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河北省卓越联盟2016-2017学年高二上学期第二次月考数学(文)试题


2016-2017 学年度第一学期高二月考二试卷(文)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 22 题,共 150 分。考试结束,将答题卡交 回 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 3.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹 的签字笔书写,字体工整、笔 迹

清楚。 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效。 5.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑。
[来源:学*科*网]

6.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角为( A. ) C.

? 3

B.

? 6


2? 3

D.

5? 6

2.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCO ? A?B?C ?D? , A?C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为(

A.

a

B.

a

C.a

D. a )

3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

4.圆 C : x2 ? y 2 ? mx ? 4 ? 0 上存在两点关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称,则实数 m 的值为( A. 6 B.-4 C.8 D.无法确定



5.三 棱 锥 S ? A B C及 其 三 视 图 中 的 正 视 图 和 侧 视 图 如 图 所 示 ,则 棱 SB 的 长 为(



A . 16 3

B.

38

C. 4 2

D . 2 11 )

6.设 l , m, n 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列判断正确的是( A.若 l ? m, m ? n ,则 l / / n C.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m / / ? B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / /? D.若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ?

7.已知底面边长为 1,侧棱长为 2 的正四棱柱 的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积 为( A. ) B. 4? C. 2? D.

4? 3

32? 3
) D. ?0, ? ? [

8.直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围( A. [0,

5? ] 6

B. [

? ?

? 5? , )?( , ] 6 2 2 6


C. ? , ? 6 6

? ? 5? ? ? ?

? ?? ? 6?

5? ,? ) 6

[来源:Zxxk.Com]

9.下列推断错误的个数是(

2 2 ①命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” 2 2 ②命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:若“ x ? 1 ,则 x ? 1 ” 2 ③“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

④若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 A.1 B.2 C.3
2

D.4

2 2 10. 方程 x x ? y ? 4 ? 0 与 x ? x ? y ? 4

?

?

?

2

2

?

2

? 0 表示的曲线是(



A.都表示一条直线和一个圆

B.都表示两个点 C.前者是两个点,后者是一直线和一个圆 D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点 11.若直线 l1 : y ? kx ? 1 与 l2 : x ? y ? 1 ? 0 的交点在第一象限内,则 k 的取值范围是( ) A. k ? 1 B. ?1 ? k ? 1
2 2 2

C. k ? ?1或k ? 1

D. k ? ?1

12.点 M ? x0 , y0 ? 是圆 x ? y ? a 系是( A.相切 ) B.相交

? a ? 0? 外一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a2 与该圆的位置关
C.相离 第 II 卷(非选择题) D.相切或相交

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.圆 x 2 ? y 2 ? 1上 的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值是 .

14.已知直线 ? a ? 2? x ? y ? a ? 0 ? a ? R ? 在两坐标轴上的截距互为相反数,则实数 a 的值 等于__________. 15.在如图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为______

16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接 雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸, 则平地降雨量是 寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题 10 分) (1)求过直线 x-2y+3=0 和 2x+y-4=0 的交点,斜率为 1 的直线方程; (2)过点 A(?1,2) 的直线 l 的倾斜角 ? 是直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? 的 2 倍, 求直线 l 的方程.

18. (本题 12 分)如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,E、F 分别是 AB、PD 的中点, ∠ADP=45°.

(1)求证:AF∥平面 PCE. (2)求证:平面 PCD⊥平面 PCE. (3)若 AD=2,CD=3,求点 F 到平面 PCE 的距离. 19. (本题 12 分)已知直线 l1 : x ? a y ? 1 ? 0 和直线 l 2 : (a ? 1) x ? by ? 3 ? 0 .
2 2

(1)若 b ? ?12 , l1 // l2 ,求 a 的值; (2)若 l1 ? l2 ,则 a ? b 的最小值. 20.(本题 12 分) 如图, 已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 且侧棱 PC⊥底面 ABCD, 且 PC=2,E 是侧棱 PC 上的动点 (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)证明:BD⊥AE。 (3)求二面角 P-BD-C 的正切值。
P

E

D

C

A

B
[来源:学_科_网]

21.(本题 12 分) 已知圆 x 2 ? y 2 ? 4ax ? 2ay ? 20(a ?1) ? 0 . (1)求证:对任意实数 a ,该圆恒过一定点; (2)若该圆与圆 x 2 ? y 2 ? 4 外切,求 a 的值.

22. (本题 12 分) 已 知 圆 心 在 x 轴 正 半 轴 上的 圆 C 与 直 线 5x ? 12y ? 21 ? 0相 切 , 与 y 轴交 于 M , N 两 点 , 且

?MCN ? 120? .
(1)求圆 C 的标准方程; (2)过 点 P (0, 2) 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A, B ,若设点 G 为 ?OAB 的重心,当 ?MNG 的 面积为 3 时,求直线 l 的方程.
y P M A

B O N C x

2016-2017 学年度第一学期高二月考二答案(文)
一、DBCAC 二、4 DAD BD BB

0 或1

? 3

3

17.解: (1)联立方程组 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 解得 x=1,y=2 ?x ? 2 y ? 3 ? 0

???? 2 分 ????5 分

所以直 线方程为 y-2=1×(x-1) ,即为:x-y+1=0. (2) k1 ? tan? ? 2 , k ? tan ? ? tan 2? ?

