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2016年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2016 年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 M={x|﹣1<x<2},集合 N={x|x(x+2)<0},则 M∪N=( ) A. (﹣2,2)B. (﹣1,0)C.RD.? 2.已知 i 是虚数单位,复数 z=(a+i) (1﹣i) ,若 z 的实部与虚部相等,则实数 a=( A.1B.0C.﹣1D.﹣2 3.函数 f(x)=2sin(2x+ A.关于直线 x= C.关于点( )的图象( ) 对称



对称 B.关于直线 x=﹣

,0)对称 D.关于点(π,0)对称 }

4. 已知数列{an}是公比为 2 的等比数列, 数列{bn}是公差为 3 且各项均为正整数的等差数列, 则数列{a 是( ) A.公差为 5 的等差数列 B.公差为 6 的等差数列 C.公比为 6 的等比数列 D.公比为 8 的等比数列 5.运行如图的程序框图,则输出 s 的值为( )

A.

B.

C.

D. )

6.命题“空间两直线 a,b 互相平行”成立的充分条件是( A.直线 a,b 都平行于同一个平面 B.直线 a 平行于直线 b 所在的平面 C.直线 a,b 都垂直于同一条直线 D.直线 a,b 都垂直于同一个平面 7.已知 cos( A. B. ﹣α)= C.﹣ D. ,则 sin(

)=(



8.投掷一颗骰子两次,将得到的点数依次记为 a,b,则直线 ax﹣by=0 的倾斜角大于 A. B. C. D.
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的概率为(



9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.64+8πB.48+12πC.48+8πD.48+12π 10.已知左、右焦点分别是 F1,F2 的双曲线 |AF1|=3|AF2|,则该双曲线的渐近线方程为( A.y=± xB.y=± xC.y=± xD.y=± ) x 、 、 ,则该三棱锥的外接球 上一点 A 满足 AF1⊥AF2,且

11.三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别是 的体积是( A. πB. ) πC. πD.8 π

12.已知函数 f(x)= 围是( )

的图象上有两对关于坐标原点对称的点,则实数 k 的取值范

A. (0,1)B. (0, )C. (0,+∞)D. (0,e)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.函数 f(x)=2cosx+1 的图象在点 x= 处的切线方程是 . .

14.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f( )<f(1)的实数 x 的取值范围是 15.在△ ABC 中,AB=2,AC=3, =1,则 BC= .

16.若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的取值范围



三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=3
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(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn= ﹣ ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC,AB1⊥平面 A1CD,AC⊥BC,D 为 AB 中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 AA1B1B; (Ⅱ)AA1=1,AC=2,求三棱锥 C1﹣A1DC 的体积.

19.46.某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, (阴影部分 为破坏部分)其可见部分如下,据此解答如下问题:

(Ⅰ)计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (Ⅱ)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份 的分数在[90,100]之间的概率; (Ⅲ)根据频率分布直方图估计这次测试的平均分. 20.如图,已知椭圆 C1: + =1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c、0) , (0,b)的

直线的距离为 λc(λ∈(0,1) ,垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C1 及圆 C2:x2+y2=a2 均有两个交点,这四个交 点按其坐标从大到小分别为 A、B、C、D (Ⅰ)当 λ= 时,求 的值;

(Ⅱ)设 N(a,0) ,若存在直线 l 使得 BO∥AN,证明:0<λ< .

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21.设函数 f(x)=

(a∈R) .

(Ⅰ)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 a≤2 时,证明:对任意 x∈[0,+∞) ,f(x)≤x+1 恒成立. 请考生再 22,23,24 三题中任选一题做答.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AE 是⊙O 的直径,△ ABC 内接于⊙O,AB=BC,AD⊥BC,垂足为 D. (Ⅰ)求证:AE?AD=AC?BC; (Ⅱ)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于 F,若 AF=4,CF=6,求 AC 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) , 在极坐标系 (与直角坐标系 xOy )=2 .

