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安徽省望江二中2016届高三复习班上学期第一次月考数学(理)试题


2016 届望江二中复习班开学第一次月考 理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题时 120 分钟,满分 150 分。 第Ⅰ卷(选择题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 一、选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.) 1.复数满足 z (1 ? i ) ? 2i ,则复数 Z 的实部与虚部之差为( ) A. ?

2 B. 2 C. 1 D. 0 2.若集合 M ? ?0,1, 2? , N ? ( A.9 ) B.6 C.4 D.2 )

?? x, y ? x ? 2 y ? 1 ? 0且x-2y-1 ? 0,x,y ? M? ,则 N 中的元素个数为

3.已知 p : a ? 2 , q : 直线 x ? y ? 0 与圆 x2 ? ( y ? a)2 ? 1 相切,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C. 充要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 )

4.设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和,公差 d ? ?2 ,若 S10 ? S11 ,则 a1 ? ( A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 )

5.设 a, b, c 依次是方程 2x ? x ? 0,log2 x ? 2 ? x,log 1 x ? x 的根,则(
2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a )

6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A.2 B.1 C.

2 3

D.

1 3

7. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 2 2
D. ? 4 )



A. ?2 B. 2 C. 4 8. 函数 y ? log a (| x | ?1), (a ? 1) 的大致图像是(

A

B

C

D

3 2 9. 已知 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 1 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ???2, ?1? , x2 ??1, 2? ,则 f (?1) 的取

值范围是(



A. ? ?

? 3 ? ,3 ? 2 ? ?

B. ? , 6 ? ?2 ?

?3

?

C. ?3,12?

D. ? ? ,12? ? 2 ?

? 3

?

10. 函数 f ? x ? 的定义域为 D,若对任意 x1 , x2 ? D ,当时都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称函数 f ? x ? 在 D 上为非减函数,设函数 f ? x ? 在 ?0,1? 上为非减函数,且满足以下三个条件:① f ? 0? ? 0 ;②

? x? 1 f ? ? ? f ? x ? ;③ f ?1 ? x ? ? 1 ? f ? x ? ,则 ?3? 2
A.

?1? f ? ?? ? 3?

?1? f ? ? 等于( ?8?
D.



3 4

B.

1 2

C. 1

2 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.运行如图的程序框图,输出的结果是______

12.设 (1- x)(1 + 2 x)5 = a0 + a1 x + a2 x2 + 鬃 ? a6 x6 ,则 a2 = 13 . 已 知 函 数 f ( x ) ?



f ( 2 )?

1 3 7 x ? a 2x 2? ax ? b , 当 x ? ?1 时 , 函 数 f ( x) 的 极 值 为 ? ,则 3 12

2 2

14.设 x ? 0, y ? 0, a ? x ? y, b ? xcos ? ? ysin ? ,则 a 与 b 的大小关系是
x



15 . 已 知 f

?1? 3 , 存 在 x2 ??0 , ? 2,使 ?? ? ? , m 若 对 任 意 的 x1 ?? ?1 , ? ? x? ? 2x, ?g ? x ?2? 。 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 m 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程) 16.(本小题共 12 分)对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ?

??1, x ? M ,对于两个集合 M , N ,定义集 ? 1, x ? M

合 M ? N ? x f M ( x) ? f N ( x) ? ?1 .已知 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , B ? ?1,3,9, 27,81? . (Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值,并用列举法写出集合 A ? B ; (Ⅱ)用 Card ( M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的最小 值; 2 2 17.(本小题共 12 分)已知命题 p:任意 x∈[1,2],x -a≥0;命题 q:存在 x0∈R,使得 x0+(a -1)x0+1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题共 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 19.(本小题共 12 分)设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n=2,3,4,?,)阶“期待 数列”:① a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 1. (1)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”; (2)若某 2k+1( k ? N * )阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; 20.(本小题 13 分)已知 a 为实数, x ? 1 是函数 f ( x) ?

?

?

1 c?b. 2

1 2 x ? 6 x ? a ln x 的一个极值点。 2 (1)若函数 f ( x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递减,求实数 m 的取值范围;
(2)设函数 g ( x) ? x ?

1 , 对于任意 x ? 0 和 x1 , x2 ? [1,5] , 有不等式 | ? g ( x) | ?5ln 5 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 恒 x 成立,求实数 ? 的取值范围.
21.(本小题 14 分)已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1的短轴 4

的端 其中

点分别为 A,B,直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,

1 点 M (m, ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2
(1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)用 m 表示点 E,F 的坐标; (3)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的值.

