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2016年重庆市兼善中学人教版数学高二(下)第一次阶段性考试题 数学(文)试题及参考答案


高二(下)数学(文)第一次阶段性考试题
秘密★启用前 数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 请认真作答,沉着冷静! 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U ? x ? N ? x ? 6 ,集合 A ? ? 1, 3?, B ? ?3 , 5? ,则 CU ( A ? B) ? (

?



?



1 , 4? 1, 5? A. ? B. ? C. ?2 , 4? D. ?2 , 5? 2. 已知 i 是虚数单位, 复数 z ? (m ? 1)( m ? 2) ? (m ? 2)i ,m ? R 。 若 z 是纯虚数, 则 m ?( ) A.1 B.2 C .1 或 2 D.1 或 ? 2 3.下面是一段“三段论”推理过程: 对于可导函数 f ( x) , 如果 f ?( x0 ) ? 0 , 那么 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点。 因为函数 f ( x) ? x 3
在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是函数 f ( x) ? x 3 的极值点。以上推理中( ) A.结论正确 B.推理形式错误 C.小前提错误 D.大前提错误 4.有一串彩旗,▼代表蓝色,▽代表黄色。两种彩旗排成一行如下图所示: ▽▼▽▼▼▽▼▽▼▼▽▼▽▼▼……那么在前 200 个彩旗中有( )个黄旗。 A.78 B.80 C.82 D.84 5.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于 60°”时, 正确的反设是( ) A.假设三个内角至多有两个大于 60° B.假设三个内角都大于 60° C.假设三个内角都不大于 60° D.假设三个内角至多有一个大于 60° 6.下列说法错误 的是( ) .. A.命题“若 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,则 x ? 3 ”的逆否命题是:“若 x ? 3 ,则 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ” B.“ x ? 1 ”是“ x ? 0 ”的充分不必要条件 C.若 p 且 q 为假命题,则 p、 q 均为假命题 D.命题 p : “ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”,则 ? p : “ ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 7.在独立性检验中,统计量 ? 2 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 ? 2 ? 3.841 时,有 95%的把 握说明两个事件有关, 当 ? 2 ? 6.635 时, 有 99%的把握说明两个事件有关, 当 ? 2 ? 3.841 时, 认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 2000 人,经计算得 ) A.有 95%的把握认为两者有关 B.约有 95%的打鼾者患心脏病 C.有 99%的把握认为两者有关 D.约有 99%的打鼾者患心脏病 8.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出 S 的值是( ) 开始 A.100 B.102 C.10 D.12 S=0 9.已知 p : 2 x ? 1 ? 5 , q : x 2 ? 4 x ? 4 ? 9m 2 ? 0 ( m ? 0) ,若 ? p 是 ? q 的充分 而不必要条件,则实数 m 的取值范围是( ? 1? ? 1? ? 4? A.? 0 , ? B.? 0 , ? C.? 0 , ? ? 3? ? 3? ? 3? ) i=1

? 2 ? 20.87 ,根据这一数据分析,认为打鼾与患心脏病之间(

? 4? D.? 0 , ? ? 3?

是 输出 S 结束 (8 题)

10. 已知函数 f ( x) ? mx 3 ? nx 2 的图象在点 (?1 , 2) 处的切线恰好 与直线 3x ? y ? 0 平行,若 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上单调递减,则实 数 t 的取值范围为( A. (?2 , ? ) ) B. [?2 , ? ]

i>100 否 S=S+2 i=2i+1

3 2

3 2

C. (?2 , ? 1)

D. ?? 2 , ? 1?

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 i 是虚数单位,复数 z ? ?1 ? 3i ,则复数 z 的模 z ? 12.甲、乙两人同时应聘一个工作岗位,若甲、乙被应聘的概率分别为 0.5 和 0.6 ,两人被聘用 是相互独立的,则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率为 13.已知不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集是 [? , ? ] ,则不等式 x 2 ? bx ? a ? 0 的解集用区间表 示是 满足 f (a) ? 3 ,则 f (a ? 5) 的值为 x ?3 ?2 ? 1, x ? 3 15.函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? 2ax ? 2) 在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(共 75 分) 2 16.(13 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值. 3 (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间. 14.已知函数 f ( x) ? ?

