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4.模的意义


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(12-04):模的意义(264)

675

模的意义 [母题]Ⅰ(12-04): (2009 年浙江高考试题)设向量 a,b 满足:|a|=3,|b|=4,ab=0,以 a,b,a-b 的模为边长构成
三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( (A)3 (B)4 (C)5 ) (D)6

[解析]:由 ab=0 ? 以 a,b,a-b 的模为边长构成三角形是直角三角形,
且两直角边长分别为 3,4 ? 斜边长=5 ? 内切圆半径 r=1,此时只有三 个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点 不能实现.故选(B).

[点评]:向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,向量的模则是它的几何形式的代数度量,充分利用向量的几何形
式和向量模的几何意义是妙解向量模的问题的有力手段.

[子题](1): (2012 年辽宁高考试题)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(
(A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b|

)

(D)a+b=a-b

[解析]:因|a+b|与|a-b|分别表示以 a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度;由|a+b|=|a-b| ? 此平行四边形的
对角线相等 ? 此平行四边形为矩形 ? a⊥b.故选(B). 注:根据向量加减法和数乘向量的几何意义构造三角形或平行四边形是模的问题几何解法的基础,三角形或平行四边 形的性质是模的问题几何解法的工具.

[子题](2): (2005 年浙江高考试题)己知向量 a≠e,|e|=1 满足:对任意 t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则
(A)a⊥e (B)a⊥(a-e) (C)e⊥(a-e) (D)(a+e)⊥(a-e)

[解析]:令 OA =a, OB =e, OT =te,则点 T 是直线 OB 上的动点,且|AT|=|a-te|,由|a-te|≥
|a-e| ? |AT|的最小值为 AB,即 AB 是点 A 到直线 OB 的距离 ? AB⊥OB ? e⊥(a-e).故选(C). 注:由该题易知:①若两个非零向量 a,b 的夹角为θ,则当 t=
0 0 0

|a| |b|

cosθ时,|a-tb|取得最小
0

值|a|sinθ;②若两个非零向量 a,b 的夹角θ∈(0 ,90 )∪(90 ,180 ),则对任意 t∈R,|a-tb|≥|a-b|恒成立 ? b⊥(a-b)
? ab=|b| ? |a|cosθ=|b|.
2

[子题](3): (2012 年浙江高考试题)设 a,b 是两个非零向量.(
(A)若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b (C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a
2 2 2 2

)

(B)若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| (D)若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b|

[ 解析 ]: 由 |a+b|=|a|-|b| ? a +2ab+b =a -2|a||b|+b 且 |a|-|b| ≥ 0 ? |a||b|=-ab 且 |a|-|b| ≥ 0 ? a 与 b 反向且
|a|-|b|≥0 ? 存在实数λ ∈(-1,0),使得 b=λ a.故选(C). 注:根据两个向量加减法则知:|a|,|b|与|a ? b|构成一个三角形,由三角形边的关系知||a|-|b||≤|a ? b|≤|a|+|b|, 当且仅当 a,b 共线时等号成立;特别地,当且仅当 a 与 b 同向时,|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|;当且仅当 a 与 b 反向 时,|a-b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a+b|.

[子题系列]:
1.(2010 年江西高考试题)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60 ,则|a-b|= 2.(2008 年上海高考试题)若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为
? ,则|a+b|= 3
0

. . .
0

3.(2008 年浙江高考试题)已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b(a-b)=0,则|b|的取值范围是

4.(2010 年浙江高考试题)已知平面向量 α ,β (α ≠0,α ≠β )满足|β |=1,且 α 与 β -α 的夹角为 120 ,则|α |的取值

376
范围是 . )

[母题]Ⅰ(12-04):模的意义(264)

5.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知 a,b 为非零的不共线的向量,设条件 M:b⊥(a-b);条件 N:对一切 x∈R, 不等式|a-xb|≥|a-b|恒成立.则 M 是 N 的( (A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充分而且必要条件 (D)既不充分又不必要条件 .

