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28。


第 28 课时

平面向量的数量积
班级________

编者:季明宏

审核: 束必祥

学号_________

第一部分
一、知识回顾:
1. 平面向量的数量积

预习案

姓名_________

已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 θ,则数量| a || b |cos θ 叫做向量 a 和 b 的数量 积(或内积),记作 a · b =| a || b |cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为__0__. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a · b =0,两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件 是a· | a || b |. b =± 2. 平面向量数量积的几何意义 数量积 a · b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos θ 的乘积. 3. 平面向量数量积的重要性质 (1) e · a =a · e =| a |cos θ; (2)非零向量 a , b , a ⊥ b ? a · b =0;

(3)当 a 与 b 同向时, a · b =| a || b |; 当 a 与 b 反向时, a · b =-| a || b |, a · a = a 2, | a |= a ? a ; (4)cos θ=

a ?b ab



(5)| a · b |__≤__| a || b |.

4. 平面向量数量积满足的运算律 (1) a · b =b · a (交换律); (2)(λ a )· (λ b )=λ( a · b =a· b )=λ a · b (λ 为实数); (3)( a + b )· c=a· c +b · c. 5. 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a · b =x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a =(x,y),则| a |2=x2+y2 或| a |= x2+y2. → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB|=|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (3)设两个非零向量 a , b , a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ⊥ b ?x1x2+y1y2=0.

二、基础训练 1. 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135° ,| a |=2,| b |=3,则向量 a 和向量 b 的数量 积a· b =________.

2. 已知 a ⊥ b ,| a |=2,| b |=3,且 3 a +2 b 与 λ a - b 垂直,则实数 λ 的值为________.

3 .已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b ·( a - b ) = 0 ,则 | b | 的取值范围是
________.

4.已知向量 a =(2,1), b =(-1,k), a · (2 a - b )=0,则 k=________.

5.设向量 a =(1,cos θ)与 b =(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ=________.

三、我的疑惑

第二部分
探究一 平面向量的数量积的运算

探究案

→ → 1. (1)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,则AB· AC=________.

(2)若向量 a =(1,1),b =(2,5),c =(3,x),满足条件(8 a - b )· c =30,则 x=__________

→ → → → 2. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则DE· CB的值为__________; DE· DC 的最大值为________.

探究二 向量的夹角与向量的模 1. 已知| a |=4,| b |=3,(2 a -3 b )· (2 a + b )=61. → → (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求| a + b |; (3)若AB= a ,BC= b ,求△ABC 的面积.

2. (1)已知向量 a 、b 满足| a |=1,| b |=4,且 a · b =2,则 a 与 b 的夹角为________.

(2)已知向量 a =(1, 3), b =(-1,0),则| a +2 b |=_______

探究三 1.

向量数量积的综合应用

已知 a =(cos α,sin α), b =(cos β,sin β)(0<α<β<π).

(1)求证: a + b 与 a - b 互相垂直; (2)若 k a + b 与 a -k b 的模相等,求 β-α.(其中 k 为非零实数)

1 3 2. 已知平面向量 a =( 3,-1), b =? , ?. ?2 2 ? (1)证明: a ⊥ b ; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 c = a +(t2-3) b , d =-k a + t b ,且 c ⊥ d ,试求函数关系式 k=f(t).

3. 如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 → → → AD=xAB+yAC,则 x=________,y=________.

我的收获

第三部分

训练案

见附页


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