2 tan ? 4 4 ? ? ? ????8 分 2 1 ? tan ? 1 ? 4 3

4 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即: 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ????10 分 3

18.解: (1)证明:设 M 为 PC 中点,连接 ME、MF. 1 1 1 1 则 MF∥ CD,MF= CD,AE∥ CD,AE= CD 2 2 2 2 ∴MF∥AE,MF=AE∴四边形 AEMF 为平行四边形.????2 分 ∴AF∥ME,又∵ME?平面 PCE,AF?平面 PCE ∴AF∥平面 PCE. ????4 分 (2)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∠PDA=45°, ∴△PAD 为等腰直角三角形,∵PF=FD,∴AF⊥PD,又∵PA⊥平面 ABCD,PA?平面 PAD, ∴平面 PAD ⊥平面 ABCD . ????6 分 ∵平面 PAD∩平面 ABCD=AD, CD⊥AD,CD?平面 ABCD. ∴CD⊥平面 PAD,∴AF⊥CD, 又∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面 PCD. ∵EM∥AF, ∴EM⊥平面 PCD. ∵EM?平面 PCE, ∴平面 PCE⊥平面 PCD. ????8 分 (3)过点 F 作 FG⊥PC,交 PC 于 G,∵平面 PCE⊥平面 PCD,∴FG⊥平面 PCE,即 FG 为点 F 到 平面 PCE 的距离.????10 分 在 Rt△PCD 中,PD=2 2,PC= 17.

PF FG ∵△PFG∽△PCD,∴ = , PC CD ∴FG=3 34 .????12 分 17

19.解:(1)由 l1 // l2 得: a 2 (a 2 ? 1) ? b ? 0 ,即 a 4 ? a 2 ? 12 ? 0 ,????2 分 解得: a ? ? 3 ????4 分 (2)由 l1 ? l2 得: (a 2 ? 1) ? a 2b ? 0 , (显然 a ? 0 )????6 分
[来源:学.科.网]

b?

a2 ?1 ,????8 分 a2

a ?b ? a ?

a2 ?1 1 ? a ? ????10 分 2 a a
1 ? 2 ,故 ab min ? 2 ????12 分 a

由双勾函数可得: a ?

20.解: (1)该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. ∴ VP ? ABCD ?

1 2 S? ABCD ? PC ? 3 3

????4 分

(2)连结 AC,∵ABCD 是正方形 ∴BD⊥AC ∵PC⊥底面 ABCD 且 BD ? 平面 ABCD 又∵ AC ? PC ? C ∴BD⊥平面 PAC ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC ∴BD⊥AE
[来源:学科网]

∴BD⊥PC ????6 分

????8 分

(3)设 AC ,BD 相交于 O ,连 PO ,由四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PC⊥底面 ABCD

知, ?POC 是二面角 P-BD-C 的的一个平面角, ????10 分

tan ?POC ?

PC ? 2 2 ,即二面角 P-BD-C 的正切值为 2 2 .????12 分 OC

21.解:(1)将圆的方程整理 为(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,????3 分
2 2 ? ? ?x +y -20=0, ?x=4, ? 令 可得? 所以该圆恒过定点(4,-2).????6 分 ? ? ?-4x+2y+20=0 ?y=-2,

(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5a2-20a+20=5(a-2)2, 所以圆心为(2a,a),半径为 5|a-2|. ∵两圆外切, ????8 分

∴ ?2a-0?2+?a-0?2=2+ 5|a-2|,

即 5|a|=2+ 5|a-2|,????10 分 由此解得 a=1+ ∴ 5 5 . ????12 分

5 两圆外切时 a=1+ 5

22.解: (1)由题意知圆心 C (a, 0) ,且 a ? 0 ,
0 ? 由 ?MCN ? 120 知 Rt ?MCO 中, ?MCO ? 60 , | OC |? a ,则 | CM |? 2a ,

于是可设圆 C 的方程为 ( x ? a) ? y ? 4a
2 2

2

????2 分

又点 C 到直线 5x ? 12 y ? 21 ? 0 的距离为 d ? 所以 a ? 1 或 a ? ?

| 5a ? 21| ? 2a , 13

21 (舍) , 31
2 2

故圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 4 .????4 分

1 | MN || xG |? 3 | xG |? 3 ,所以 | xG |? 1. 2 x ? x2 ? 0 若设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 xG ? 1 ,即 x1 ? x2 ? 3xG ,????6 分 3
(2) ?MNG 的面积 S ? 当直线 l 斜率不存在时, ?ABO 不存在, 故可设直线 l 为 y ? kx ? 2 ,代入圆 C 的方程 ( x ? 1) ? y ? 4 中,
2 2

可得 (1 ? k ) x ? (4k ? 2) x ? 1 ? 0 ,????8 分
2 2

4 ? k ? 0或k ? ?? ? 0 ? ? ? 3 则? ????10 分 2 ? 4k ,即 ? 2 ? 4k x1 ? x2 ? ? ? 2 x ?x ? =?3 1? k ? ? 1 2 1? k 2 ?
得 k ? ?1 或 k ? ? , 故满足条件的直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 或 y ? ?

1 3

1 x ? 2 .????12 分 3


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