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三角函数知识讲义




关于 三角函数知识讲义 】

一、观察
1. 角 ? 的终边与角 ?

二、选公式

三、计算

(理解性记忆)

? 2k? , k ? Z 的终边相同.
180

2.弧度制与角度制的互化: 1rad (弧度)

? 3. 弧长公式:半径为 R 的圆的圆心角

?

度?

57.3? .

? ? 0 ? ? ? 2? ? 所对弧的长 l ? ? ? R .

4. 扇形面积公式:设 R 是圆的半径, l 是弧长, ?

?0 ? ? ? 2? ? 为圆心角, S 是扇形的面积;则

S?
5. 由

1 1 l ? R ? ? ? R2 . 2 2

? 的象限判断 ?
? 2

? 2

的象限.

一 一、三

二 一、三

三 二、四

四 二、四

6. 常用三角不等式: (1)若 x ? (0, (3)

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x ;

(2)若 x ? (0,

?
2

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 ;

sin x ? cos x ? 1 .
P ( x, y ) , 则 P
点到原点的距离

7. 三 角 函 数 的 定 义 : 设 ? 为 任 意 角 , ? 的 终 边 上 任 取 一 点

r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则

sin ? ?

y x y ; cos ? ? ; tan ? ? ( x ? 0) . r r x


8. 三角函数在各个象限的符号判断:

?
sin ? cos? tan ?







? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?
sin ? cos ? ;cot ? ? cos ? sin ?

9.同角三角函数的关系: (1)平方关系: sin
2

? ? cos2 ? ? 1 .(2)商数关系: tan ? ?

.

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【我们的目标:让数学成为文科生的优势学科】
10.诱导公式(一) 11. 诱导公式(二)

sin

cos cos? cos? ? cos? ? cos?

tan

2 k? ? ?

sin ?

tan ?

??

? sin ? ? sin ?

? tan ?
tan ?

sin

cos
sin ?

? ?? ? ??

?
?
2
2

??
??

cos?
cos?
3? 2
?1

sin ?

? tan ?

? sin ?

12.特殊角的三角函数值:

?
sin ?

0

0
1

? 6 1 2
3 2 3 3

cos?
tan ?

? 4 2 2 2 2
1

? 3 3 2 1 2
3

? 2
1

?
0
?1

0
不存在

0
不存在

0

0

13.求三角函数最值的常见题型: 求三角函数的最值,主要是利用正弦函数和余弦函数的有界性,一般是通过三角变换化归为下列基本类型 处理: (1) (2)

y ? a sin x ? b 型;设 t ? sin x ,化为一次函数 y ? at ? b 在闭区间 t ? ? ?1,1? 上求最值. y ? a sin x ? b cos x ? c 型;
b ? ) ,化为 y ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ? c ,求解方法同类型(1). a

引入辅助角 ? (tan ? (3) 设t

y ? a sin 2 x ? b sin x ? c 型;

? sin x ,化为二次函数 y ? at 2 ? bt ? c 在闭区间 t ? ? ?1,1? 上求最值.

(4)

y ? a sin x ? cos x ? b(sin x ? cos x) ? c 型;
? sin x ? cos x ,化为二次函数 y ? ?

设t 值. (5)

a(t 2 ? 1) ? ? bt ? c 在闭区间 t ? ? ?? 2 , 2? 2

上求最

y?

a sin x ? b c cos x ? d



y(c cos x ? d ) ? a sin x ? b , a sin x ? yc cos x ? b ? dy ,

a 2 ? y 2 c 2 sin( x ? ? ) ? b ? dy ,利用 sin( x ? ?) ???1,1? 解题.

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14. 函 正弦函数 数

y ? sin x 的图像和性质: y ? sin x
y





O

x
x?R

定义域 值 域

??1,1?
T ? 2?
奇函数

周期性 奇偶性

单调性

对称性 15. 函 余弦函数 数

? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) 递增; ? 2 ? 2 ? 3? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) 递减 ? 2 ?2 ? ? ? k? , ( k ? Z ) 对称轴: x ? 2 对称中心: ( k? , 0) , ( k ? Z )
y ? cos x 的图像和性质: y ? cos x
y





O

x

定义域 值 域

x?R

??1,1?
T ? 2?
偶函数

周期性 奇偶性 单调性

??? ? 2k? ,2k? ? (k ? Z ) 递增; ?2k? ,? ? 2k? ? (k ? Z ) 递减
对称轴:

x ? k?

, (k ? Z )

对称性

对称中心: (

?
2

? k? , 0) , (k ? Z )

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16. 函数

y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的基本概念

(1) 振幅

A

; (2)周期 T

?

2?

?

; (3)频率

f ?

1 T

(4)初相 ? ; (5)相位 ? x ? ? .

