当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

关于两道数学竞赛题的探究


20

中 等 数 学

专题写作

关于两道数学竞赛题的探究

( 陕西省西安市第一中学 ,710082)

1 a , , 是正实数 . 证明 : 题 设 b c ( 2 a + b + c) 2 (2 b + c + a) 2 2 2 + 2 2 + 2 a

+ ( b + c) 2 b + ( c + a) ( 2 c + a + b) 2 ≤ 8. 2 2 2 c + ( a + b) ( 2003 ,美国数学奥林匹克)

同理 ,

( 2 b + c + a) 2 ≤1 12 b 4+ , 2 s ( c + a) 2 3 2b +



( 2 c + a + b) 2 ≤1 12 c 4+ . 2 2 3 s 2 c + ( a + b)

题 2 a , , 是正实数 ,且满足 a + b + 设 b c c = 3. 证明 : 2 2 a +9 b +9 2 2 + 2 2 + 2 a + ( b + c) 2 b + ( c + a)
c +9 ≤ 5. 2 2 2 c + ( a + b)
2

故式 ① 不等式左边 ≤1 12 + 12 ( a + b + c) 3 s

=8 =4× 2.

当且仅当 a = b = c 时 ,上式等号成立 . 那么 ,当有四个字母时呢 ? 我们有 : 若 a , , , 都是正实数 ,则 b c d (3 a + b + c + d) 2 (3 b + c + d + a) 2 2 2 + 2 2 + 3 a + ( b + c + d) 3 b + ( c + d + a)
( 3 c + d + a + b) 2 ( 3 d + a + b + c) 2 2 2 + 2 2 3 c + ( d + a + b) 3 d + ( a + b + c)



( 第 2 届中国北方数学邀请赛)

题 2 可以看作是题 1 的改编 . 先对题 1 进行探究 . 不妨记 a + b + c = s . 则 ( 2 a + b + c) 2 ( a + s) 2 2 2 = 2 2 2 a + ( b + c) 2 a + ( s - a) 2 2 a + 2 as + s = 2 2 3 a - 2 as + s 2 2 1 a + 2 as + s = · 2 3 2 as s 2 a + 3 3 2 8 as 2 s + 3 3 1 1+ = 2 2 3 s 2s a+ 3 9 2 8 as 2 s + 1 ≤ 1+ 3 2 3 3 2s 9 1 12 a = 4+ . 3 s
收稿日期 :2007 - 07 - 04

≤ 12. 证明 : 记 s = a + b + c + d . 则 (3 a + b + c + d) 2 2 2 3 a + ( b + c + d)
= = (2 a + s) 2 2 3 a + ( s - a)
2 2



4 a + 4 as + s 2 2 4 a - 2 as + s 3 as 2
as
2

2

=1 +

4

+

3s 16

2

3 as ≤ + 22 = 1 + 8 a . 1 s 3s 16

同理 ,

(3 b + c + d + a) 2 ≤ 8 b 1+ , 2 2 s 3 b + ( c + d + a)

( 3 c + d + a + b) 2 ≤ 8 c 1+ , 2 2 s 3 c + ( d + a + b)

2008 年第 8 期

21

( 3 d + a + b + c) 2 ≤ 8 d 1+ . 2 2 s 3 d + ( a + b + c)

故式 ③ 不等式左边 ≤ + 8 ( a + b + c + d) = 12 = 4 × 4 3.
s

证明 : 事实上 , 2 2 2 2 ai + s ai + s 2 2 = 2 2 ( n - 1) a i + ( s - ai ) na i - 2 sai + s
ai + s = · n 2 sai s2 2 ai + n n

1

2

2

当且仅当 a = b = c = d 时 , 上式等号 成立 . 下面讨论题 2. 记 s = a + b + c. 则 2 2 2 a +9 a + ( a + b + c) = 2 2 2 2 2 a + ( b + c) 2 a + ( s - a)
=
a +s 2 3 a - 2 as + s
2 2 2

=

1
n

ai -

2

2 sai

·

n n 2 sai s2 2 ai + n n

+

s n

2

+

2 sai

+

n- 12 s n

2 sai = 1
n

1+

n s ai n

+
2

n- 12 s n ( n - 1) s2 + 2 n

=

1 · 3

a -

2

2 sa s 2 sa 2 s + + + 3 3 3 3 2 2 sa s 2 a + 3 3 2 sa 2 s + 3 3
as
2 2

2

2

2 sai

≤1

n

1+

n

n- 12 s n 2 ( n - 1) s 2 n

+

=

1 1+ 3

= 2s 9
2

1
n

n +1 +

2 nai ( n - 1) s

3
2

+

=

2 sa 2 s + 1 ≤ 1+ 3 2 3 3 2s 9 = 1 3a 4+ . 3 s
2

2 ai n +1 + . ( n - 1) s n
n i =1





ai + s ( n - 1) a2i + ( s - ai ) 2
n

2

2

≤n + 1 +
= n +1 + = n +1 +

i =1

∑ ( n - 1) s
n i =1

2 ai

b +9 ≤1 4 + 3 b , 同理 , 2 2 3 s 2 b + ( c + a) c +9 ≤1 4 + 3 c . 2 2 3 s 2 c + ( a + b)
2

2 ( n - 1) s

∑a

i

2 n +1 = . n- 1 n- 1

2

故式 ② 不等式左边 ≤1 4 + 3 a + 1 4 + 3 b + 1 4 + 3 c 3 s 3 s 3 s a+ b+ c =4 + = 5.
s

因此 ,所证不等式成立 . 综上 ,得到 : 命题 a1 , a2 , …, an ∈R+ , n ≥ , n ∈ 设 3
n

N ,且 s =

当且仅当 a = b = c 时 ,上式等号成立 . 一般地 ,我们提出 : 若 a1 , a2 , …, an ∈R+ , n ≥3 , n ∈N , 且
n

i =1

∑a .
i

( 1) 当 n = 3 ,4 时 ,有
n k=1


n

[ s + ( n - 2) ak ] ≤ ( n - 1) . 4 ( n - 1) a2k + ( s - ak ) 2
2 ak + s ≤n + 1 . 2 2 n- 1 ( n - 1) a k + ( s - ak ) 2 2

2

s=

k=1

∑a
n i =1

k

,则
ai + s
2
i

( 2) 当 n ≥ , n ∈N 时 ,有 3
2

∑( n - 1) a

≤n + 1 . n- 1 + ( s - ai )
2

2

2

k=1



相关文章:
中学数学
中学数学。《中学数学》2008 年第 1~22 期目录第1期 1 从欧拉的“错误”...对一道全国竞赛试题的探究/李耀文//2—14-16 8 谈一道课本习题到两道竞赛题...
两道竞赛题
两道竞赛题_一年级数学_数学_小学教育_教育专区。[Everything系列-奥数冲刺]高中数学竞赛权威辅导资料之一 学科:奥化 教学内容:两道竞赛题 1.由某物质 R 和 Na...
75人参加一次数学竞赛,其中第一道题做错的有39人,第二...
75人参加一次数学竞赛,其中第一道题做错的有39人,第二道题做错的有26人,第一道题和第二道题都做对的有16人,那么这两道题都做错的有( )。...
趣味数学124:两道世界名题
趣味数学124:两道世界名题_学科竞赛_小学教育_教育专区。两道世界名题这里介绍...有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、 自主探索与合作交流是...
2013届物理优秀试题赏析
对一道初中数学竞赛题的... 6页 2下载券 一道中考题的思考 3页 免费 两道数学竞赛题的推广 1页 免费 一道中考题的探究 3页 免费 两道2008年浙江省竞赛题...
75人参加一次数学竞赛,其中第一道题做错的有39人,第二...
75人参加一次数学竞赛,其中第一道题做错的有39人,第二题做错的有26人,第一题和第二题都做对的有16人,那么这两道题都做错的有( )。...
二年级数学智力竞赛题
二年级数学智力竞赛题_学科竞赛_小学教育_教育专区。二年级数学智力竞赛题 一、...3、二(1)班老师出了两道数学题,做第一题的有 15 人,做第二题的有 ...
二年级数学竞赛题
二年级数学竞赛题 (八) 姓名: 评分: 1、把这两道算式改写成一道算式 8+22=30,54-30=24, 36 ÷ 4 = 9 12 + 8 = 20 12 + 9 = 21 20 ÷ 5 ...
两道初中数学全国联赛试题新解
两道初中数学全国联赛试题新解_学科竞赛_初中教育_教育专区。两道全国联赛试题的...两道全国联赛试题的新解湖北武钢实验学校 范有根 1, (2005 全国联赛)题目:在...
2010年(第十届)高中生数学论文竞赛评奖公告
2010 年(第十届)高中生数学论文竞赛评奖公告为了反映学生的学习成果,鼓励学生的...( 18 )班 张长梅 一道 双曲 线问 题的 探究 黄健 林 福建省 龙岩 ...
更多相关标签:
某次数学竞赛共20道题 | 数学竞赛共有10道题 | 某数学竞赛共有20道题 | 数学竞赛共有20道题 | 某次数学竞赛共10道题 | 数学竞赛共20道题 | 一次数学竞赛共5道题 | 一次数学竞赛有10道题 |