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数学竞赛教案讲义(14)——极限与导数


第十四章

极限与导数

一、基础知识 1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|<ε 成立(A 为常数) ,则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为
x ? ??

lim f ( x), lim

f ( x) ,另外 lim f ( x) =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,称右 ?
x ? ??

x ? x0

f ( x) 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。 极限。类似地 lim ?
x ? x0

2

极 限的 四 则运 算 :如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b , 那么 lim [f(x) ± g(x)]=a ± b,
x ? x0 x ? x0 x ? x0

x ? x0

lim [f(x)?g(x)]=ab, lim
x ? x0

f ( x) a ? (b ? 0). g ( x) b
x ? x0 x ? x0

3.连续: 如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义, 且 lim f(x)存在, 并且 lim f(x)=f(x0), 则称 f(x) 在 x=x0 处连续。 4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在[a,b]上有最大值 和最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δ x 时(Δ x 充分 小) ,因变量 y 也随之取得增量Δ y(Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)).若 lim

?y 存在,则称 f(x)在 x0 ?x ?0 ?x

处可导, 此极限值称为 f(x)在点 x0 处的导数 (或变化率) , 记作 f ' (x0)或 y ' x ? x0 或

dy dx


x0

即 f ' ( x0 ) ? lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x 0 ) 。由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必要条件。 x ? x0

若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是: f(x)在点 x0 处导数 f ' (x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。 6.几个常用函数的导数: (1) (c )' =0(c 为常数) ; (2) ( xa )' ? axa?1 (a 为任意常数) ; ( 3)

(sin x)' ? cos x; (4) (cos x)' ? ? sin x ;(5) (a x )' ? a x ln a ;(6) (e x )' ? e x ; ( 7 )

(loga x)' ?

1 1 log a x ; (8) (ln x )' ? . x x

7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 ( 1 ) [u( x) ? v( x)]'? u' ( x) ? v' ( x) ; ( 2 ) [u( x)v( x)]'? u' ( x)v( x) ? u( x)v' ( x) ; (3)

[cu( x)]'? c ? u' ( x) [ (c 为常数) ; (4)

1 ? u ' ( x) u ( x) u ( x)v' ( x) ? u ' ( x)v( x) ]' ? 2 [ ]' ? ; (5) 。 u ( x) u ( x) u ( x) u 2 ( x)

8.复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= ? (x),已知 ? (x)在 x 处可导,f(u)在对应的点

u(u= ? (x))处可导, 则复合函数 y=f[ ? (x)]在点 x 处可导, 且 (f[ ? (x)] )' = f '[? ( x)]? ' ( x) . 9.导数与函数的性质: (1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续; (2)若对一切 x ∈(a,b)有 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递增; (3)若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递减。 10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 f ' ( x0 ) ? 0. 11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0-δ ,x0+δ )内可导, (1)若当 x∈(x-δ ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2) 若当 x∈(x0-δ ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大 值。 12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ ,x0+δ )内一阶可导,在 x=x0 处二阶 可导,且 f ' ( x0 ) ? 0, f ' ' ( x0 ) ? 0 。 (1)若 f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2) 若 f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。 13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使 f ' (? ) ? 0. [证明] 若当 x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意 x∈(a,b), f ' ( x) ? 0 .若当 x∈(a,b)时, f(x)≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续,所以 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个 不等于 f(a), 不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m, 则 c∈(a,b), 且 f(c)为最大值, 故 f ' (c) ? 0 , 综上得证。 14.Lagrange 中值定理:若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ ∈(a,b),使

f ' (? ) ?

f (b) ? f (a ) ( x ? a ) ,则 F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 b?a f (b) ? f (a) . F(a)=F(b),所以由 13 知存在ξ ∈(a,b)使 F ' (? ) =0,即 f ' (? ) ? b?a
[证明] 令 F(x)=f(x)15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数, (1)如果对任意 x∈ I, f ' ' ( x) ? 0 ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的; (2) 如果对任意 x∈I, f ' ' ( x) ? 0 ,则 y=f(x) 在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 + 16.琴生不等式:设α 1,α 2,…,α n∈R ,α 1+α 2+…+α n=1。 (1)若 f(x)是[a,b]上的凸函 数,则 x1,x2,…,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+…+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn). 二、方法与例题 1.极限的求法。

f (b) ? f (a) . b?a

例 1

求下列极限: ( 1 ) lim?

an 2 n ? ? 1 lim (a ? 0) ; ; ( 2 ) (3) ? ? ? ? ? n ?? 1 ? a n n ?? n 2 n2 n2 ? ?

