当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

关于两道数学竞赛题的探究


20

中 等 数 学

专题写作

关于两道数学竞赛题的探究

( 陕西省西安市第一中学 ,710082)

1 a , , 是正实数 . 证明 : 题 设 b c ( 2 a + b + c) 2 (2 b + c + a) 2 2 2 + 2 2 + 2 a

+ ( b + c) 2 b + ( c + a) ( 2 c + a + b) 2 ≤ 8. 2 2 2 c + ( a + b) ( 2003 ,美国数学奥林匹克)

同理 ,

( 2 b + c + a) 2 ≤1 12 b 4+ , 2 s ( c + a) 2 3 2b +



( 2 c + a + b) 2 ≤1 12 c 4+ . 2 2 3 s 2 c + ( a + b)

题 2 a , , 是正实数 ,且满足 a + b + 设 b c c = 3. 证明 : 2 2 a +9 b +9 2 2 + 2 2 + 2 a + ( b + c) 2 b + ( c + a)
c +9 ≤ 5. 2 2 2 c + ( a + b)
2

故式 ① 不等式左边 ≤1 12 + 12 ( a + b + c) 3 s

=8 =4× 2.

当且仅当 a = b = c 时 ,上式等号成立 . 那么 ,当有四个字母时呢 ? 我们有 : 若 a , , , 都是正实数 ,则 b c d (3 a + b + c + d) 2 (3 b + c + d + a) 2 2 2 + 2 2 + 3 a + ( b + c + d) 3 b + ( c + d + a)
( 3 c + d + a + b) 2 ( 3 d + a + b + c) 2 2 2 + 2 2 3 c + ( d + a + b) 3 d + ( a + b + c)



( 第 2 届中国北方数学邀请赛)

题 2 可以看作是题 1 的改编 . 先对题 1 进行探究 . 不妨记 a + b + c = s . 则 ( 2 a + b + c) 2 ( a + s) 2 2 2 = 2 2 2 a + ( b + c) 2 a + ( s - a) 2 2 a + 2 as + s = 2 2 3 a - 2 as + s 2 2 1 a + 2 as + s = · 2 3 2 as s 2 a + 3 3 2 8 as 2 s + 3 3 1 1+ = 2 2 3 s 2s a+ 3 9 2 8 as 2 s + 1 ≤ 1+ 3 2 3 3 2s 9 1 12 a = 4+ . 3 s
收稿日期 :2007 - 07 - 04

≤ 12. 证明 : 记 s = a + b + c + d . 则 (3 a + b + c + d) 2 2 2 3 a + ( b + c + d)
= = (2 a + s) 2 2 3 a + ( s - a)
2 2



4 a + 4 as + s 2 2 4 a - 2 as + s 3 as 2
as
2

2

=1 +

4

+

3s 16

2

3 as ≤ + 22 = 1 + 8 a . 1 s 3s 16

同理 ,

(3 b + c + d + a) 2 ≤ 8 b 1+ , 2 2 s 3 b + ( c + d + a)

( 3 c + d + a + b) 2 ≤ 8 c 1+ , 2 2 s 3 c + ( d + a + b)

2008 年第 8 期

21

( 3 d + a + b + c) 2 ≤ 8 d 1+ . 2 2 s 3 d + ( a + b + c)

故式 ③ 不等式左边 ≤ + 8 ( a + b + c + d) = 12 = 4 × 4 3.
s

证明 : 事实上 , 2 2 2 2 ai + s ai + s 2 2 = 2 2 ( n - 1) a i + ( s - ai ) na i - 2 sai + s
ai + s = · n 2 sai s2 2 ai + n n

1

2

2

当且仅当 a = b = c = d 时 , 上式等号 成立 . 下面讨论题 2. 记 s = a + b + c. 则 2 2 2 a +9 a + ( a + b + c) = 2 2 2 2 2 a + ( b + c) 2 a + ( s - a)
=
a +s 2 3 a - 2 as + s
2 2 2

=

1
n

ai -

2

2 sai

·

n n 2 sai s2 2 ai + n n

+

s n

2

+

2 sai

+

n- 12 s n

2 sai = 1
n

1+

n s ai n

+
2

n- 12 s n ( n - 1) s2 + 2 n

=

1 · 3

a -

2

2 sa s 2 sa 2 s + + + 3 3 3 3 2 2 sa s 2 a + 3 3 2 sa 2 s + 3 3
as
2 2

2

2

2 sai

≤1

n

1+

n

n- 12 s n 2 ( n - 1) s 2 n

+

=

1 1+ 3

= 2s 9
2

1
n

n +1 +

2 nai ( n - 1) s

3
2

+

=

2 sa 2 s + 1 ≤ 1+ 3 2 3 3 2s 9 = 1 3a 4+ . 3 s
2

2 ai n +1 + . ( n - 1) s n
n i =1





ai + s ( n - 1) a2i + ( s - ai ) 2
n

2

2

≤n + 1 +
= n +1 + = n +1 +

i =1

∑ ( n - 1) s
n i =1

2 ai

b +9 ≤1 4 + 3 b , 同理 , 2 2 3 s 2 b + ( c + a) c +9 ≤1 4 + 3 c . 2 2 3 s 2 c + ( a + b)
2

