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2017届高考数学二轮复习第2部分专题三概率与统计1概率课件文


类型一 类型二

类型三 限时规范训练

专题三

概率与统计


必考点一 概

类型一 [例 1]

学会踩点

(本题满分 12 分)某中学调查了某班 45 名同学参加书法社

团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)

参加书法 社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 8 2

未参加书法社团 5 30

(1)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概 率; (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同 学 A1,A2,A3,A4,A5,3 名女同学 B1,B2,B3.现从这 5 名男同学 和 3 名女同学中各随机选 1 人, 求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率.

解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的 有 30 人, 故至少参加上述一个社团的共有 45-30=15(人), (2 分) 所以从该班随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概 15 1 率为 P=45=3.(4 分) (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的 结果组成的基本事件有:

{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1} ,{A2,B2} ,{A2,B3} , {A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3}, {A5,B1},{A5,B2},{A5,B3} 共 15 个.(9 分) 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有{A1,B2}, {A1,B3}共 2 个.(11 分) 2 因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P=15.(12 分)

评分细则:得分点及踩点说明 8+5+2 1 30 1 (1)用对立事件“1-45=3”或“ 45 =3”,同样得分;但无 1 计算过程,直接得“p=3”扣 2 分; (2)第(2)问中,列举及总个数出错,以下过程皆不得分; (3)第(2)问没列举基本事件,用“5×3=15”表示基本事件总数仍 可得该步分; 2 (4)第(2)问中,没有解题过程,只得“P=15”,只给 1 分.

1.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18.现采 用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛. (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (2)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5, A6,现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛. ①用所给编号列出所有可能的结果; ②设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽 到”,求事件 A 发生的概率.

解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3,1,2. (2)①从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果 为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3}, {A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6}, {A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结 果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3, A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 9 种. 9 3 因此,事件 A 发生的概率 P(A)=15=5.

类型二 [例 2]

学会审题

(2016· 高考全国甲卷)某险种的基本保费为 a(单位: 元), 继

续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上 年度出险次数的关联如下:

上年度出险次数 保 费

0 0.85a

1 a

2 1.25a

3 1.5a

4 1.75a

≥5 2a

随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如 下统计表:

出险次数 频 数

0 60

1 50

2 30

3 30

4 20

≥5 10

(1)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求 P(A)的估计值; (2)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于 基本保费的 160%”,求 P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.

审题路线图

[规范解答]

(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所

60+50 给数据知, 一年内出险次数小于 2 的频率为 200 =0.55, 故 P(A) 的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数 30+30 据知,一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 =0.3,故 200 P(B)的估计值为 0.3.

(3)由所给数据得 保费 0.85a 频率 0.30 a 0.25 1.25a 1.5a 1.75a 0.15 0.15 0.10 2a 0.05

调 查 的 200 名 续 保 人 的 平 均 保 费 为 0.85a×0.30 + a×0.25 + 1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.

2.某市政府为加快新能源汽车产业的发展,推进节能减排,计划 对购买新能源汽车的消费者给予适当补贴,于是委托某调查公司 对该市汽车市场的纯电动乘用车的续驶能力利用分层抽样的方法 进行调查.从全市 M 辆纯电动乘用车中选取了 n 辆,已知全市有 1 300 辆纯电动乘用车的续驶能力大于 250 km,抽样调查结果的 统计表如下:

续驶能力 k(单位:km) k<100 100≤k≤250 k>250 (1)求 x,y,m,n 及 M 的值;

频数 3 4 m

频率 x 0.2 y

(2)若从样本中续驶能力不大于 250 km 的纯电动乘用车中任选 2 辆, 求选取的 2 辆纯电动乘用车的续驶能力都不低于 100 km 的概 率.

4 解:(1)由统计表格得样本容量 n=0.2=20. 3 m 13 m=20-(3+4)=13,故 x=20=0.15,y=20=20=0.65. M 1 300 M 1 300 由分层抽样的特点可知 n = m ,即20= 13 ,解得 M=2 000. (2)由表格可知, 样本中续驶能力不大于 250 km 的纯电动乘用车共 有 7 辆, 其中续驶能力 k<100 的有 3 辆,分别记为 A,B,C,续驶能力 k ∈[100,250]的有 4 辆,分别记为 a,b,c,d.

从中任选 2 辆,不同的结果有 {A,B},{A,C},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},{B,C}, {B,a},{B,b},{B,c},{B,d},{C,a},{C,b},{C,c}, {C,d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共 21 个基本事件.

记“选取的 2 辆纯电动乘用车的续驶能力都不低于 100 km”为事 件 N,则 N 包含的不同结果为 {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共 6 个基本 事件. 6 2 所以所求事件的概率 P(N)=21=7.

类型三 [例 3]

学会规范

(本题满分 12 分)一个袋中装有 4 个形状大小完全相同的小

球,小球的编号分别为 1、2、3、4,甲、乙、丙依次有放回地随 机抽取 1 个小球,取到小球的编号分别为 a,b,c. (1)在一次抽取中,若有两人抽取的编号相同,则称这两人为“好 朋友”,求甲、乙两人成为“好朋友”的概率; (2)求丙抽取的编号能使方程 a+b+2c=6 成立的概率.

[考生不规范示例] 1 解:(1)甲、乙两人同时抽到相同号只有 4 种,其概率为4. (2)若 c=1,则 a+b=4,有 3 种情况,若 c=2,则 a+b=1,有 4 1 1 种情况,总数为 64,∴概率 P= = . 64 16

[规范解答]

(1)将甲、乙依次取到小球的编号记为(a,b),则基本

事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、 (3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4),共 16 个.(3 分) 记“甲、乙两人成为‘好朋友’”为事件 M,则 M 包含的情况有 (1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4),共 4 个,故甲、乙两人成为“好朋友” 4 1 的概率 P(M)=16=4.(6 分) (2)将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为(a,b,c),则基本事件 有 64 个.(8 分)

记“丙抽取的编号能使方程 a+b+2c=6 成立”为事件 N,当丙 抽取的编号 c=1 时,a+b=4,∴(a,b)分别为(1,3)、(2,2)、(3,1), 当丙抽取的编号 c=2 时,a+b=2,∴(a,b)为(1,1), 当丙抽取的编号 c=3 或 c=4 时,方程 a+b+2c=6 不成立. 综上,事件 N 包含的基本事件有 4 个,(11 分) 4 1 ∴P(N)=64=16.(12 分)

[终极提升]——登高博见 (1)解答有关古典概型的概率问题,关键是正 确求出基本事件总数和所求事件包含的基本 事件数. (2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本 事件的构成, 这样才能保证所求事件所包含的 基本事件个数的求法与基本事件总数的求法 的一致性.


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