? 1 ? 1 1 ?; n ( n ? 1 ? n ). lim? ? ? ? ? ? (4) lim 2 2 2 n ??? n ?? n ?2 n ?n? ? n ?1

例 2 求下列极限: (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x )…(1+ x )(|x|<1);
n??

22

2n

(2) lim?

1 ? x2 ?1 ? 3 ; ( 3 ) 。 ? lim ? x ?1 1 ? x 3 x ?1 1? x ? 3 ? x ? 1? x ?

2.连续性的讨论。 例 3 设 f(x) 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 内有定义,且恒满足 f(x+1)=2f(x) ,又当 x ∈ [0,1) 时, 2 f(x)=x(1-x) ,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

4.导数的计算。 例 5 求下列函数的导数: (1)y=sin(3x+1); (2) y ?
x (5)y=(1-2x) (x>0 且 x ? y ? ln(x ? x 2 ? 1) ;

5 x 2 ? 3x ? x cos2x ; (3)y=e ; (4) x

1 )。 2

5.用导数讨论函数的单调性。 例 6 设 a>0,求函数 f(x)=

x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。

6.利用导数证明不等式。 例 7 设 x ? (0,

?
2

) ,求证:sinx+tanx>2x.

7.利用导数讨论极值。 2 例 8 设 f(x)=alnx+bx +x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值, 试求 a 与 b 的值, 并指出这时 f(x) 在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。

例 9 设 x∈[0,π ],y∈[0,1],试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。

三、基础训练题 1. lim

2 n ?1 ? 3 n ?1 =_________. n ?? 2 n ? 3 n

? n2 ?1 ? 2.已知 lim? ? an ? b ? ? ? ? 2 ,则 a-b=_________. n ?? n ? 1 ? ?
1 ? cos
3. lim
n ??

?

3x ? 4 x ? 1 2(n ? 1) ? lim ? _________. 3 n ? ? n 3x ? 2 x 2 ? 2

3 2

4. lim
x ?1

x n?1 ? (n ? 1) x ? n ? _________. ( x ? 1) 2

5.计算 lim

2 ? (?1) n ? lim ( x 2 ? 1 ? x 2 ? 1) ? _________. n ?? x ??? n

6.若 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且 f ' (0) 存在,则 f ' (0) ? _________. 7.函数 f(x)在(-∞,+∞)上可导,且 f ' (2) ? 1,则 lim
h ?0

f ( 2 ? h) ? f ( 2 ? h) ? _________. 2h

8.若曲线 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 坐标为_________. 9.函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________. 10.函数 f ( x) ? ln

1? x2 的导数为_________. 1? x2

11.若曲线 y ?
0

1 1 1 在点 M ( 2, ) 处的切线的斜率为 ,求实数 a. 2 4 4 ( x ? ax)
2

12.求 sin29 的近似值。 13.设 0<b<a<

? sin a a tan a ? ? . ,求证: 2 sin b b tan b

四、高考水平练习题

1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?1 1.计算 lim =_________. n ?? 1 ? 3 ? 3 2 ? ? ? 3 n ?1
2.计算 lim ?

? x3 x2 ? ? ? _________. ? ? x ? ?? ? 2 x 2 ? 1 2 x ? 1 ? ?
3 2

3.函数 f(x)=2x -6x +7 的单调递增区间是_________.。 4.函数 y ?

