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2014届高考数学一轮复习检测《平面向量的概念及线性运算》


平面向量的概念及线性运算
【选题明细表】 知识点、方法 平面向量的基本概念 平面向量的线性运算 共线向量问题 综合应用 题号 3、4 1、2、8、11 6、7、10 5、9、12

一、选择题 1. (2013 乐山市第一次调研考试)如图所示,梯形 ABCD 中,AB∥C D,且 AB =2CD,对角线 AC、 DB 相交于点 O,若 =a, =b,则 等于( D )

(A) a- b

(B) a+ b

(C) a- b (D) a+ b

解析:

=

+

=a+

=a+ (-a+b)

= a+ b. 故选 D. 2.(2012 山东菏泽 质检)如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径,点 C、D 等分 ,已知 =a, =b,



等于( D )

1

(A)a- b

(B) a-b

(C)a+ b

(D) a+b

解析:连接 OC、OD、CD, 则△OAC 与 △OCD 为全等的等边三角形, 所以四边形 OACD 为平行四边形, 所以 = + = + =

a+b. 故选 D. 3.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, + =2 ,则( B )

(A)

+

=0 (B)

+

=0

(C)

+

=0 (D)

+

+

=0

解析:如图所示,根据向量加 法的几何意义,

+

=2

?P 是 AC 的中点,

2



+

= 0.

故选 B. 4.(2012 年高考四川卷)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是 ( D ) (A)|a|=|b|且 a∥b (C)a∥b (D)a=2b

(B)a=-b

解析:∵ 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,

∴a 与 b 必须方向相同才能满足 = .故选 D.

5.

若数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +1,则向量 m=(a1,a4)的模为( C (B)50 (C) (D)5

2

)

(A)53

解析:由题知 a1=S1=2,a4=S4-S3=7, 所以 m=(2,7), 所以|m|= = .故选 C.

6.已知向量 a,b,且

=a+2b,

=-5a+6b,

=7a-2b ,则一定共线的三点是(

A )

(A)A、B、D (B)A、B、 C (C)B、C、D (D)A、C、D 解析: = + + =3a+6b=3 .

因为



有公共点 A,所以 A、B、D 三点 共线.

故选 A. 二、填空题 7.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列条件中,能使 a、 共线的条件是 b 的序号填在 横线上). ①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e; ②存在相异实数λ 、μ ,使λ ·a+μ ·b=0;

(将正确

3

③x·a+y·b=0(实数 x,y 满足 x+y=0). 解析:由①得 10a-b=0,故①正确.②正确.对于③当 x=y=0 时,a 与 b 不一定共线,故③错误. 答案:①② 8. 如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 的面积之比为 . = + , = + ,则△ABP 与△ABQ

解析:如图所示,



=

,

=

,

则由平行四边形法则得 = + ,

且四边形 AMPN 为平行四边形,于是 NP∥AB, 所以 = = ,

同理可得

= .



= .

答案: 9.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、 于不同的两点 M、 AC N,若 =m , =n ,则 m+n 的值为 .

4

解析:∵O 是 BC 的中点, ∴ = ( + ).

又∵

=m

,

=n

,



=

+

.

∵M、O、N 三点共线,∴ + =1.∴m+n=2. 答案:2 三、解答题 10.设点 O 在△ABC 内部,且有 4 + + =0,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.

解:取 BC 的中点 D,连接 OD,



+

=2

,

4

+

+

=0,

∴4

=-(

+

)=-2

,



=-

.

5

∴O、A、D 三点共线,且|

|=2|

|,

∴O 是中线 AD 上靠近 A 点的一个三等分点, ∴S△ABC∶S△OBC=3∶2. 11.如图所示,已知 =a, =b, =c, =d, =f,试用 a、b、c、d、f 表示以下向量:

(1)

;(2)

;(3)

-

;

(4)

+

;(5)

-

.

解:(1)

=

-

=c-a.

(2)

=

+

=-

+

=-a+d.

(3)

-

=

=

-

=d-b.

(4)

+

=

-

-

+

=b-a-c+f.

(5)

-

=

=

+

=-d+f.

12.已知△ABC 中,

=a,

=b,对于平面 ABC 上任意一点 O,动点 P 满足

=

+λ a+λ b,则

动点 P 的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理 由. 解:动点 P 的轨迹是 AD 所在的直线,且动点 P 的轨迹必过△ABC 的边 BC 的中点 M. 理由如下:依题意,由 = +λ a+λ b,



-

=λ (a+b),
6



=λ (

+

).

如图所示,以 AB、AC 为邻边作平行四边形 ABDC,对角线交于 M,则 =λ ,

∴A、P、D 三点共线, 即 P 点的轨迹是 AD 所在的直线,由图可知 P 点轨迹必过△ABC 的边 BC 的中点 M.

7


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