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2011届高三数学苏教版创新设计一轮复习随堂练习:6.3 基本不等式)


第 3 课时
一、填空题

基本不等式

ab≤

a+b
2

(a≥0,b≥0)

1.已知 x>0,y>0 且 x+4y=1,则 xy 的最大值为________. 1 解析:∵x>0,y>0,x+4y=1,∴x+4y=1≥2 4xy,∴xy≤ . 16

答案: 1 16

2.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为______. 解析:∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3×[ 1 答案: 2 3.(江苏省启东中学高三质量检测)已知两个正数 x,y 满足 x+4y+5=xy,则 xy 取最小值时 x,y 的值分别为________,________. 解析:xy≥2 x·4y+5,当且仅当 x=4y 时取等号,令 xy=t(t>0),则不等式为 t - 5 4t-5≥0,解得 t≥5 或 t≤-1(舍去).∴ xy=t=5,又 x=4y,则 x=10,y= . 2 答案:10 5 2
2

x+(1-x)
2

3 1 2 ] = ,此时 x=1-x,∴x= . 4 2

4.设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,则 的最小值是________. 解析:由 x-2y+3z=0 得 y= =3z 时取“=”. 答案:3 5.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其 1 2 中 mn>0,则 + 的最小值为________.

y2 xz

x+3z
2

,代入 得

y2 x2+9z2+6xz 6xz+6xz ≥ =3,当且仅当 x xz 4xz 4xz

m n

解析:∵A(-2,-1),A 在直线 mx+ny+1=0 上,∴-2m-n+1=0, 1 2 2m+n 4m+2n 即 2m+n=1,mn>0,∴m>0,n>0. + = +

m n

m

n

n 4m =2+ + +2≥4+2· m n
当且仅当 = 答案:8

n 4m · =8. m n

n 4m 1 1 1 2 ,即 m= ,n= 时等号成立.故 + 的最小值为 8. m n 4 2 m n

?1 a? 6.(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知不等式(x+y)·? + ?≥9 对任意正实数 x,y 恒成 ?x y?
立,则正实数 a 的最小值为________.

y ax ?1 a? 解析:由 x∈(0,+∞)、y∈(0,+∞)、a∈(0,+∞)知:(x+y)? + ?=a+1+ + ≥a x y ?x y? y ax ?1 a? 2 2 +1+2 a=( a+1) .当且仅当 = 时, 等号成立, 即(x+y)? + ?的最小值为( a+1) . x y ?x y?

?1 a? 2 又(x+y)? + ?≥9 恒成立,∴( a+1) ≥9,即 a+1≥3,∴a≥4,即 a 的最小值为 4. ?x y?
答案:4 7.(江苏省高考命题研究专家原创卷)如果实数 x、y 满足 x +4y =4,则(1+2xy)(1-2xy) 的最小值为________. 解析:由 4=x +4y ≥2 x ·4y 得,4x y ≤4,当且仅当 x =4y =2 时“=”号成立. ∴(1+2xy)(1-2xy)=1-4x y ≥-3.∴(1+2xy)(1-2xy)的最小值为-3. 答案:-3 二、解答题 8.对于任意 x∈R,不等式 2x -a x +1+3>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2x +2+1 1 2 解:原不等式可化为 a< 2 = =2 x +1+ 2 恒成立. 2 x +1 x +1 x +1 问题转化为求 f(x)=2 x +1+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2x +3

2

2

1

x2+1

的最小值.令 u= x +1≥1

2

1 而函数 f(u)=2u+ 在[1,+∞)上单调递增,∴f(u)≥f(1)=2+1=3,

u

∴f(x)min=3,∴a<3. 9.若 a>0,b>0,c>0, 试证:(1) + + ≥a+b+c;(2) + + ≥a+b+c.

bc ac ab a b c

a2 b2 c2 b c a

证明:(1)∵a、b、c∈(0,+∞),∴ + 同理 +

bc ac ≥2 a b

bc ac · =2c, a b

ac ab ab bc bc ac ab bc ac ab ≥2a, + ≥2b,∴2( + + )≥2(a+b+c),即 + + ≥a+b+c. b c c a a b c a b c

(2)∵a>0,b>0,c>0, ∴ +b≥2a① 同理 +c≥2b②

a2 b

b2 c

c2 +a≥2c③ a
①+②+③得 + + +a+b+c≥2a+2b+2c,即 + + ≥a+b+c. 10.某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年投保、动力消费的费 用也为 2 千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为 2 千元,第 二年为 3 千元,第三年为 4 千元,依此类推,即每年增加 1 千元.问:这台机器最佳使用 年限是多少年?并求出年平均费用的最小值. 解:设这台机器的最佳使用年限是 n 年,则 n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为: n2+3n 0.2+0.3+0.4+?+0.1(n+1)= , 20 这 n 年机器的总费用是:7+0.2+0.2n+
2

a2 b2 c2 b c a

a2 b2 c2 b c a

n2+3n
20

=7.2+

n2+7n
20



n +7n 7.2+ 20 ? n 7.2? 这 n 年机器的平均费用是:y= =0.35+? + ?, n ?20 n ? n 7.2 又 + ≥2 20 n
7.2 n 7.2 =1.2,等号当且仅当 = , 30 20 n

即 n=12 时成立.故这台机器最佳使用年限是 12 年,年平均费用的最小值为 1.55 万元.

1.已知 m=a+

1 1 2 (a>2),n=( )x -2(x<0),则 m,n 之间的大小关系为________. a-2 2 1 1 1 =(a-2)+ +2≥2+2=4(a>2),当 a-2= ,即 a=3 时取等 a-2 a-2 a-2

解析:m=a+ 号.

1 2 1 -2 2 又 x<0,∴x -2>-2,∴n=( )x -2<( ) =4.∴m>n. 2 2 答案:m>n 2.(2009·江苏徐州六县联考)徐州、苏州两地相距 500 千米,一辆货车从徐州匀速行驶到苏 州, 规定速度不得超过 100 千米/小时. 已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部 分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部 分为 a 元(a>0). (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 500 解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,

v

500 500 500a 2 全程运输成本为 y=a· +0.01v · = +5v,

v

v

v

500a 故所求函数及其定义域为 y= +5v,v∈(0,100].

v

500a (2)依题意知 a,v 都为正数,故有 +5v≥100 a,

v

500a 当且仅当 =5v,即 v=10 a时上式中等号成立.

v

(1)若 10 a≤100,即 0<a≤100 时则当 v=10 a时,全程运输成本 y 最小. 500a 5(v -100a) (2)若 10 a>100,即 a>100 时,则当 v∈(0,100]时,有 y′=- 2 +5= <0. 2
2

v

v

∴函数 y 在 v∈(0,100]上单调递减.也即当 v=100 时,全程运输成本 y 最小. 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当 0<a≤100 时行驶速度应为 v=10 a千米/时; 当 a>100 时行驶速度应为 v=100 千米/时.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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