e x ? e?x 的导数是_________. e x ? e?x

5 . 函 数 f(x) 在 x0 邻 域 内 可 导 , a,b 为 实 常 数 , 若 f ' ( x0 ) ? c , 则

f ( x ? a?x) ? f ( x0 ? b?x) lim 0 ? _________. ?x ?0 ?x
6.函数 f(x)=

1 x ? e (sinx+cosx),x x ? [0, ] 的值域为_________. 2 2

7.过抛物线 x =2py 上一点(x0,y0)的切线方程为_________. 8.当 x>0 时,比较大小:ln(x+1) _________x. 5 4 3 9.函数 f(x)=x -5x +5x +1,x∈[-1,2]的最大值为_________,最小值为_________. -x -t 10.曲线 y=e (x?0)在点 M(t,e )处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t),则 S(t)的最大值为_________. 2 2 11.若 x>0,求证:(x -1)lnx?(x-1) . 12 .函数 y=f(x) 在区间 (0,+ ∞ ) 内可导。导函数 f ' ( x) 是减函数,且 f ' ( x) >0 , x0 ∈ (0,+

2

∞ ).y=kx+m 是 曲 线 y=f(x) 在 点 (x0,f(x0)) 处 的 切 线 方 程 , 另 设 g(x)=kx+m , (1)用 x0,f(x0), f ' ( x0 ) 表示 m; (2)证明:当 x∈(0,+∞)时,g(x)?f(x); (3)若关于 x 的不等
2

式 x +1?ax+b? 的关系。

3 3 x 在(0,+∞)上恒成立,其中 a,b 为实数,求 b 的取值范围及 a,b 所满足 2 1 xn ?1

2

13.设各项为正的无穷数列{xn}满足 lnxn+ 五、联赛一试水平训练题

? 1(n ? N ? ) ,证明:xn?1(n∈N+).

1.设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0? a1 a 2 ? a n | ai 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1) ,an=1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim

Sn ? _________. n?? T n

2.若(1-2 ) 展开式的第 3 项为 288,则 lim?
x 9

n ??

1 ? ?1 1 ? 2 ? ? ? n ? ? _________. x ? ?x x

3.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为_________.
4.曲线 y ? 2 ?
+

1 2 1 x 与 y ? x 3 ? 2 的交点处的切线夹角是_________. 2 4
2 ax

5.已知 a∈R ,函数 f(x)=x e 的单调递增区间为_________.

x 2 在(a,3-a )上有最大值,则 a 的取值范围是_________. 2 1? x x 2 ? a (a ? 0) 恒成立, 7. 当 x∈(1,2]时, f(x)= 则 y=lg(a -a+3)的最小值为_________. 2x ? 1
6.已知 f ( x ) ? 8 . 已 知
-1

f(x)=ln(e +a)(a>0) , 若 对 任 意

x

x ∈ [ln(3a),ln(4a)] , 不 等 式

|m-f (x)|+ln[ f ' ( x) ]<0 恒成立,则实数 m 取值范围是_________. 9.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大值; (2)设 0<a<b,证明: 0<g(a)+g(b)- 2 g ?

?a?b? ? <(b-a)ln2. ? 2 ?

10.(1) 设 函数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1) , 求 f(x) 的 最小 值; (2)设正数 p1,p2,…, p 2 n 满足 p1+p2+p3+…+ p 2 n =1,求证:p1log2p1+p2 log2p2+…+ p 2 n log2 p 2 n ?-n.

? x ? ?b ? 11.若函数 gA(x)的定义域 A=[a,b),且 gA(x)= ? ? 1? ? ? ? 1? ,其中 a,b 为任意的正实 ?a ? ?x ?
数,且 a<b, (1)求 gA(x)的最小值; (2)讨论 gA(x)的单调性;

2

2

(3) 若 x1∈Ik=[k ,(k+1) ],x2∈Ik+1=[(k+1) ,(k+2) ], 证明: g I ( x1 ) ? g I
2 2 2 2
k

k ?1

( x2 ) ?

4 . k (k ? 1)

六、联赛二试水平训练题 1.证明下列不等式: (1) x ?

x2 x2 ? ln(x) ? x ? ( x ? 0) ; 2 2(1 ? x)

(2)

tan x x ? ?? ? , x ? ? 0, ? 。 x sin x ? 2?
ab ? bc ? cd ? d a 的最小值。 ba ? cb ? d c ? a d

2.当 0<a?b?c?d 时,求 f(a,b,c,d)= 3.已知 x,y∈(0,1)求证:x +y >1.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
y x


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