注:① 调性. 16. 函

A, ? 决定“形变” ;② ? , k 决定“位变” ;③ A, k 影响值域;④ ? 影响周期;⑤ A, ? , ? 影响单
y ? tan x 的图像和性质: y ? tan x

正切函数 数





定义域 值 域

? ? ? ? x x ? R, x ? k? ? (k ? Z ) ? 2 ? ?
R

周期性 奇偶性 单调性

T ??
奇函数

对称性

? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) 递增 ? 2 ? 2 ? k? , 0) , (k ? Z ) 对称中心: ( 2
不是轴对称图形

注: (1) (2)

y ? cos x 的周期是 2?



y ? sin x 、 y ? tan x
的周期是 ? .

不是周期函数;

y ? cos x 、 y ? sin x 、 y ? tan x

18. 根据图像判断函数

y ? A sin(? x ? ? ) ? k (? ? 0) 的解析式:
; (2)计算 ?

(1)首先判断

A, k 和 T

?

(3)利用特殊点(比如最高点、最低点、与 x 轴的交点)求出某一 ? ; (4)利用诱导公式变为符合要求的解析式. 19. 函数

2? T



y ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0) 单调区间的确定:
? 0 ,将 ? x ? ? 看成一个整体,利用正弦函数的单调区间求解; ? 0 ,将 ? x ? ? 看成一个整体,利用正弦函数的单调区间求解,得到的增区间为减区

(1)若函数中 ? (2)若函数中 ?

间,得到的减区间为增区间. 20.

y ? A sin(? x ? ? ) ? k 或 y ? A cos(? x ? ? ) ? k 周期、对称轴和对称中心的确定:
图像中相邻两个最值点的横坐标之差,或者一个单调区间的长度,或者相邻两对称轴(对称中心)间 归纳、总结!总结、反思!陈老师 赠予 熊鑫 江宣玮 同学 -4-

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的距离为

T 2

;将 x ?

x0 代入解析式得到最大值或最小值,则 x ? x0 为其对称轴;将 x ? x0 代入解

析式得到 0 ,则 ( x0 ,0) 为其对称中心. 注:函数

y ? Asin(?x ? ?) 、 y ? A cos(? x ? ?) (? ? 0) 的周期为

? ?

.

21.三角函数的对称性与周期性: (1)若 x ? a 和 x

? b 为两条对称轴,则 2 a ? b

为该函数的一个周期;

(2)若 ( a, 0) , (b, 0) 为两个对称中心,则 2 (3)若 ( a, 0) 为对称中心, x 22.三角函数的图像变换: 函数

a ? b 为该函数的一个周期;
为该函数的一个周期.

? b 为对称轴,则 4 a ? b

y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像由函数 y ? sin x 的图像作如下变换: y ? sin x 的图像上所有点向左 (? ? 0) 或向右 (? ? 0) 平行移动 ?
个单位得到

(1) 相位变化:把

y ? sin( x ? ? ) .(注:左加右减)
(2) 周期变换:把

y ? sin( x ? ? ) 的图像上所有点的横坐标变为原来的

1

?

倍得到

y ? sin(? x ? ? ) ,

纵坐标不变. (3) 振 幅 变 换 : 把

y ? s i n? (x ? ?

) 图像上所有点的纵坐标变为原来的 的

A

倍得到

y ? As i n? ( x ??

) ,横坐标不变 .

注:①相位变换和周期变换都只针对自变量 x . ②把 ③把

y ? sin x 的图像向上 (k ? 0) 平移 k 个单位可得 y ? sin x ? k . y ? sin x 图像作关于 x 轴对称得 y ? ? sin x ,作 y 轴对称得 y ? sin(? x) .

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23.三角恒等变换: (1) 三角函数和、差角公式: (要记住) ① sin(?

? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;
③ tan(?

② cos(?

? ?) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

.

(2) 三角函数二倍角公式: (要记住) ① sin 2? ② cos 2?

? 2sin ? cos ? ;

? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ;
1 sin 2? ; 2 1 ? cos 2? 2

③ tan 2?

?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

.

(3) 三角函数降幂公式: ① sin ?

cos ? ?

② sin

2

??

; ③ cos

2

??

1 ? cos 2? 2

(4) 三角函数半角公式: ① sin

?
2

??

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 2

; (注:符号的选择由

? 所在的象限确定) 2 ? 所在的象限确定) 2
.

② cos

?
2

??

; (注:符号的选择由

③ tan

?
2

??

1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

(5) 补充:三角函数万能公式: ① sin 2?

?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?



② cos 2?

?

1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

;③ tan 2?

?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

(6) 补充:辅助角公式:

? ? a b a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 ? sin ? ? cos ? ? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? ) 2 2 a 2 ? b2 ? a ?b ?
注:①其中辅助角 ? 与点 ( a, b) 在同一象限,且 tan ? ②特殊情况: sin ?

?

? cos ? ? 2 sin(? ? ) ; sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 4 3

?

b ; a

?

(7) 补充:三角函数中角的变换的一般方法:如 ?

? (? ? ? ) ? ? , ? ? 2 ?

?

? ??
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

2



? ? ), 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等.

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