当前位置:首页 >> 数学 >>

4.模的意义


杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生!请尊重知识产权,不得翻印!

高考数学母题
[母题]Ⅰ(12-04):模的意义(264)

675

模的意义 [母题]Ⅰ(12-04): (2009 年浙江高考试题)设向量 a,b 满足:|a|=3,|b|=4,ab=0,以 a,b,a-b 的模为边长构成

角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( (A)3 (B)4 (C)5 ) (D)6

[解析]:由 ab=0 ? 以 a,b,a-b 的模为边长构成三角形是直角三角形,
且两直角边长分别为 3,4 ? 斜边长=5 ? 内切圆半径 r=1,此时只有三 个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点 不能实现.故选(B).

[点评]:向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,向量的模则是它的几何形式的代数度量,充分利用向量的几何形
式和向量模的几何意义是妙解向量模的问题的有力手段.

[子题](1): (2012 年辽宁高考试题)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(
(A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b|

)

(D)a+b=a-b

[解析]:因|a+b|与|a-b|分别表示以 a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度;由|a+b|=|a-b| ? 此平行四边形的
对角线相等 ? 此平行四边形为矩形 ? a⊥b.故选(B). 注:根据向量加减法和数乘向量的几何意义构造三角形或平行四边形是模的问题几何解法的基础,三角形或平行四边 形的性质是模的问题几何解法的工具.

[子题](2): (2005 年浙江高考试题)己知向量 a≠e,|e|=1 满足:对任意 t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则
(A)a⊥e (B)a⊥(a-e) (C)e⊥(a-e) (D)(a+e)⊥(a-e)

[解析]:令 OA =a, OB =e, OT =te,则点 T 是直线 OB 上的动点,且|AT|=|a-te|,由|a-te|≥
|a-e| ? |AT|的最小值为 AB,即 AB 是点 A 到直线 OB 的距离 ? AB⊥OB ? e⊥(a-e).故选(C). 注:由该题易知:①若两个非零向量 a,b 的夹角为θ,则当 t=
0 0 0

|a| |b|

cosθ时,|a-tb|取得最小
0

值|a|sinθ;②若两个非零向量 a,b 的夹角θ∈(0 ,90 )∪(90 ,180 ),则对任意 t∈R,|a-tb|≥|a-b|恒成立 ? b⊥(a-b)
? ab=|b| ? |a|cosθ=|b|.
2

[子题](3): (2012 年浙江高考试题)设 a,b 是两个非零向量.(
(A)若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b (C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a
2 2 2 2

)

(B)若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| (D)若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b|

[ 解析 ]: 由 |a+b|=|a|-|b| ? a +2ab+b =a -2|a||b|+b 且 |a|-|b| ≥ 0 ? |a||b|=-ab 且 |a|-|b| ≥ 0 ? a 与 b 反向且
|a|-|b|≥0 ? 存在实数λ ∈(-1,0),使得 b=λ a.故选(C). 注:根据两个向量加减法则知:|a|,|b|与|a ? b|构成一个三角形,由三角形边的关系知||a|-|b||≤|a ? b|≤|a|+|b|, 当且仅当 a,b 共线时等号成立;特别地,当且仅当 a 与 b 同向时,|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|;当且仅当 a 与 b 反向 时,|a-b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a+b|.

[子题系列]:
1.(2010 年江西高考试题)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60 ,则|a-b|= 2.(2008 年上海高考试题)若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为
? ,则|a+b|= 3
0

. . .
0

3.(2008 年浙江高考试题)已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b(a-b)=0,则|b|的取值范围是

4.(2010 年浙江高考试题)已知平面向量 α ,β (α ≠0,α ≠β )满足|β |=1,且 α 与 β -α 的夹角为 120 ,则|α |的取值

376
范围是 . )

[母题]Ⅰ(12-04):模的意义(264)

5.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知 a,b 为非零的不共线的向量,设条件 M:b⊥(a-b);条件 N:对一切 x∈R, 不等式|a-xb|≥|a-b|恒成立.则 M 是 N 的( (A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充分而且必要条件 (D)既不充分又不必要条件 .

6.(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知向量 a 和 e 满足条件:a≠e 且 ae≠0,若对任意 t∈R,恒 有|a-te|≥|a-e|,则在 a,e,a+e,a-e 这四个向量中,一定有垂直关系的向量是 则 ae= . 7.(2010 年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若向量 a≠e,|e|=1,对任意的 t∈R,|a-te|≥|a-e|成立, 8.(2004 年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)两个非零向量 a,b 的夹角为θ ,则当 a+tb(t∈R)的模取最小 值时,t 的值是( ) (A)|a||b|cosθ (B)-|a||b|cosθ (C)|a| |b|

cosθ

(D))

|b| |a|

cosθ

9.(2014 年浙江高考试题)设θ 为两个非零向量 a、b 的夹角,已知对任意实数 t,|b+at|的最小值为 1.( 10.(2007 年浙江高考试题)(文)若非零向量 a,b 满足|a-b|=|b|,则( (A)|2b|>|a-2b| (A)|2a|>|2a+b| (B)|2b|<|a-2b| (B)|2a|<|2a+b| 11.(2007 年浙江高考试题)(理)若非零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则( )