取相同的单位长度,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 ρsin(θ+ (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,求|AB|. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣2| (1)解不等式 xf(x)+3>0; (2)对于任意的 x∈(﹣3,3) ,不等式 f(x)<m﹣|x|恒成立,求 m 的取值范围.

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2016 年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 M={x|﹣1<x<2},集合 N={x|x(x+2)<0},则 M∪N=( ) A. (﹣2,2)B. (﹣1,0)C.RD.? 【考点】并集及其运算. 【分析】直接根据并集的定义即可求出. 【解答】解:∵M={x|﹣1<x<2}=(﹣1,2) ,集合 N={x|x(x+2)<0}=(﹣2,0) , ∴M∪N=(﹣2,2) , 故选:A. 2.已知 i 是虚数单位,复数 z=(a+i) (1﹣i) ,若 z 的实部与虚部相等,则实数 a=( A.1B.0C.﹣1D.﹣2 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简,再由实部与虚部相等求得 a 值. 【解答】解:∴z=(a+i) (1﹣i)=a+1+(1﹣a)i, ∴由 a+1=1﹣a,得 a=0. 故选:B. )

3.函数 f(x)=2sin(2x+ A.关于直线 x= C.关于点(

)的图象(

) 对称

对称 B.关于直线 x=﹣

,0)对称 D.关于点(π,0)对称

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性,得出结论. 【解答】解:对于函数 f(x)=2sin(2x+ 可得它的图象关于直线 x= 令 2x+ =kπ,求得 x= ﹣ ﹣ + ) ,令 2x+ =kπ+ ,求得 x= + ,k∈Z,

对称,故排除 B,选 A. ,k∈Z, ,0)对称,故排除 C,D,

可得它的图象关于点( 故选:A.

4. 已知数列{an}是公比为 2 的等比数列, 数列{bn}是公差为 3 且各项均为正整数的等差数列, 则数列{a 是( ) A.公差为 5 的等差数列 B.公差为 6 的等差数列 C.公比为 6 的等比数列 D.公比为 8 的等比数列 【考点】等比关系的确定.
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}

【分析】由数列{an}是公比为 2 的等比数列,可得 整数的等差数列,可得 bn+1﹣bn=3,计算

.由数列{bn}是公差为 3 且各项均为正

即可判断出结论.

【解答】解:由数列{an}是公比为 2 的等比数列, 可得 .

由数列{bn}是公差为 3 且各项均为正整数的等差数列, ∴bn+1﹣bn=3, 则 = = =23=8.

∴数列{a 故选:D.

}是公比为 8 的等比数列.

5.运行如图的程序框图,则输出 s 的值为(



A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序依次写出每次循环得到的 s,a 的值,当 a=2016 时,满足条件 a≥2016,退出循环输 出 s 的值为 .

【解答】解:模拟执行程序,可得 s=1,a=1 不满足条件 a≥2016,s= ,a=2 不满足条件 a≥2016,s=( )2,a=3 不满足条件 a≥2016,s=( )3,a=4 … 观察规律可得: 不满足条件 a≥2016,s=( )2015,a=2016
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满足条件 a≥2016,退出循环,输出 s 的值为 故选:B.



6.命题“空间两直线 a,b 互相平行”成立的充分条件是( A.直线 a,b 都平行于同一个平面 B.直线 a 平行于直线 b 所在的平面 C.直线 a,b 都垂直于同一条直线 D.直线 a,b 都垂直于同一个平面



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据线线平行的判定定理判断即可. 【解答】解:直线 a,b 都平行于同一个平面,a,b 可能相交,可能异面也可能平行,故 A 错误; 直线 a 平行于直线 b 所在的平面,a,b 可能异面也可能平行,故 B 错误; 直线 a,b 都垂直于同一条直线,a,b 可能相交,可能异面也可能平行,故 C 错误; 直线 a,b 都垂直于同一个平面,则 a∥b,故 D 正确, 故选:D.

7.已知 cos( A. B.

﹣α)= C.﹣ D.

,则 sin(

)=(



【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】先求出 sinα,cosα,再利用和角的正弦公式,即可求出结论. 【解答】解:∵cos( ∴sinα= , ∵ ∴cosα=﹣ , ∴sin( 故选 C. )=sinαcos +cosαsin = =﹣ , , ﹣α)= ,

8.投掷一颗骰子两次,将得到的点数依次记为 a,b,则直线 ax﹣by=0 的倾斜角大于 A. B. C. D.

的概率为(



【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】由直线 ax﹣by=0 的倾斜角大于 率. 【解答】解:∵直线 ax﹣by=0 的倾斜角大于 ∴k= =1,
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,得到 a>b.由此能求出直线 ax﹣by=0 的倾斜角大于

的概



∴a>b. ∵投掷一颗骰子两次,将得到的点数依次记为 a,b, ∴基本事件总数 n=6×6=36, 其中 a>b 包含的基本事件个数 m= ∴直线 ax﹣by=0 的倾斜角大于 故选:A. 9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) =15, = .

的概率为 p= =

A.64+8πB.48+12πC.48+8πD.48+12π 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】该几何体为棱柱与圆柱的组合体,几何体的表面积为棱柱的表面积加上圆柱的侧面积. 【解答】 解: 由三视图可知该几何体的下部分是底面为边长是 4, 高是 2 的四棱柱, 上部分是底面直径为 4, 高为 2 的圆柱, ∴S=4×4×2+4×4×2+4π×2=64+8π. 故选 A.

10.已知左、右焦点分别是 F1,F2 的双曲线 |AF1|=3|AF2|,则该双曲线的渐近线方程为( A.y=± xB.y=± xC.y=± xD.y=± ) x

上一点 A 满足 AF1⊥AF2,且

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由题意可得 A 为双曲线的右支,由双曲线的定义可得,|AF1|﹣|AF2|=2a,求得|AF1|=3a,|AF2|=a, 运用勾股定理和 a,b,c 的关系和渐近线方程即可得到所求. 【解答】解:由题意可得 A 为双曲线的右支, 由双曲线的定义可得,|AF1|﹣|AF2|=2a, 由|AF1|=3|AF2|,可得 |AF1|=3a,|AF2|=a, 由 AF1⊥AF2, 可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 即有 9a2+a2=4c2,
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即为 c2= a2, 即有 a2+b2= a2,即 b2= a2, 即有 b= a, x.

可得双曲线的渐近线方程为 y=± 故选:B.

11.三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别是 的体积是( A. πB. ) πC. πD.8 π





,则该三棱锥的外接球

【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【分析】三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接 球,求出长方体的对角线的长,就是球的直径,然后求球的体积. 【解答】解:三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直, 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球, 设 PA=a,PB=b,PC=c, 则 ab= , bc= , ca= ,

解得,a= ,b=1,c= . 则长方体的对角线的长为 . 所以球的直径是 ,半径长 R= π, ,

则球的表面积 S= πR3= 故选:C.

12.已知函数 f(x)= 围是( )

的图象上有两对关于坐标原点对称的点,则实数 k 的取值范

A. (0,1)B. (0, )C. (0,+∞)D. (0,e) 【考点】分段函数的应用. 【分析】求出 x>0 时关于原点对称的函数 g(x)=lnx,由题意可得 g(x)的图象和 y=kx﹣2(x>0)的 图象有两个交点.设出直线 y=kx﹣2 与 y=g(x)相切的切点为(m,lnm) ,求出 g(x)的导数,求得切线 的斜率,解方程可得切点和 k 的值,由图象即可得到所求范围. 【解答】解:当 x<0 时,f(x)=﹣ln(﹣x) , 由 f(x)的图象关于原点对称,可得 g(x)=lnx(x>0) , 由题意可得 g(x)的图象和 y=kx﹣2(x>0)的图象有两个交点. 设直线 y=kx﹣2 与 y=g(x)相切的切点为(m,lnm) ,
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由 g(x)的导数为 g′(x)= , 即有切线的斜率为 =k, 又 lnm=km﹣2,解得 m= ,k=e, 由图象可得 0<k<e 时,有两个交点. 故选:D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.函数 f(x)=2cosx+1 的图象在点 x= 处的切线方程是 x+y﹣1﹣ ﹣ =0 .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率和切点,运用直线的点斜式方程,可得所求切线的方程. 【解答】解:函数 f(x)=2cosx+1 的导数为 f′(x)=﹣2sinx, 可得在点 x= 切点为( 即有在点 x= 即为 x+y﹣1﹣ 处的切线斜率为 k=﹣2sin ,1+ ) , )=﹣(x﹣ ) , =﹣1,

处的切线方程为 y﹣(1+ ﹣ =0. ﹣ =0.