2 ( n - 1) s

∑a

i

2 n +1 = . n- 1 n- 1

2

故式 ② 不等式左边 ≤1 4 + 3 a + 1 4 + 3 b + 1 4 + 3 c 3 s 3 s 3 s a+ b+ c =4 + = 5.
s

因此 ,所证不等式成立 . 综上 ,得到 : 命题 a1 , a2 , …, an ∈R+ , n ≥ , n ∈ 设 3
n

N ,且 s =

当且仅当 a = b = c 时 ,上式等号成立 . 一般地 ,我们提出 : 若 a1 , a2 , …, an ∈R+ , n ≥3 , n ∈N , 且
n

i =1

∑a .
i

( 1) 当 n = 3 ,4 时 ,有
n k=1


n

[ s + ( n - 2) ak ] ≤ ( n - 1) . 4 ( n - 1) a2k + ( s - ak ) 2
2 ak + s ≤n + 1 . 2 2 n- 1 ( n - 1) a k + ( s - ak ) 2 2

2

s=

k=1

∑a
n i =1

k

,则
ai + s
2
i

( 2) 当 n ≥ , n ∈N 时 ,有 3
2

∑( n - 1) a

≤n + 1 . n- 1 + ( s - ai )
2

2

2

k=1



相关文章:
75人参加一次数学竞赛,其中第一道题做错的有39人,第二...
75人参加一次数学竞赛,其中第一道题做错的有39人,第二道题做错的有26人,第一道题和第二道题都做对的有16人,那么这两道题都做错的有()。...
二年级数学智力竞赛题
二年级数学智力竞赛题_学科竞赛_小学教育_教育专区。二年级数学智力竞赛题 一、...3、二(1)班老师出了两道数学题,做第一题的有 15 人,做第二题的有 ...
趣味数学124:两道世界名题
趣味数学124:两道世界名题_学科竞赛_小学教育_教育专区。两道世界名题这里介绍...有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、 自主探索与合作交流是...
测评网数学竞赛-小学二年级下册奥数试题
3、二(1)班老师出了两道数学题,做第一题的有 15 人,做第二题的有 ...教学研究,在线教学,在 线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线...
小学三、四年级数学竞赛训练题
小学三、四年级数学竞赛训练题_学科竞赛_小学教育_教育专区。小学三、四年级数学...两道题都做了的同学有 几名? 42. 丁老师出了两道数学题给数学兴趣小组的...
两道初中数学全国联赛试题新解
两道初中数学全国联赛试题新解_学科竞赛_初中教育_教育专区。两道全国联赛试题的...两道全国联赛试题的新解湖北武钢实验学校 范有根 1, (2005 全国联赛)题目:在...
一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广
贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了此题...联立①②可得关于 x 的一元二次方程: (a 4 n2...个应用—谈谈两道竞赛题的解法》.数学通报,1994 年...
三年级数学比赛题2015-2016
2015-2016 学年亭江片区数学解决问题竞赛 (三年级卷)学校:班级:___姓名:成绩...(每题 10 分,共 50 分) 1、三(1)班老师出了两道数学题,做第一题的...
75人参加一次数学竞赛,其中第一道题做错的有39人,第二...
75人参加一次数学竞赛,其中第一道题做错的有39人,第二道题做错的有26人,第一道题和第二道题都做对的有16人,那么这两道题都做错的有()。 A.26人 B.69...
双桥区职称论文发表-初中数学应用活动探究论文选题题目
问题引领思考 任务驱动研究 合作促进共赢——对一次初中数学教研组校本研修活 动...对两道竞赛题原型的研究 95……初中数学主题式教学实验研究 96……新课程改革...
更多相关标签:
某次数学竞赛共20道题 | 某数学竞赛共有20道题 | 数学竞赛共有10道题 | 一次数学竞赛共十道题 | 某次数学竞赛共10道题 | 一次数学竞赛有10道题 | 数学竞赛共有20道题 | 一次数学竞赛共16道题 |