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2010-2015北京一模大题立体几何题总结(文科)-刘倩5.13


2010——2015 年北京市东西海三区高三一模文科数学 解答题立体几何汇总
1. (2010 东城一模文 17) (本小题满分 14 分) 三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 AB 边中点,且 CC1=2AB. (1)求证:平面 C1CD⊥平面 ABC;

(2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求三棱锥 D—CBB1 的体积.

2. (2010 西城一模文 16) (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥底面 ABCD,M、N 分别为 PA、 BC 的中点,且 PD=AD= 2 , (1)求证:MN∥平面 PCD; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PBD; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积。

3. (2010 海淀一模文 17) (本小题满分 14 分) 如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60?, PA ? 平面 ABCD, 点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AB ? 2 . (I) 证明: BC ⊥平面 AMN ; (II)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (III)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE ;若存在, 求出 PE 的长;若不存在,说明理由.
B M C P

N A

D
D

4. (2011 东城一模文 16) (本小题共 13 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
E C P

D

A

B

5. (2011 西城一模文 16) (本小题满分 13 分) 如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直, ?ADE ? 90 ,

AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅲ)求四面体 BDEF 的体积. F

E

D

C

A

B

6. (2011 海淀一模文 17) (本小题共 13 分) 如图:梯形 ABCD 和 正 △ PAB 所 在 平 面 互 相 垂 直 , 其 中 AB // DC ,

AD ? CD ?

1 AB ,且 O 为 AB 中点. 2

P

( I ) 求证: BC // 平面 POD ; ( II ) 求证: AC ? PD .

A

O

B
C

D

7.(2012 东城一模文 17) (本小题共 14 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的 点,且满足 AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A 1EF 的位置,使平面 A 1 EF ?

2 平面 EFB ,连结 A 1B , A 1P .(如图 )
(Ⅰ)若 Q 为 A 1B 中点,求证: PQ ∥平面 A 1EF ; (Ⅱ)求证: A1E ? EP .
A

A1
E

F

Q

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

8. (2012 西城一模文 17) (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, EF ∥

AB , 将矩形 ABEF 沿 EF 折起. 记折起后的矩形为 MNEF , 且平面 MNEF ? 平面 ECDF .
(Ⅰ)求证: NC ∥平面 MFD ; (Ⅱ)若 EC ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

A

F

D

B

E

C

9.(2012 海淀一模文 17) (本小题满分 14 分) 已知菱形 ABCD 中,AB=4, ?BAD ? 60 (如图 1 所示) ,将菱形 ABCD 沿对角线 BD 翻折,使点 C 翻折到点 C1 的位置(如图 2 所示) ,点 E,F,M 分别是 AB,DC1,BC1 的中点. (Ⅰ)证明:BD //平面 EMF ; (Ⅱ)证明: AC1 ? BD ; (Ⅲ)当 EF ? AB 时,求线段 AC1 的长.
A D C
F M D C1

图1

B

A

E

B

图2

10.(2013 东城一模文 16) (本小题共 14 分) 如图,已知 AD ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , F 为 BC 的中点,若 E 1 AB ? AC ? AD ? CE . 2 D (Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE . A C F B

11. (2013 西城一模文 16) (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD ,

AC ? 3 , AB ? 2 BC ? 2 , AC ? FB .
(Ⅰ )求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ )求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M ,使 EA //平面 FDM ? 证明你的结论.

12.(2012 海淀一模文 17) (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 ?CAD ? 30 , PA ? AB ? 4 ,点 N 在线段 PB 上,且

PN 1 ? . NB 3

(Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)设平面 PAB 平面 PCD = l ,试问直线 l 是否与直线 CD 平行,请说明理由.

P

N

A D M B C

作业: (2014 年西城一模文) 17. (本小题满分 14 分)

SA ? SD , SA ? AB , 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, AD ? 2 AB , N 是棱 AD 的中点.
(Ⅰ)求证: AB // 平面 SCD ; (Ⅱ)求证: SN ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)在棱 SC 上是否存在一点 P,使得平面 PBD ? 平面 A B D C S

SP 的值;若不存在,说明理由. ABCD ?若存在,求出 PC

N

(2014 东城一模文)17、 (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,△ PAD 是正三角形,平面

PAD ? 平面 ABCD , M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点.
(Ⅰ)求证: PM ? MN ; (Ⅱ)求证:平面 PMN ? 平面 PBC ; (Ⅲ)在 PA 上是否存在点 Q ,使得平面 QMN ∥平面 PCD ,若存在求出 Q 点位置, 并证明,若不存在,说明理由.
A M B D N C P

(2015 西城一模文)17. (本小题满分 14 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为正方形, EF //AD , 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且 BC ? 2 EF , AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点. (Ⅰ)证明: AG ? CD ; (Ⅱ)若点 M 在线段 AC 上,且

AM MC

?

1 3

,求证: GM //平面 ABF ;

(Ⅲ)已知空间中有一点 O 到 A, B, C , D, G 五点的距离相等,请指出点 O 的位置. (只 需写出结论) F A B C G E

D

(2015 海淀一模文)


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