6.(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知向量 a 和 e 满足条件:a≠e 且 ae≠0,若对任意 t∈R,恒 有|a-te|≥|a-e|,则在 a,e,a+e,a-e 这四个向量中,一定有垂直关系的向量是 则 ae= . 7.(2010 年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若向量 a≠e,|e|=1,对任意的 t∈R,|a-te|≥|a-e|成立, 8.(2004 年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)两个非零向量 a,b 的夹角为θ ,则当 a+tb(t∈R)的模取最小 值时,t 的值是( ) (A)|a||b|cosθ (B)-|a||b|cosθ (C)|a| |b|

cosθ

(D))

|b| |a|

cosθ

9.(2014 年浙江高考试题)设θ 为两个非零向量 a、b 的夹角,已知对任意实数 t,|b+at|的最小值为 1.( 10.(2007 年浙江高考试题)(文)若非零向量 a,b 满足|a-b|=|b|,则( (A)|2b|>|a-2b| (A)|2a|>|2a+b| (B)|2b|<|a-2b| (B)|2a|<|2a+b| 11.(2007 年浙江高考试题)(理)若非零向量 a,b 满足|a+b|=|b|,则( )

(A)若θ 确定,则|a|唯一确定 (B)若θ 确定,则|b|唯一确定 (C)若|a|确定,则θ 唯一确定 (D)若|b|确定,则θ 唯一确定 (C)|2a|>|2a-b| ) (D)|2b|<|a+2b| ) (C)|2b|>|a+2b| (D)|2a|<|2a-b|

12.(2013 年湖南高考试题)已知 a,b 是单位向量,ab=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( (A)[ 2 -1, 2 +1] (B)[ 2 -1, 2 +2] (C)[1, 2 +1]

(D)[1, 2 +2]

[子题详解]:
0 1.解:令 OA =a, OB =b,则∠AOB=60 ? Δ ABO 是直角三角形 ? |a-b|=AB= 3 .

0 2.解:令 OA =a, OB =b,则∠AOB=60 ? Δ ABO 是直角三角形 ? AB= 3 ? |a+b|= 7 .

3.解:令 OA =a, OB =b,则∠AOB=90 ? |b|∈[0,1]. 4.解:令 OA =α , OB =β ,则| OB |=1,∠OAB=60 ,由 5.解:由|a-xb|≥|a-b| ? b⊥(a-b).故选(C). 6.解:由|a-te|≥|a-e| ? e⊥(a-e). 7.解:由|a-te|≥|a-e| ? e⊥(a-e) ? ae=e =1. 8.解:令 OA =b, OB =b, OT =-tb,过点 A 作 AH⊥OB 于 H,则 a+tb(t∈R)的模取最小值 AH,此时-tb= OH ;由| OH |=|a|cosθ
? t=|a| |b|
2 0

0

OA 1 2 3 2 3 = sinB∈(0, ]. ? OA= sin B sin 600 3 3

cosθ .故选(C).
1 .故选(B). sin ?
2 2

9.解:令 OA =b, OB =b, OT =-ta,过点 B 作 BH⊥OA 于 H,则 BH=1,∠AOB=θ ? |b|=

10.解:由|a-2b|=|(a-b)+(-b)|≤|a-b|+|b|=|b|+|b|=|2b|;若|a-2b|=2|b|,则 a -4ab=0,又由|a-b|=|b| ? a -2ab=0 ? a =0,矛盾,所以,|2b|>|a-2b|.故选(A). 11.解:由|a+2b|=|(a+b)+b|≤|a+b|+|b|=|b|+|b|=2|b|;又由|a+b|=|b| ? a 与 b 不共线 ? |(a+b)+b|≤|a+b|+|b|中的 等号不成立.故选(C). 12.解:由 1=|c-a-b|≥||c|-|a+b|| ? ||c|- 2 |≤1 ? |c|∈[ 2 -1, 2 +1].故选(A).
2


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