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湖南师大附中数学文科


湖南师大附中 2017 届高三摸底考试 数 学(文科)
得分:______________ 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.设全集 U={1,2,3,4,5},M=

{2,3,4},N={4,5},则(?UM)∪N= A.{1} B.{1,5} C.{4,5} D.{1,4,5} - 2.若复数 z 满足 z+2-3i=-1+5i,则 z = A.3-8i B.-3-8i C.3+8i D.-3+8i 3.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 π 4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=3,b= 6,A= ,则 3 角 B 等于 π 3π A. B. 4 4 π 3π C. 或 D.以上都不对 4 4 2 5. 己知直线 l 的斜率为 k, 它与抛物线 y =4x 相交于 A, B 两点, F 为抛物线的焦点, 若 → → AF=2FB,则|k|= 2 3 A.2 2 B. 3 C. D. 4 3 π? ? ?π ? 6.要得到函数 y=cos?2x- ?的图象,只需将函数 y=sin? +2x?的图象 3? ? ?2 ? π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3 π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 6 6 7. 若某圆柱体的上部挖掉一个半球, 下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正 视图和侧视图如图所示,则此几何体的表面积是

A.24π B.24π +8 2π C.24π +4 2π D.32π 1 - 1 1 ? ? 3,c=log 1,则下列关系中正确的是 8.设 a=7- ,b=? ? 7 2 2 ?7?
1

A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 9.函数 y=xsin x+cos x 的图象大致为

13 10.运行下图所示的程序框图,若输出结果为 ,则判断框中应该填的条件是 7

A.k>5 B.k>6 C.k>7 D.k>8 11.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长都相等,则异面直线 AB1 和 A1C 所成的 角的余弦值大小为

A.

1 1 1 B.- C. 4 4 2

1 D.- 2

π π 12.已知 a,b∈R,直线 y=ax+b+ 与函数 f(x)=tan x 的图象在 x=- 处相切, 2 4 x 2 2 设 g(x)=e +bx +a,若在区间[1,2]上,不等式 m≤g(x)≤m -2 恒成立,则实数 m A.有最大值 e B.有最大值 e+1 C.有最小值-e D.有最小值 e 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卷对应题号 后的横线上. 13.已知向量 a=(-1,1),向量 b=(3,t),若 b∥(a+b),则 t=________. ?π ? 1 ?2π ? 14.若 sin? -α ?= ,则 cos? +2α ?=________. 6 3 3 ? ? ? ? 2 2 15.已知直线 l 经过点 P(-4,-3),且被圆(x+1) +(y+2) =25 截得的弦长为 8, 则直线 l 的方程是________________. ?x-y+2≥0 16.若不等式组?x-5y+10≤0所表示的平面区域内存在点(x0,y0),使 x0+ay0+2≤0

?

? ?x+y-8≤0

成立,则实数 a 的取值范围是________.
2

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn.

3

18.(本小题满分 12 分) 某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 可见部分如下图.

(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高; (3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷 中,至少有一份分数在[90,100)之间的概率.

4

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形,AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的中 点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE; (3)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小.

5

20.(本小题满分 12 分)

x2 y2 6 ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴为半 a b 3 径的圆与直线 2x- 2y+6=0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知点 A,B 为动直线 y=k(x-2)(k≠0)与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否存
已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 →2 → → 在点 E,使EA +EA·AB为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不存在,说明理由.

