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【人教版高中数学必修一学习课件】1.3.2函数的奇偶性


1.3.2函数的奇偶性

1.偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
2

2 例如,函数 f ( x) ? x ? 1, f ( x) ? x 2 ? 1 都是偶 函数,

它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.


观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗?

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 我们称函数y=x为奇函数.

2.奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 注意: 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的 一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则 -x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 于原点对称).

3、奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)有成立. 4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性.

例5、判断下列函数的奇偶性:

(1) f ( x ) ? x

4 5

(2) f ( x ) ? x

1 (3) f ( x ) ? x ? x 1 (4) f ( x) ? 2 x

3.用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.

课堂练习

判断下列函数的奇偶性:

1 (1) f ( x) ? x ? x (3) f ( x) ? 5 (5) f ( x) ? x ? 1

(2) f ( x) ? ? x ? 1
2

(4) f ( x) ? 0 (6) f ( x) ? x , x ? [?1,3]
2

3.奇偶函数图象的性质

1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原 点对称,那么就称这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么就称这个函数为偶函数.
说明:奇偶函数图象的性质可用于: a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性

例3、已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图 象如下图,画出在y轴左边的图象. 解:画法略

y

相等

0

x

y
相等

0

x

本课小结
1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(x)为奇函数 ? 如果都有f(-x)=f(x) ? f(x)为偶函数 如果都有f(-x)=-f(x) 2、两个性质: 一个函数为奇函数 一个函数为偶函数 它的图象关于原点对称 ? 它的图象关于y轴对称 ?


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