参考答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1~5 DCABD 2、解析:作出 ? 6~10 BCBCA

?x ? 2 y ?1 ? 0 所表示的区域,作出直线 x ? 0, x ? 1, x ? 2, y ? 0, y ? 1, y ? 2 ,数出 ? x ? 2 y ?1 ? 0

六条直线在区域内的交点个数即可。选 C。 5、解析:在同一坐标系中作出函数 y ? 2x , y ? ? x, y ? log 2 x, y ? 2 ? x, y ? log 1 x, y ? x ,容易知
2

道第一、二个函数图象的交点的横坐标是 a ,第三、四个函数图象的交点的横坐标是 b 第五、六个 函数图象的交点的横坐标是 c ,从图中可以看出有 b ? c ? a ,故选 D。 9、解析:因为 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 1 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ???2, ?1? , x2 ??1, 2?

?f ? ?f 所以 ? ?f ?f ?

' ? ?2 ? ? 0

?12 ? 8b ? c ? 0 ' ? ?1? ? 0 ? ?3 ? 4b ? c ? 0 即? ,画出可行域,因为 f (?1) ? 2b ? c ,容易求出 f (?1) 的取值 ' ?1? ? 0 ?3 ? 4b ? c ? 0 ? '? 2? ? 0 ?12 ? 8b ? c ? 0

范围为 ?3,12? ,故选 C 10、解析:∵ f ? 0? ? 0 , f ?1 ? x ? ? 1 ? f ? x ? ,∴ f ?1? ? 1,又 f ? ? ?

?1? ?3?

1 f ?1? 2

∴ f ? ??

?1? ?3?

1 ,又 f ?1 ? x ? ? 1 ? f ? x ? ,∴ 2

?1? 1 f ? ?? ?2? 2 ?1? 1 f ? ?? ?9? 2 ?1? 1 f ? ?? ?8? 4 ?1? 1 f ? ?? , ? 3? 4



1 1 1 ? ? ,∴ 9 8 6

?1? ?1? ?1? f ? ? ? f ? ? ? f ? ? ,而 ?9? ?8? ?6?

?1? 1 f ? ?? ?6? 2

1 ?1? 1 ?1? 1 f ? ? ? ,∴ ? f ? ? ? ,即 4 ?8? 4 ?2? 4 ?1? ?8? 1 1 3 ? ? ,故选 A 2 4 4
13.

∴ f ? ?? f ? ? ?

?1? ? 3?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 510 12. 30

5 3

14、 a ? b

15、

m?

1 4

1 ? 2a 2 ? a ? 1 ? 0 ? f '(?1) ? 0 ?a ? 1 ? ? ? ?a ? ? ? 13、解析:则已知得 ? ,解得 ? 2 7 即? 2 1 或? 1 f ( ? 1) ? ? b ? ? a ? a ? b ? ? 0 ? ? ? 12 ? ? 4 ? ?b ? ? 1 ? 4
1 ?a ? 1 ? ? ?a ? ? 容易知道当 ? 2 1 时, f ( x) 没有极值点,所以 ? b?? ? ? ? 4 ?b ? ? 1

? f ( x) ?

1 3 1 2 1 5 x ? x ? x ? 1,故 f (2) ? 3 4 2 3

14、解析: ? x ? 0, y ? 0, x ? x ? y, y ? x ? y

? xcos ? ? ( x ? y)cos ? , ysin ? ? ( x ? y)sin ?
? ?x ? y?
cos 2 ? ? sin 2 ?

2

2

2

2

b ? x cos ? ? y sin

2

2

?

? ? x ? y?

cos2 ?

?? x ? y?

sin 2 ?

? x ? y ? a ,故 a ? b
2

15、解析:由题可知: f ? x ?min 解得 m ?

?1? ? g ? x ?min , x1 ?? ?1,3? , x2 ??0, 2? ,可得 0 ? ? ? ? m ?2?

1 。 4
?????? 2 分 ?????? 6 分

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程) 16.解:(1) f A (2) ? ?1 , f B (2) ? 1

A ? B ? ?2, 4,5, 6,9, 27,81?

(2) X ? A ? {x x ? X ? A, x ? X ? A} , X ? B ? {x x ? X ? B, x ? X ? B} 要使 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的值最小, 则 1,3 一定属于集合 X , X 不能含有 A ? B 以外的元素, 所以当集合 X 为 ?2, 4,5, 6,9, 27,81? 的子集与集合 ?1,3? 的并集时, ?????? 12 分 17.解: p 真,则 a≤1, ?????? 2 分 q 真,则 Δ =(a-1)2-4>0,即 a>3 或 a<-1. ?????? 4 分 ∵“p 或 q”为真,p 且 q 为假, ∴p、q 中必有一个为真,另一个为假,?????? 6 分 ?a≤1 ? 当 p 真 q 假时,有? 得-1≤a≤1,??????????? 8 分 ? ?-1≤a≤3
?a>1 ? 当 p 假 q 真时,有? ?a>3或a<-1 ?

Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的值最小,最小值是 7

得 a>3,??????? 10 分

实数 a 的取值范围为-1≤a≤1 或 a>3. ???????? 12 分 18.解(1)由 a cos C ?

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

........2 分

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ? sin C ? ? cos A sin C ,? sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2 2? 又? 0 ? A ? ? ? A ? ????????5 分 3

(2)由正弦定理得: b ?

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

??????6 分

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3
????????9 分

? 1?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) 2 3 3 2 3

?A?

? 3 2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) , ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2 3 3 3 3 3
2 3 ? 1] 3
??????12 分

故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2,

19. 解:(1)数列 ?

1 1 , 0, 为三阶期待数列?????????????2 分 2 2

数列 ?

3 1 1 3 , ? , , 为四阶期待数列,??????5 分(其它答案酌情给分) 8 8 8 8
? 1) 的公差为 d ,

(2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2k ?1 (k

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ? 0 , ? (2k ? 1)a1 ?
即 ak ?1

2k (2k ? 1)d ? 0, 所以 a1 ? kd ? 0 , 2
?????????????7 分

? 0 , ? ak ?2 ? d ,

当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾, ???????????????10 分 当 d>0 时,据期待数列的条件①②得:

1 ak ? 2 ? ak ?3 ? ? ? a2 k ?1 ? , 2
? kd ?
k (k ? 1) 1 1 d ? ,即d ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 ? 0,即a1 ? ? , k (k ? 1) k ?1

? an ? ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ? ? (n ? N ? , n ? 2k ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k ???10 分

当 d<0 时, 同理可得 kd ?

k (k ? 1) 1 1 d ? ? ,即d ? ? 2 2 k (k ? 1)

由 ak ?1

? 0 得 a1 ? k ?

1 1 , ? 0,即a1 ? k (k ? 1) k ?1

? an ?

1 1 n 1 ? (n ? 1) ?? ? (n ? N ? , n ? 2n ? 1). k ?1 k (k ? 1) k (k ? 1) k ??12 分
?????1 分 ????3 分

20.解: f '( x) ? x ? 6 ? 首先 x ? 0 .

a x (1) f '(1) ? 0 ? 1 ? 6 ? a ? 0 ? a ? 5 .
得 f '( x) ? x ? 6 ?

5 x 2 ? 6 x ? 5 ( x ? 1)( x ? 5) . ? ? x x x 令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 5 即 f ( x) 的单调递减区间是 (1,5) . ????5 分 ? f ( x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递减, ? 2m ? 1 ? m ? 1 ? ?????7 分 ?1? m ? 2 . ? (2m ? 1, m ? 1) ? (1,5) ? ?2m ? 1 ? 1 ?m ? 1 ? 5 ? 1 2 (2)由(1), f ( x) ? x ? 6 x ? 5ln x ,列表如下: 2
x

(0,1)
?


1
0 极大值

(1,5)

5
0 极小值

(5, ??)
?


f '( x) f ( x)
则 f ( x)极大值 ? f (1) ? ?

?


11 35 , f ( x)极小值 ? f (5) ? ? ? 5ln 5 . ????9 分 2 2 11 35 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? ? ? (? ? 5ln 5) ? 12 ? 5ln 5 . 2 2 ? | ? g ( x) | ?5ln 5 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 恒成立 ?| ? g ( x) |? 12 恒成立. ????11 分 1 1 ?| g ( x) |?| x ? |?| x | ? ? 2 ,当且仅当 x ? ?1 时取等号, x | x|

?| ? g ( x) |min ?| 2? |? 12 ?| ? |? 6
? ? ? ?6 或 ? ? 6 .
21.解:(1)依题意知 a ? 2 , c ? (2)? A(0,1), B(0,?1) ,M (m, ???????13 分

3 ,? e ? 3 ;
2

????3 分

1 ),且 m ? 0 , 2

? 直线 AM 的斜率为 k1= ?

1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , 2m 2m 2m

3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

? x2 ? y 2 ? 1, 4m ? ? m m2 ? 1 ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 ,? x ? 0, x ? 2 ,?E ? 4 , 2 ?, 2 m ?1 1 m ? 1 m ?1 ? ? ?y ? ? x ? 1, 2m ?
? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 9 ? m2 x 2 ? 12mx ? 0 , ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

12m 12m 9 ? m2 ? ; ,?F ? , 2 2 ? 2 ? m ?9 ? m ?9 m ?9?

????8 分

(3)? S?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , 2 2 ?AMF ? ?BME ,

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,
| ME | | MF |

?

5m m ? , 4m 12m ? m ? m m2 ? 1 9 ? m2
2

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ?1) ? 0 , m ?1 m ? 9 2 2 又? m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ? m ? 1 ,? m ? ?1 为所求 ????14 分

? m ? 0 ,? 整理方程得


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