(A)若θ 确定,则|a|唯一确定 (B)若θ 确定,则|b|唯一确定 (C)若|a|确定,则θ 唯一确定 (D)若|b|确定,则θ 唯一确定 (C)|2a|>|2a-b| ) (D)|2b|<|a+2b| ) (C)|2b|>|a+2b| (D)|2a|<|2a-b|

12.(2013 年湖南高考试题)已知 a,b 是单位向量,ab=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( (A)[ 2 -1, 2 +1] (B)[ 2 -1, 2 +2] (C)[1, 2 +1]

(D)[1, 2 +2]

[子题详解]:
0 1.解:令 OA =a, OB =b,则∠AOB=60 ? Δ ABO 是直角三角形 ? |a-b|=AB= 3 .

0 2.解:令 OA =a, OB =b,则∠AOB=60 ? Δ ABO 是直角三角形 ? AB= 3 ? |a+b|= 7 .

3.解:令 OA =a, OB =b,则∠AOB=90 ? |b|∈[0,1]. 4.解:令 OA =α , OB =β ,则| OB |=1,∠OAB=60 ,由 5.解:由|a-xb|≥|a-b| ? b⊥(a-b).故选(C). 6.解:由|a-te|≥|a-e| ? e⊥(a-e). 7.解:由|a-te|≥|a-e| ? e⊥(a-e) ? ae=e =1. 8.解:令 OA =b, OB =b, OT =-tb,过点 A 作 AH⊥OB 于 H,则 a+tb(t∈R)的模取最小值 AH,此时-tb= OH ;由| OH |=|a|cosθ
? t=|a| |b|
2 0

0

OA 1 2 3 2 3 = sinB∈(0, ]. ? OA= sin B sin 600 3 3

cosθ .故选(C).
1 .故选(B). sin ?
2 2

9.解:令 OA =b, OB =b, OT =-ta,过点 B 作 BH⊥OA 于 H,则 BH=1,∠AOB=θ ? |b|=

10.解:由|a-2b|=|(a-b)+(-b)|≤|a-b|+|b|=|b|+|b|=|2b|;若|a-2b|=2|b|,则 a -4ab=0,又由|a-b|=|b| ? a -2ab=0 ? a =0,矛盾,所以,|2b|>|a-2b|.故选(A). 11.解:由|a+2b|=|(a+b)+b|≤|a+b|+|b|=|b|+|b|=2|b|;又由|a+b|=|b| ? a 与 b 不共线 ? |(a+b)+b|≤|a+b|+|b|中的 等号不成立.故选(C). 12.解:由 1=|c-a-b|≥||c|-|a+b|| ? ||c|- 2 |≤1 ? |c|∈[ 2 -1, 2 +1].故选(A).
2


相关文章:
模块三活动4百分数的意义
​块​三​活​动​4​百​分​数​的​意​义 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档《百分数的意义》教案设计——模块三活动 教师行为...
根据四则运算的意义 构建应用题学习模型
的​意​义​ ​ ​构​建​应​用​题​学​习​...根据则运算的意义 构建应用题学习模型 郭琪琳 教学新教材两年最大的感觉就是...
模具的概念
为提高 具寿命综合技术,近期的目标是: ?对精密...1、解释模具失效的意义是什么?P16 答:提高模具的...4、材料本身的影响 模具工作条件、 模具材料、 影响...
研究报告第4期——浅思国外城镇化模式的借鉴意义
研究报告第4期——浅思国外城镇化模式的借鉴意义_社会学_人文社科_专业资料。走...即城市和城镇的人口和用地规 增加;三是城市生活方式,即城市生活的社会和行为...
若平面向量,,两两所成的夹角是120°,且满足||=1,||=2,|...
填空题 数学 向量数量积的含义及几何意义、向量模的计算 若平面向量,,两两所成的夹角是120°,且满足||=1,||=2,||=4,则|++|=___. 正确答案及相关...
青少年航模活动的教育意义
2、与通用技术课程的结合 3、与中小学体育课的结合 4、与语文课的结合 实验...套船模,就可亲手再现并“触摸”到那 一段段历史, 这该是一件多么有意义的...
光纤光学-第三章
三、数值孔径 、子午光线的时延差 1、渡越时间 2、模间色散 3、传输带宽 ...模场方程的特点;2、推导导模场解 1、导模场方程的特点;2、纵向场的物理意义...
...作用用行动诠释党的群众路线教育实践活动的意义
2014-4-28民二小学党的民二党员教师发挥先锋模范带头作用用行动诠释党的群众路线教育实践活动的意义_教学反思/汇报_教学研究_教育专区。民二党员教师发挥先锋模范带头...
1.1 模型和符号的建立与作用 教案4
1.1 模型和符号的建立与作用 教案4_科学_初中教育_教育专区。1.1教案内容(课题) :粒子的模型与符号(一) 教学目的 1、认识模型与符号的作用与意义; 2、知道...
模块1至模块4总结与反馈
​块​1​至​​块​4​总​结​与​反​馈...《百分数的意义》的教学设计;对网页制作软件 Frontpage 进行了学习与运用,并用它...
更多相关标签: