关于两道数学竞赛题的探究

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中 等 数 学

专题写作

关于两道数学竞赛题的探究
张 　　
( 陕西省西安市第一中学 ,710082)

　　 题1　 设 a、 b、 c 是正实数 . 证明 : 2 ( 2 a + b + c) (2 b + c + a) 2 2 2 + 2 2 + 2 a + ( b + c) 2 b + ( c + a) ( 2 c + a + b) 2 ≤ 8. 2 2 2 c + ( a + b) ( 2003 ,美国数学奥林匹克)

同理 ,

( 2 b + c + a) 2 ≤1 12 b 4+ , 2 2 3 s ( ) 2b + c + a

①

( 2 c + a + b) 2 ≤1 12 c 4+ . 2 2 3 s 2 c + ( a + b)

题2　 设 a、 b、 c 是正实数 ,且满足 a + b + c = 3. 证明 : 2 2 a +9 b +9 2 2 + 2 2 + 2 a + ( b + c) 2 b + ( c + a)
c +9 ≤ 5. 2 2 2 c + ( a + b)
2

故式 ① 不等式左边 ≤1 12 + 12 ( a + b + c) 3 s

=8 =4× 2.

当且仅当 a = b = c 时 ,上式等号成立 . 那么 ,当有四个字母时呢 ? 我们有 : 若 a、 b、 c、 d 都是正实数 ,则 (3 a + b + c + d) 2 (3 b + c + d + a) 2 2 2 + 2 2 + 3 a + ( b + c + d) 3 b + ( c + d + a)
( 3 c + d + a + b) 2 ( 3 d + a + b + c) 2 2 2 + 2 2 3 c + ( d + a + b) 3 d + ( a + b + c)

②

( 第 2 届中国北方数学邀请赛)

题 2 可以看作是题 1 的改编 . 先对题 1 进行探究 . 不妨记 a + b + c = s . 则 ( 2 a + b + c) 2 ( a + s) 2 2 2 = 2 2 2 a + ( b + c) 2 a + ( s - a) 2 2 a + 2 as + s = 2 2 3 a - 2 as + s 2 2 1 a + 2 as + s = ? 2 3 2 as s 2 a + 3 3 2 8 as 2 s + 3 3 1 1+ = 2 2 3 s 2s a+ 3 9 2 8 as 2 s + 1 ≤ 1+ 3 2 3 3 2s 9 1 12 a = 4+ . 3 s
　　 收稿日期 :2007 - 07 - 04

≤ 12. 证明 : 记 s = a + b + c + d . 则 (3 a + b + c + d) 2 2 2 3 a + ( b + c + d)
= = (2 a + s) 2 2 3 a + ( s - a)
2 2

③

4 a + 4 as + s 2 2 4 a - 2 as + s 3 as 2
as

2

=1 +

2

4

+

3s 16

2

3 as 2 8a ≤ 1+ . 2 =1 + s 3s 16

同理 ,

(3 b + c + d + a) 2 ≤ 8 b 1+ , 2 2 s 3 b + ( c + d + a)

( 3 c + d + a + b) 2 ≤ 8 c 1+ , 2 2 s 3 c + ( d + a + b)

2008 年第 8 期

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( 3 d + a + b + c) 2 ≤ 8 d 1+ . 2 2 s 3 d + ( a + b + c)

故式 ③ 不等式左边 8 ( a + b + c + d) ≤ 4+ = 12 = 4 × 3.
s

证明 : 事实上 , 2 2 2 2 ai + s ai + s 2 2 = 2 2 ( n - 1) a i + ( s - ai ) na i - 2 sai + s
ai + s = ? n 2 sai s2 2 ai + n n

1

2

2

当且仅当 a = b = c = d 时 , 上式等号 成立 . 下面讨论题 2. 记 s = a + b + c. 则 2 2 2 a +9 a + ( a + b + c) = 2 2 2 2 2 a + ( b + c) 2 a + ( s - a)
=
a +s 2 3 a - 2 as + s
2 2 2

=

1
n

ai -

2

2 sai

?

n n 2 2 sa i s 2 ai + n n

+

s n

2

+

2 sai

+

n- 12 s n

2 sai = 1
n

1+

n s ai n

+
2

=

1 ? 3

a -

2

2 sa s 2 sa 2 s + + + 3 3 3 3 2 2 sa s 2 a + 3 3 2 sa 2 s + 3 3
as
2 2

2

2

n- 12 s n ( n - 1) s2 + 2 n

2 sai

≤1

n

1+

n

n- 12 s n 2 ( n - 1) s 2 n

+

=

1 1+ 3

3
2

+

2s 9

2

= =

1
n

n +1 +

2 nai ( n - 1) s

2 sa 2 s + 1 ≤ 1+ 3 2 3 3 2s 9 = 1 3a 4+ . 3 s
2

2 ai n +1 + . ( n - 1) s n
n i =1

故

∑

ai + s ( n - 1) a2i + ( s - ai ) 2
n

2

2

≤n + 1 +
= n +1 + = n +1 +

i =1

∑ ( n - 1) s
n i =1

2 ai

b +9 ≤1 4 + 3 b , 同理 , 2 2 3 s 2 b + ( c + a) c +9 ≤1 4 + 3 c . 2 2 3 s 2 c + ( a + b)
2

2 ( n - 1) s

∑a

i

2 n +1 = . n- 1 n- 1

2

故式 ② 不等式左边 ≤1 4 + 3 a + 1 4 + 3 b + 1 4 + 3 c 3 s 3 s 3 s a+ b+ c =4 + = 5.
s

因此 ,所证不等式成立 . 综上 ,得到 : 命题 　 设 a1 , a2 , …, an ∈R+ , n ≥ 3,n ∈
n

N ,且 s =
n

当且仅当 a = b = c 时 ,上式等号成立 . 一般地 ,我们提出 : 若 a1 , a2 , …, an ∈R+ , n ≥3 , n ∈N , 且
n

i =1

∑a .
i

( 1) 当 n = 3 ,4 时 ,有
k=1

∑
n

[ s + ( n - 2) ak ] ≤ 4 ( n - 1) . ( n - 1) a2k + ( s - ak ) 2
2 ak + s ≤n + 1 . 2 2 n- 1 ( n - 1) a k + ( s - ak ) 2 2

2

s=

k=1

∑a
n i =1

k

,则
ai + s
2
i

( 2) 当 n ≥ 3 , n ∈N 时 ,有
2

∑( n - 1) a

≤n + 1 . n- 1 + ( s - ai )
2

2

2

k=1

∑