1 2

1 3

?log2 ( x ? 1), x ? 3

17. (13 分)栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成 苗的概率分别为 0.6,0.5,移栽后成活的概率分别为 0.7,0.9. (1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗 的概率; .. (2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率.

18. (13 分)一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的转速(转速大于 0)生产出 来的某机械零件有一些会有缺陷, 每小时生产有缺陷零件的多少, 随机器的运转的速度而变化, 下表为抽样试验的结果: 转速 x (转/秒) 2 4 5 6 8 每小时生产有缺陷的零件数 y (件) 30 40 60 50 70 (1)如果 y 对 x 具有线性相关关系,求回归直线的方程; (2)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为 89 个,那么机器的运转速度应 控制在什么范围内?
n

(参考公式: b ?

?x y
i i ?1 n

i 2

? nx ? y
, a ? y ? bx )

?x
i ?1

i

? nx

2

19.(12 分) (1) i 是虚数单位,若复数 z ? 应的点的坐标;

15 ? 5i ,且 ? ? z 2 ? 3z ? 1 ,求 ? 在复平面中所对 (2 ? i ) 2

(2) i 是虚数单位,若复数 z 满足方程 z ? z ? 2 zi ? 1 ? 2i ,求复数 z 。

20.(12 分)若函数 f ( x) ? 为集合 B (1)求 A ? (C R B) ;

6 ? 1 的定义域为集合 A ,函数 g ( x) ? lg(? x 2 ? 2x ? 3) 的定义域 x ?1

(2)若集合 C ? x 2m ? 1 ? x ? m ? 1 ,且 B ? C ? C ,求实数 m 的取值范围。

?

?

21. (12 分)设函数 f ( x) ? x ln x ?

(1)当 a ? 2 时,求函数在 x ? 1 处的切线方程; (2)函数 f ( x) 在 x ? (0 , e) 时有两个极值点,求实数 a 的取值范围。

a 2 x ; 2

高二(下)数学(文科)第一次阶段性考试题 参考答案
一、选择题 C A D B B 二、填空题 11. 10 三、解答题 16.【解】 (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ……………………2 分 12. 0 .7 CCDAD 13. ( 2, 3) 14.

3 2

15. [?1, 1]

12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 ,解得 a ? ? , b ? ?2 。……6 分 9 3 2 2 ? (2)由(1)知 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) 2 2 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? 或 x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 ? ? x ? 1 ;……………………12 分 3 3 2 2 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (?? , ? ) 和 (1, ? ?) ;单调减区间为 (? , 1) 。……………13 分 3 3 17. 【解】分别记甲、乙两种果树成苗为事件 A1 , A2 ;分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事 件 B1 , B2 ,从而有 P( A1 ) ? 0.6, P( A2 ) ? 0.5, P( B1 ) ? 0.7 , P( B2 ) ? 0.9 。
由题意得 f ?(? ) ? (1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 P( A1 ? A2 ) ? 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? 0.4 ? 0.5 ? 1 ? 0.2 ? 0.8 ;……………………6 分 (2)解法一:分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A, B P( A) ? P( A1 B1 ) ? 0.6 ? 0.7 ? 0.42 , P( B) ? P( A2 B2 ) ? 0.5 ? 0.9 ? 0.45 ,……………10 分 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 P( AB ? AB) = 0.58 ? 0.45 ? 0.42 ? 0.55 ? 0.492 …………………13 分 解法二:恰好有一种果树栽培成活的概率为

2 3

P( A1 B1 A2 ? A1 B1 A2 B2 ? A1 A2 B2 ? A1 A2 B1 B2 ) ? 0.492
18. 【解】 (1)计算得 x ? 5 , y ? 50 ,

