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等比数列教案


3.1 等比数列
教学过程 一.复习回顾 1、等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那 么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差, 用 d 表示。 2、等差数列的通项公式
an ? a1 ? (n ?1)d

3、等差数列通项公式推导方法 (1)归纳法
a1 ? a1 ? 0d

a2 ? a1 ? d a3 ? a1 ? 2d a4 ? a1 ? 3d


an ? a1 ? (n ?1)d

(2)叠加法
a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d


an ? an?1 ? d

以上各式相加得:
an ? a1 ? (n ?1)d

4、等差数列任意两项间的关系
an ? am ? (n ? m)d

二、引入问题 1、看课件(三个实例) 2、观察下列三个数列 ①1,2,4,8,16,32,? ②1, , , ,
1 2 1 4 1 1 1 , ,? 8 16 32

③a,1.1a,1.12a, 1.13a, 1.14a, 1.15a 上面数列有什么共同特点?

从第 2 项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数。 三、等比数列的定义 1、定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项 的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作 等比数列的公比,公比通常用字母q表示( q ? 0 )。 数学表达式
an ?1 an ? q, n ? N? ,或 ? q , n ? N? 且 n≥2 an an ?1

2、特点 ①有序性:从第 2 项起每项与它前一项的比,而不是与其它项的 比。 ②任意性:从第 2 项起任意项与它前一项的比是常数。 ③同一性:每一项与它前一项的比都是同一常数。 ④确定性:公比 q ? 0,在等比数列中没有数值为零的项。 例 1 以下数列中,哪些是等比数列?
? ,, ? , ; (1) 1, 1 1 2 4 1 1 8 16

(2)1,1,1,?,1 ; (3)1,2,4,8,12,16,20 ;
2 3 n (4) a, a , a ,?, a ;

(5)数列 ?an ? ,其通项公式为: an ? (?1)n?1 ( 3)n , n ? N? ; (6)数列 ?an ? ,其通项公式为: an ? n ? 2n , n ? N? 。 解:(1)是等比数列,公比 q ? ? ; (2)是公比为1的等比数列;
8 12 (3)因为 4 ? 8 ,所以该数列不是等比数列;

1 2

(4)当 a ? 0 时,这个数列是公比为 a 的等比数列;当 a =0时,它不

是等比数列.
(5)是等比数列。由题意得 an?1 ? (?1)n ( 3)n?1 ,则有

an?1 (?1)n ( 3)n?1 ? ? ? 3。 an (?1)n?1 ( 3)n

(6)不是等比数列。由题意得 an?1 ? (n ?1) ? 2n?1 , 则
an?1 (n ? 1) ? 2n?1 n ?1 2 ? ? 2? ? 2? , n an n?2 n n

这个比值随 n 的取值而不同,即它不恒为常数。 问题:若数列 ?an ? 满足: an?1 ? an q, n ? N? , q 为常数。 那么数列 ?an ? 是否为等比数列?为什么? 不一定是。当 an ? 0 且 q ? 0, n ? N? 时,数列 ?an ? 是等比数列。 四、等比数列的通项公式 1、 设数列 ?an ? 是首项为 a1 , 公比为 q 的等比数列, 求通项公式 an (1)不完全归纳法
由等比数列的定义知道:

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q. a1 a2 a3 an?1
从而,

a2 ? a1q, a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 , a4 ? a3q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 , ...
由此可归纳出

an ? a1qn?1

1?1 0 a ? a q ? a q ? a1 . 1 1 1 在这个公式里,如果令n=1,

这就是说,当 n ? N? 时, an ? a1qn?1 总成立。 注意:以上过程不是证明,我们以后可用数学归纳法来完成证明。

(2)叠乘法: 因为 ?an ? 是等比数列, 所以有
an a a a …, 2 ? q 。 ? q , n ?1 ? q , n ? 2 ? q , an ?1 an ? 2 an ?3 a1

将以上各式相乘,即得 an ? a1qn?1 。
由于 n=1 时,上式成立,所以 n ? N?

(3)迭代法:因为数列 ?an ? 是等比数列,所以有:
an ? an?1q ? an?2q2 ? an?3q3 ? ... ? a2qn?2 ? a1qn?1 。

? an ? a1qn?1 。
由于 n=1 时,上式成立,所以 n ? N?