6

21.(本小题满分 12 分) x 已知函数 f(x)=ln(e +a)(a 为常数,e 为自然对数的底数)是实数集 R 上的奇函数, 函数 g(x)=λ f(x)+sin x 在区间[-1,1]上是减函数. (1)求实数 a 的值; (2)若 g(x)≤t2+λ t+1 在 x∈[-1,1]上恒成立,求实数 t 的取值范围; ln x 2 (3)讨论关于 x 的方程 =x -2ex+m 的根的个数.

f(x)

7

选做题(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分,作 答时请写清题号)

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,AB 是圆 O 的一条弦,过点 A 作圆的切线 AC,作 BC⊥AC,与该圆交于点 D,若 AC =2 3,CD=2. (1)求圆 O 的半径; (2)若点 E 为 AB 中点,求证:O,E,D 三点共线.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 2 ?x=2cos α ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 是参数),以原点 O 为极点, ?y=sin 2α ? 1 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ = . sin θ -cos θ (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C1 上的任意一点 P 到曲线 C2 的最小距离,并求出此时点 P 的坐标.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)若不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-2≤x≤3},求实数 a 的值; (2) 在(1)的条件下,若存在实数 n,使得 f(n)≤m-f(-n)恒成立,求实数 m 的取值范 围.

湖南师大附中 2017 届高三摸底考试 数学(文科)参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.A 2 5.A 【解析】设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),与抛物线 y =4x 相交于 A(x1,y1), 2 2 2 2 B(x2,y2),联立 y=kx+m(k≠0),y =4x 得 k x +(2km-4)x+m =0, 4-2km m 所以 Δ =(2km-4) -4k m =16-16km,由 Δ >0 得 km<1,x1+x2= ,x1x2= 2, 2
2 2 2 2

k

k

→ → 2 由 y =4x 得其焦点 F(1,0),由AF=2FB得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),
8

?1-x1=2x2-2,① ? 3m 所以? ,由①得, x1+2x2=3,③.由②得, x1+2x2=- , k ? ?-y1=2y2,②

→ → → → 所以 m=-k,再由AF=2FB得|AF|=2|FB|, 1 所以 x1+1=2(x2+1),即 x1-2x2=1,④.联立③④得 x1=2,x2= , 2 4-2km 5 4+2k 5 所以 x1+x2= = , 把 m=-k 代入得 2 = , 解得|k|=2 2, 满足 mk=-8<1, k2 2 k 2 所以|k|=2 2,故选 A. π ?π ? 6.D 【解析】y=sin? +2x?=cos 2x,∴需向右平移 个单位,故选 D. 6 ?2 ? 7.C 【解析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个球的表面积、圆锥的侧面积的和. 2 圆柱的侧面积为 S1=2π ×2×4=16π ,半球的表面积为 S2=2π ×2 =8π , 1 圆锥的侧面积为 S3= ×2π ×2×2 2=4 2π , 2 所以几何体的表面积为 S=S1+S2+S3=24π +4 2π . 1 1 - 1 1 1 ? ? 3 8.B 【解析】由题意得,c=log7 <0,又 b=? ? =73>7- =a>0,所以 c<a<b,故 2 2 ?7? 选 B. 9.D 【解析】由题意得,函数 y=xsin x+cos x 是偶函数,当 x=0 时,y=1,且 y′
2

? π? =sin x+xcos x-sin x=xcos x,显然在?0, ?上,y′>0,所以函数为单调递增,故选 2? ?
D. 1 3 10.B 【解析】第一次执行完循环体得到:S=1+ = ,k=2;第二次执行完循环体得 2 2 3 1 5 5 1 7 到:S= + = ,k=3;第三次执行完循环体得到:S= + = ,k=4;第四次执行 2 2×3 3 3 3×4 4 7 1 9 9 1 11 完循环体得到:S= + = ,k=5;第五次执行完循环体得到:S= + = ,k=6; 4 4×5 5 5 5×6 6 11 1 13 13 第六次执行完循环体得到:S= + = ,k=7;输出结果为 ,因此判断框中应该填的 6 6×7 7 7 条件是 k>6. 11.A 【解析】延长 BA 到 D,使得 AD=AC,则四边形 ADA1B1 为平行四边形,

∴AB1∥A1D,∴∠DA1C 就是异面直线 AB1 和 A1C 所成的角, 又△ABC 为等边三角形,设 AB=AA1=1,∠CAD=120°,

9

则 CD= AC +AD -2AC·ADcos∠CAD=

2

2

? 1? 1+1-2×1×1×?- ?= 3, ? 2?
1 = .故选 A. 4 2× 2× 2 1
2

A1C=A1D= 2,在△A1CD 中,cos∠DA1C=
12.B 【解析】f′(x)=?