故答案为:x+y﹣1﹣

14.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f( )<f(1)的实数 x 的取值范围是 (0,1) . 【考点】函数单调性的性质. 【分析】利用函数的单调性列出不等式解得即可. 【解答】解:∵f(x)为 R 上的减函数, ∴f( )<f(1)等价于 >1,解得 0<x<1. 故答案为(0,1) . 15.在△ ABC 中,AB=2,AC=3, =1,则 BC=
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【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用向量的数量积,及余弦定理,即可求得 BC 的值. 【解答】解:设 ∵AB=2, ∴2acosθ=1 =1 , ,则

又由余弦定理可得:9=4+a2+4acosθ ∴a2=3,∴a= 故答案为:

16.若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的取值范围 (﹣∞,1] .

【考点】简单线性规划. 【分析】先根据 ,确定交点坐标为(1,2)要使直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则 m≤1,由此可得结论.

【解答】解:由题意,由

,可求得交点坐标为(1,2)

要使直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件



如图所示.可得 m≤1 则实数 m 的取值范围 (﹣∞,1]. 故答案为: (﹣∞,1].

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=3
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(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn= ﹣ ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【分析】 (Ⅰ)化简可得 2a1+3a1q=1,a3=3 (Ⅱ)化简 Sn= (1﹣ ) ,Tn= ﹣ =3a4,从而求得 an; =3﹣ =1﹣ .

【解答】解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q, ∵an>0,q>0; ∴2a1+3a1q=1,a3=3 ∴a1= ,q= ; 故 an= ? = ; =3a4,

(Ⅱ)Sn=

= (1﹣

) ,

Tn=( = ﹣



)+(



)+…+(





=3﹣

=1﹣



故 Tn=1﹣



18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥平面 ABC,AB1⊥平面 A1CD,AC⊥BC,D 为 AB 中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 AA1B1B; (Ⅱ)AA1=1,AC=2,求三棱锥 C1﹣A1DC 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)由 AA1⊥平面 ABC 得 AA1⊥CD,由 AB1⊥平面 A1CD 得 AB1⊥CD,故 CD⊥平面 AA1B1B;

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(2)由 CD⊥平面 AA1B1B 得 CD⊥AB,得出△ ABC 是等腰直角三角形,以△ A1C1C 为棱锥的底面,则 D 到平面 A1C1CA 的距离 h= = .代入棱锥的体积公式计算.

【解答】解: (I)∵AA1⊥平面 ABC,CD?平面 ABC, ∴AA1⊥CD, ∵AB1⊥平面 A1CD,CD?A1CD, ∴AB1⊥CD. 又 AA1?平面 AA1B1B,AB1?平面 AA1B1B,AA1∩AB1=A, ∴CD⊥平面 AA1B1B. (II)∵CD⊥平面 AA1B1B,AB?平面 AA1B1B, ∴CD⊥AB, 又∵D 是 AB 的中点, ∴△ABC 是等腰三角形,BC=AC=2. ∵AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴AA1⊥BC, 又∵AC⊥BC,AA1?平面 AA1C1C,AC?平面 AA1C1C,AA1∩AC=A, ∴BC⊥平面 AA1C1C, ∵D 是 AB 的中点, ∴D 到平面 AA1C1C 的距离 h= ∵S ∴V = =V = = =1. =1, = .