?
i

5

xi yi ? 1380 ,

?
i

5

2

xi ? 145 ……………4 分

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ?x ? 17.5 …………………8 分 ? ? y ?b ? 6.5 , a 145 ? 5 ? 5 ? 5 ? ? 6.5 x ? 17.5 ∴回归直线方程为: y …………………9 分 ?? ∴b
(2)要满足 6.5 x ? 17.5 ? 89 ,解得 0 ? x ? 11 故机器的运转速度应控制在 ?0 , 11? 的范围内。…………………13 分 19. 【解】 (1)化简得 z ? 1 ? 3i , ? ? z 2 ? 3z ? 1 ? (1 ? 3i) 2 ? 3(1 ? 3i) ? 1 ? ?6 ? 3i …………6 分 (2) 设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 (a ? bi)(a ? bi) ? 2i(a ? bi) ? 1 ? 2i , 即 a ? b ? 2b ? 2ai ? 1 ? 2i 。………………8 分
2 2

?? 2a ? 2 ?a1 ? ?1 ?a 2 ? ?1 由? 2 得 或? ,? z ? ?1或z ? ?1 ? 2i 。…………12 分 ? 2 b ? ? 2 ?a ? b ? 2b ? 1 ?b1 ? 0 ? 2
6 ?x?5 ? x?5 ?1 ? ,由 ?0, x ?1 x ?1 x ?1 得 f ( x) 的定义域 A ? ?? 1,5? ; …………………2 分
对函数 g ( x) ? lg(? x 2 ? 2x ? 3) ,由 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 得 g ( x) 的定义域 B ? ?? 1,3? , …………………4 分

20. 【解】 (1)对函数 f ( x) ?

C R B ? ?? ?,?1? ? ?3,?? ? ,所以 A ? (C R B) ? ?3,5? …………………6 分 (2) B ? C ? C ? C ? B …………………7 分 当 C ? ? 时, 2m ? 1 ? m ? 1 ,解得 m ? 2 ;…………………9 分

?2 m ? 1 ? m ? 1 ? 当 C ? ? 时,要使 C ? B ,需 ?m ? 1 ? 3 ,解得 0 ? m ? 2 …………………11 分 ?2m ? 1 ? ?1 ?
综上, m 的取值范围为 ?0 , ? ? ? 。…………………12 分 21. 【解】 (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ln x ? x 2 所以 f (1) ? -1 f ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 ,则 f ?(1) ? -1 ,故切线方程为 y ? ?x (2)由 f ( x) ? x ln x ?

…………………4 分

由题意知 f ?( x) ? 0 在(0,e)内有两个根,…………………5 分 令 g ( x) ? ln x ? ax ? 1 ,即函数 g ( x) 在(0,e)内有两个零点,而 g ?( x) ? 当 a ? 0 时, g ?( x) ?

a 2 x 则 f ?( x) ? ln x ? ax ? 1 , 2

1 ?a, x

1 ? a >0 恒成立, x 则 g ( x) ? ln x ? ax ? 1 在 x ? (0, e) 内单调递增,不可能有两个零点; 1 1 1 当 0 ? a ? 时, ? e ,则 g ?( x) ? ? a ? 0 在(0,e)内恒成立, e a x 则 g ( x) ? ln x ? ax ? 1 在 x ? (0, e) 内单调递增,不可能有两个零点;…………7 分 1 1 1 当 a ? 时,则令 g ?( x) ? ? a ? 0 ,存在 x0 ? ? (0, e) e x a 1 1 1 (0 , ) ( , e) x a a a
g ?( x)
g ( x)

?


0 极大值 ln



1 a



因为 g ( x) ? ln x ? ax ? 1 ,而当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? , 故函数 g ( x) 在(0,e)内有两个零点,只需 g (e) ? 2 ? ae ? 0 , g ( ) ? ln 解得

1 a

1 ? 0, a

2 ? a ?1, e 2 e
…………………………12 分

综上所述,实数 a 的取值范围为 ( , 1) 。


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