2+ 2- 3

2

2

2

?sin ?cos

x? 1 ? π? ′= 2 ,所以 a=f′?- ?= ? x? cos x ? 4?

? π? cos ?- ? ? 4?

=2,

π ? π? ? π? ? π ? 又 f?- ?=tan?- ?=-1,点?- ,-1?在直线 y=ax+b+ 上,求出 b=-1,∴ 2 ? 4? ? 4? ? 4 ?

g(x)=ex-x2+2,令 h(x)=g′(x)=ex-2x,则 h′(x)=ex-2,∵1≤x≤2,∴h′(x)≥e -2>0,故 h(x)在[1,2]上为增函数,h(x)≥h(1)=e-2>0,所以 g′(x)>0,g(x)在[1,2] m≤e+1 ? ? 2 2 上为增函数, 所以 g(x)∈[1+e,e -2], 由不等式 m≤g(x)≤m -2 恒成立有?m -2≥e -2, ? ?m≤m2-2
2 2

解得 m≤-e 或 e≤m≤e+1,m 最大值为 e+1,故选 B. 二、填空题 13.-3 7 ?π ? 1 ?2π +2α ? = - cos ?π -2α ? = 14 . - 【解 析】 因为 sin ? -α ? = , 则 cos ? ? ?3 ? 9 ?6 ? 3 ? 3 ? ? ? 7 ? 2?π 2sin ? -α ?-1=- . 9 ?6 ? 15.x+4=0 或 4x+3y+25=0 【解析】圆心(-1,-2),半径 r=5,弦长为 m=8,设弦心距是 d,则由勾股定理得 2 ?m? r2=d2+? ? ,得 d=3,若直线 l 斜率不存在,则直线 l 的方程为 x+4=0,此时圆心到 l 2

? ?

的距离是 3,符合题意;若直线 l 斜率存在,则设直线 l 的方程为 y+3=k(x+4),即 kx-y +4k-3=0,所以圆心到 l 的距离是 d=

|-k+2+4k-3|
k +1
2

4 =3,解得 k=- ,此时直线 l 的 3

方程是 4x+3y+25=0.综上,直线 l 的方程是 x+4=0 或 4x+3y+25=0.所以答案应填:x +4=0 或 4x+3y+25=0. 16.(-∞,-1] 【解析】如下图所示阴影部分为不等式组所表示的平面区域:

10

当 a>0 时,不等式 x0+ay0+2≤0 所表示的平面如图所示直线 l1 下方部分,显然不符合 题意;当 a<0 时,不等式 x0+ay0+2≤0 所表示的平面如图所示直线 l2 上方部分,要使不等 式组所表示的平面区域存在点(x0,y0)使 x0+ay0+2≤0 成立,则不等式所表示直线斜率必须 1 满足- ≤kBD=1 即 a≤-1,故应填入(-∞,-1].

a

三、解答题 17. 【解析】(1)由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得 an+1-an=2an,an +1=3an(n≥2),(3 分) 又 a2=2S1+1=3,∴a2=3a1,故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列. n-1 ∴an=3 .(7 分) 1×(1-3 ) 3 1 (2) Sn= = - .(12 分) 1-3 2 2 18. 【解析】(1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08,(2 分) 2 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 =25.(4 分) 0.08 (2)分数在[80,90)之间的频数为 25-22=3; 3 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷10=0.012.(7 分) 25 (3)将[80,90)之间的 3 个分数编号为 a1,a2,a3,[90,100)之间的 2 个分数编号为 b1,
n n