19.46.某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, (阴影部分 为破坏部分)其可见部分如下,据此解答如下问题:

(Ⅰ)计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (Ⅱ)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份 的分数在[90,100]之间的概率; (Ⅲ)根据频率分布直方图估计这次测试的平均分. 【考点】频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (Ⅰ)先求出样本容量,再求[80,90)间的频数与频率,计算对应矩形的高; (Ⅱ)求出分数在[80,100]之间的试卷数,用列举法求出基本事件数,计算概率即可; (Ⅲ)根据频率分布直方图计算这次测试的平均分即可. 【解答】解: (Ⅰ)根据题意,频率分布直方图中[50,60)间的频率是 0.008×10=0.08, 频数是 2, 样本容量是 =25;
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∵[80,90)间的频数是 25﹣2﹣7﹣10﹣2=4, ∴频率是 ∴矩形的高 =0.16, =0.016;

(Ⅱ)分数在[80,100]之间的试卷数是 4+2=6,分别记为 a、b、c、d、A、B; 从这 6 份中任取 2 份,ab、ac、ad、aA、aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB 共 15 种, 其中至少有一份的分数在[90,100]之间的基本事件数是 aA、aB、bA、bB、cA、cB、dA、dB、AB 共 9 种 ∴它的概率为 P= = ;

(Ⅲ)根据频率分布直方图计算这次测试的平均分是 =55×0.008×10+65× +75× +85× +95× =73.8,

由此估计平均分是 73.8.

20.如图,已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c、0) , (0,b)的

直线的距离为 λc(λ∈(0,1) ,垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C1 及圆 C2:x2+y2=a2 均有两个交点,这四个交 点按其坐标从大到小分别为 A、B、C、D (Ⅰ)当 λ= 时,求 的值;

(Ⅱ)设 N(a,0) ,若存在直线 l 使得 BO∥AN,证明:0<λ< .

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)求出过两点(c、0) , (0,b)的直线方程,由点到直线的距离公式可得 b=λa,取 λ= ,求 得椭圆方程,然后分别联立直线 x=m(﹣a<m<a)与椭圆与圆方程,求出点的坐标,则 (Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程,求出 A,B 的坐标,由斜率相等可得 结合﹣a<m<0 即可证得 0<λ< . 【解答】 (Ⅰ)解:过两点(c、0) , (0,b)的直线方程为 ,即 bx+cy﹣bc=0, 的值可求; ,

由原点 O 到直线 bx+cy﹣bc=0 的距离为 λc(λ∈(0,1) ,得
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,即 b=λa,

当 λ= 时,b=



此时椭圆方程为



设直线 l 的方程为 x=m(﹣a<m<a) ,

联立

,解得 B(m,

) ,C(m,

) ,

联立

,解得 A(m,

) ,D(m,﹣

) ,



=



(Ⅱ)证明:如图, 由(Ⅰ)得,A(m, ) ,

联立

,得 B(m,λ

) ,

又 N(a,0) , ∴ ,





由 BO∥AN,得



∴m=λ(m﹣a) ,即 ∵﹣a<m<0, ∴ ,即 ,





解得:λ>1(舍)或 又 λ∈(0,1) , ∴0<λ< .

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21.设函数 f(x)=

(a∈R) .

(Ⅰ)当 a>0 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 a≤2 时,证明:对任意 x∈[0,+∞) ,f(x)≤x+1 恒成立. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可; (Ⅱ)a≤0 时,f(x)≤x+1 成立,0<a≤2 时,令 h(x)= 结论. 【解答】解: (Ⅰ)∵f′(x)= ∵a>0,ex>0, ∴由 f′(x)≥0 可得 x≤ , ]递增; , , ﹣x﹣1,求出 h(x)的单调性,从而证出

