 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题. 分析: 先根据内角和求得∠DAB 和,∠DBA 及进而求得∠ADB,在△ADB 中利用正弦定理求得 DB 的长,进而利用里程除以速度即可求得时间. 解答: 解:由题意知 AB=5(3+ )海里, ∠DBA=90°﹣60°=30°,∠DAB=90°﹣45°=45°, ∴∠ADB=180°﹣(45°+30°)=105°, 在△ADB 中,有正弦定理得 ∴DB= = = =10

又在△DBC 中,∠DBC=60° DC =DB +BC ﹣2×DB×BC×cos60°=900 ∴DC=30 ∴救援船到达 D 点需要的时间为 =1(小时)
2 2 2

答:该救援船到达 D 点需要 1 小时.

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用. 考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.


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