b2,
在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为: (a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)共 10 个,(10 分) 其中,至少有一个在[90,100)之间的基本事件有 7 个, 7 故至少有一份分数在[90,100)之间的概率是 .(12 分) 10 19. 【解析】(1)取 CE 的中点 P,连结 FP、BP. 1 ∵F 为 CD 的中点,∴FP∥DE,且 FP= DE. 2 1 又 AB∥DE,且 AB= DE,∴AB∥FP,且 AB=FP, 2 ∴四边形 ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP. 又∵AF ?平面 BCE,BP ?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE.(4 分) (2)∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD. ∵AB⊥平面 ACD,DE∥AB, ∴DE⊥平面 ACD,又 AF ?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE.又 BP∥AF,∴BP⊥平面 CDE. 又∵BP ?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE.(8 分)

11

(3)法一:由(2),以 F 为坐标原点, AF,FD,FP 所在的直线分别为 x,y,z 轴(如图) 建立空间直角坐标系 F-xyz.设 AC=2, 则 C(0,-1,0),B(- 3,0,1),E(0,1,2). 设 n=(x,y,z)为平面 BCE 的法向量,

?- 3x+y+z=0 → → ∴n·CB=0,n·CE=0,∴? ,令 z=1,则 n=(0,-1,1) ?2y+2z=0
显然,m=(0,0,1)为平面 ACD 的法向量. 设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为α , |m·n| 1 2 则 cos α = = = .∴α =45°. |m|·|n| 2 2 即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小为 45°.(12 分) 法二:延长 EB、DA,设 EB、DA 交于一点 O,连结 CO. 则面 EBC∩面 DAC=CO. 由 AB 是△EDO 的中位线,则 DO=2AD. 在△OCD 中,∵OD=2AD=2AC,∠ODC=60°. ∴OC⊥CD,又 OC⊥DE. ∴OC⊥面 ECD,而 CE ?面 ECD, ∴OC⊥CE,∴∠ECD 为所求二面角的平面角, 在 Rt△EDC 中,∵ED=CD,∴∠ECD=45°, 即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45°.(12 分) 6 c 6 6 ,得 = ,即 c= a, ① 3 a 3 3 又因为以原点 O 为圆心, 2 2 2 椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x +y =a , 20. 【解析】(1)由 e= 且与直线 2x- 2y+6=0 相切, 所以 a= 6 2 +( 2)
2 2 2 2

= 6,代入①得 c=2,

所以 b =a -c =2.所以椭圆的方程为 + =1.(4 分) 6 2

2

x2 y2

x y ? ? + =1 2 2 2 2 (2)由? 6 2 得(1+3k )x -12k x+12k -6=0, ? ?y=k(x-2)
12k 12k -6 设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2= 2,x1·x2= 2 ,(8 分) 1+3k 1+3k
2 2

2

2

12

根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0),使得 →2

EA +EA·AB=EA·(EA+AB)=EA·EB为定值,
→ → 则有EA·EB=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)·(x2-m)+y1y2 =(x1-m)(x2-m)+k (x1-2)(x2-2) =(k +1)x1x2-(2k +m)(x1+x2)+(4k +m ) 12k -6 12k 2 2 2 2 =(k +1)· 2 -(2k +m)· 2+(4k +m ) 1+3k 1+3k (3m -12m+10)k +(m -6) = .(10 分) 2 3k +1 要使上式为定值,即与 k 无关,则应使 3m -12m+10=3(m -6), 7 5 → → 2 ?7 ? 即 m= ,此时EA·EB=m -6=- 为定值,定点为 E? ,0?.(12 分) 3 9 ?3 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