2、等比数列任意两项间的关系

an ? amqn?m (n ? N? , m ? N? )
3、“知三求一”。 (1)通项公式中含有四个基本量,即首项 a1 ,公比q,项数n, 第n项 an ,若知道其中的三个,那么就可以求出另一个。 (2)两个独立条件,可求出等比数列的各项。 例 2 在等比数列 ?an ? 中。 (1) a2 ? 18 , a4 ? 8 ,求 a1 和 q ; (2) a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6 ,求 a3 。
? a1 ? 27 ?a1 ? ?27 ? a1q ? 18 ? ? 解: (1)由 ? 3 ,解得 ? 2 ,或 ? 2 。 a q ? 8 q ? q ? ? ? 1 ? ? 3 3 ? ?

(2)由 ?
1 2

? a1q 4 ? a1 ? 15
3 ?a1q ? a1q ? 6

,得

1 q2 ? 1 5 ? ,得 q ? , q =2. 2 q 2

当 q ? , a1 ? ?16 ,此时 a3 ? a1q2 ? ?4 ;

当 q ? 2 时, a1 ? 1 ,此时 a3 ? a1q2 ? 4 。

例3 在各项为负数的数列 ?an ?中,已知 2an ? 3an?1 ,且 a2 ?a5 ? (1)求通项 an ; (2)试问 ?
16 是这个等比数列中的项吗? 81

8 . 27

如果是,指明是第几项;如果不是,请说明理由. 解:(1)因为 2an ? 3an?1 ,所以 等比数列,
8 8 2 2 ,则 a1q ?a1q 4 ? ,即 a12 ?( )5 ? ( )3 . 27 27 3 3 3 3 2 2 由于数列各项均为负数, 则 a1 ? ? , 所以 an ? ? ? ( ) n ?1 ? ?( ) n ? 2 . 2 2 3 3 16 (2)设 an ? ? , 由等比数列的通项公式得 81 16 2 n?2 ? ? ?( ) , 81 3 2 2 ( )4 ? ( )n?2 . 即 3 3 2 an ?1 2 ? . 故数列 ?an ? 是公比 q ? 的 3 an 3

又 a2 ?a5 ?

根据指数函数的性质,有 4 ? n ? 2,即n ? 6. 因此, ?
16 是这个等比数列的第6项. 81

例 4 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S n ? (an ? 1) ( n ? N? ) 。 (1)求 a1, a2 ; (2)求证:数列 ?an ? 是等比数列. 解: (1)由 S1 ? (a1 ? 1), 得 a1 ? (a1 ? 1),
3 3 1 3 1 3 1 ? a1 ? ? . 2
1 4

1 3

1 1 又 S2 ? (a2 ? 1), 即 a1 ? a2 ? (a2 ? 1), 得 a2 ?

(2)当 n≥2 时,
1 an ? sn ? sn?1 ? 1 3 ? an ?1? ? 3 ? an?1 ? 1? ,



an 1 ?? , an ?1 2
1 2 1 2

所以 ?an ? 是首项为 ? ,公比为 ? 的等比数列. 例5 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求 an 。

分析 从 an ? 3an?1 ? 2 中可以看出 ?an ? 并非等比数列但是可以想办法构 造一个新的与 an 有关的等比数列。 解法一: 设 an ? ? ? 3(an?1 ? ? ) ,an ? 3an?1 ? 2? , 对比 an ? 3an?1 ? 2 , 得 ? ? 1。 于是,得 an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) 。数列 ?an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 3 为公 比的等比数列。所以有 an ? 2? 3n?1 ?1 。 解法二:由已知递推式,得 an?1 ? 3an ? 2 , an ? 3an?1 ? 2 ( n ? 2 ) 。 上述两式相减,得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) 。 因此,数列 ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 4 为首项,以 3 为公比的等比数列。 所以 an?1 ? an ? 4? 3n?1 ,即 3an ? 2 ? an ? 4? 3n?1 。 所以 an ? 2? 3n?1 ?1 。

五、归纳小结 1、等比数列的定义 如果一个数从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比, 用 q 表示。 用数学式子表示为:
an ?1 ?q an

n ? N?

2、等比数列的通项公式 an ? a1qn?1 3、等比数列通项公式的推导方法 (1)归纳法 (2)叠乘法

(3)迭代法 4、等比数列任意两项间的关系

an ? amqn?m (n ? N? , m ? N? )
六、课后作业 极品作业本。P17 1—9,14,15,16.


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