∴a>0 时,f(x)在(﹣∞, (Ⅱ) (i)a≤0 时,f(x)= 由 x≥0,得 ax+1≤1, ∵ex≥1,∴ ≤1,

而 x+1≥1,∴f(x)≤x+1 成立; (ii)0<a≤2 时,令 h(x)= ﹣x﹣1,

则 f(x)≤x+1 成立等价于 h(x)≤0, h′(x)= ﹣1,

∵g(x)=﹣ax+a﹣1 是减函数且 x≥0, ∴g(x)max=a﹣1≤1, ∴h′(x)<0,h(x)在[0,+∞)递减, ∴x≥0 时,h(x)≤h(0)=0, ∴f(x)≤x+1 恒成立, 综上,a≤2 时,对任意 x∈[0,+∞) ,f(x)≤x+1 恒成立. 请考生再 22,23,24 三题中任选一题做答.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AE 是⊙O 的直径,△ ABC 内接于⊙O,AB=BC,AD⊥BC,垂足为 D. (Ⅰ)求证:AE?AD=AC?BC; (Ⅱ)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于 F,若 AF=4,CF=6,求 AC 的长.

【考点】与圆有关的比例线段.
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【分析】 (Ⅰ)连接 BE,由直径所对圆周角为直角得到∠ABE=90°,由三角形相似的条件得到 △ ACD∽△AEB,再由相似三角形对应边成比例得 AE?AD=AC?BC; (Ⅱ)由切割弦定理可得 CF2=AF?BF,然后再由三角形相似求得 AC 的值. 【解答】 (Ⅰ)证明:连接 BE, ∵AE 为圆 O 的直径, ∴∠ABE=90°, ∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠ABE=∠ADC, 又∵∠ACD=∠AEB, ∴△ACD∽△AEB, ∴ ,

又∵AB=BC, ∴AE?ED=AC?BC; (Ⅱ)解:∵CF 是圆 O 的切线, ∴CF2=AF?BF, 又 AF=4,CF=6, ∴BF=9, ∴AB=BF﹣AF=5, 又∵∠ACF=∠FBC,∠F 为公共角, ∴△AFC∽△CFB, ∴ ∴AC= , .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23. 在直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) , 在极坐标系 (与直角坐标系 xOy )=2 .

取相同的单位长度,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 ρsin(θ+ (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,求|AB|. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (I)利用 cos2θ+sin2θ=1 可把圆 C 的参数方程化为普通方程,再利用

化为极坐标方

程.

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(II)直线 l 的方程为 ρsin(θ+ 弦长公式|AB|=2

)=2

,展开可得直角坐标方程.求出圆心 C 到直线 l 的距离 d,利用

即可得出. (θ 为参数) ,化为(x﹣2)2+y2=4,即 x2+y2﹣4x=0,

【解答】解: (I)圆 C 的参数方程为 化为极坐标方程:ρ2﹣4ρcosθ=0,即 ρ=4cosθ. (II)直线 l 的方程为 ρsin(θ+ )=2

,展开化为:

(ρsinθ+ρcosθ)=2

,可得直角坐标方程:

y+x﹣4=0. 由(I)可知:圆 C 的圆心 C(2,0) ,半径 r=2. ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d= ∴|AB|=2 =2 . = ,

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣2| (1)解不等式 xf(x)+3>0; (2)对于任意的 x∈(﹣3,3) ,不等式 f(x)<m﹣|x|恒成立,求 m 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题. 【分析】 (1)把 f(x)的解析式代入 xf(x)+3>0,去绝对值后化为不等式组,求解不等式组得答案; (2)把 f(x)<m﹣|x|,分离变量 m 后构造分段函数,求解分段函数的最大值,从而得到 m 的取值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)=|x﹣2|, ∴xf(x)+3>0?x|x﹣2|+3>0? ①或 ②,

解①得:﹣1<x≤2, 解②得 x>2, ∴不等式 xf(x)+3>0 的解集为: (﹣1,+∞) ; 2 f x m |x| f x +|x| m |x 2|+|x| ( ) ( )< ﹣ ? ( ) < ,即 ﹣ <m, 设 g(x)=|x﹣2|+|x|(﹣3<x<3) ,





g(x)在(﹣3,0]上单调递减,2≤g(x)<8; g(x)在(2,3)上单调递增,2<g(x)<4 ∴在(﹣3,3)上有 2≤g(x)<8, 故 m≥8 时不等式 f(x)<m﹣|x|在(﹣3,3)上恒成立.

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2016 年 7 月 19 日

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