→ →

→ →





21. 【解析】(1)∵f(x)=ln(e +a)是奇函数, -x x ∴f(-x)=-f(x),即 ln(e +a)=-ln(e +a)恒成立, -x x -x x 2 x -x ∴(e +a)(e +a)=1,∴1+ae +ae +a =1.即 a(e +e +a)=0 恒成立, 故 a=0.(2 分) (2)由(1)知 g(x)=λ f(x)+sin x=λ x+sin x,∴g′(x)=λ +cos x,x∈[-1,1], ∴要使 g(x)=λ f(x)+sin x 是区间[-1,1]上的减函数,则有 g′(x)≤0 恒成立,∴ λ ≤-1. 2 又∵g(x)max=g(-1)=-λ -sin 1,∴要使 g(x)≤t +λ t+1 在 x∈[-1,1]上恒成 立, 2 只需-λ -sin 1≤t +λ t+1 在 λ ≤-1 时恒成立即可. 2 ∴(t+1)λ +t +sin 1+1≥0(其中λ ≤-1)恒成立.
2 令 h(λ ) = (t + 1)λ + t + sin 1 + 1≥0(λ ≤ - 1) , 则 ?

x

?t+1≤0, ? ?h(-1)≥0, ?



? ?t+1≤0, ? 2 ?t -t+sin 1≥0, ?

而 t -t+sin 1≥0 恒成立,∴t≤-1.(7 分) (3)由(1)知方程 ln x ln x 2 2 =x -2ex+m,即 =x -2ex+m, f(x) x

2

ln x 2 令 f1(x)= ,f2(x)=x -2ex+m.

x

1-ln x ∵f′1(x)= , 2

x

当 x∈(0,e]时,f′1(x)≥0,∴f1(x)在(0,e]上为增函数; 当 x∈[e,+∞)时,f′1(x)≤0,∴f1(x)在[e,+∞)上为减函数; 1 当 x=e 时,f1(x)max= . e 而 f2(x)=x -2ex+m=(x-e) +m-e 当 x∈(0,e]时 f2(x)是减函数,当 x∈[e,+∞)时,f2(x)是增函数, 2 ∴当 x=e 时,f2(x)min=m-e .
2 2 2

13

1 2 1 2 故当 m-e > ,即 m>e + 时,方程无实根; e e 1 1 2 2 当 m-e = ,即 m=e + 时,方程有一个根; e e 1 2 1 2 当 m-e < ,即 m<e + 时,方程有两个根.(12 分) e e 22. 【解析】(1) 取 BD 中点为 F,连结 OF,由题意知,OF//AC,OF=AC. ∵AC 为圆 O 的切线,BC 为割线, ∴CA =CD·CB,∵AC=2 3,CD=2,∴BC=6,BD=4,BF=2. 2 2 在 Rt△OBF 中,由勾股定理得,r=OB= OF +BF =4.(5 分) (2) 由(1)知,OA//BD,OA=BD, 所以四边形 OADB 为平行四边形,又因为 E 为 AB 的中点, 所以 OD 与 AB 交于点 E,所以 O,E,D 三点共线.(10 分) 2 2 23. 【解析】(1) 由题意知,C1 的普通方程为(x-1) +y =1. C2 的直角坐标方程为 y=x+1.(5 分) (2) 设 P(1+cos 2α ,sin 2α ),则 P 到 C2 的距离 d= π ?? 2? ? 2+ 2cos?2α + ??,当 ? 4 ?? 2? ?
2

π? 3π ? cos?2α + ?=-1,即 2α = +2kπ (k∈Z)时,d 取最小值 2-1, 4? 4 ? 2 2? , ?.(10 分) 2 2? 24. 【解析】 (1) 由 f(x)≤6, 得 a-6≤2x-a≤6-a(a<6), 即其解集为{x|a-3≤x≤3}, 由题意知 f(x)≤6 的解集为{x|-2≤x≤3},所以 a=1.(5 分) (2) 原不等式等价于 m≥f(n)+f(-n),存在实数 n,使得 m≥f(n)+f(-n)=|1-2n| +|1+2n|+2 恒成立,即 m≥(|1-2n|+|1+2n|+2)min,而由绝对值三角不等式,|1-2n| +|1+2n|≥2, 从而实数 m≥4.(10 分) 此时 P 点坐标为?1-

? ?

14


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