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圆与方程教案


圆与方程
一、圆的标准方程 ,半径长为 r 1. 圆的标准方程:方程 ( x ? a) 2 + ( y ? b)2 = r 2 ( r > 0) 表示圆心为 A(a,b) . 的圆. . 2. 求圆的标准方程的一般步骤为: . (1)根据题意,设所求的圆的标准方程为 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 . (2)根据已知条件,建立关于 a,b,r 的方程组; (3)解此方程组,求出 a,b,r 的值; . (4)将所得的 a,b,r 的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的标准方程. 3. 求圆的标准方程的常用方法: . (1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程; (2)待定系数法:先根据条件列出关于 a,b,r 的方程组,然后解出 a,b,r,再代入 标准方程. . 二、圆的一般方程 1.方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表示的曲线不一定是圆, . 只有当 D + E ? 4 F > 0
2 2
2 2

时,它表示的曲线才是圆,我们把形如 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的表示圆的方程称为圆 的一般方程. . 2. 对于方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 . . (1)当 D +E -4F>0 时,方程表示(1)当 D + E ? 4 F > 0 时,表示以(2 2

2

2

D E ,- )为 2 2

圆心,

1 D 2 + E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2 D E

(2) D 2 + E 2 ? 4 F = 0 时, 当 方程只有实数解 x = ? D ,y = ? E , 即只表示一个点 (- , ) ; 2 2 2 2 (3)当 D + E ? 4 F < 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形
2 2
王新敞
学案 新疆

3.圆的一般方程的特点: . 2 2 (1)①x 和 y 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D,E,F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就 确定了. (3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方 程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显. 练习:1.判断二元二次方程 4 x 2 + 4 y 2 ? 4 x + 12 y + 9 = 0 是否表示圆的方程?如果是, 请求出圆的圆心及半径. 2 2 2 2. 若方程 a x +(a+2)y +2ax+a=0 表示圆, a 的值为 则 ( A.-1. B.2 C.-1 或 2 D.1 3.一个圆经过点 A(5, 0) 与 B(?2,1) ,圆心在直线 x ? 3 y ? 10 = 0 上,求此圆的方程. 4.求经过 A(4, 2), B (?1,3) 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为 4 的圆的方程. 5.一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求圆的方 程。 )

6.已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1;③ 圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为

5 ,求该圆的方程. 5

三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系 d < r ? 点在圆内; d = r ? 点在圆上; d > r ? 点在圆外 即(1)点 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a) 2 + ( y ? b)2 = r 2 ( r > 0) 上等价于 ( x0 ? a ) 2 + ( y0 ? b) 2 = r 2 (r > 0) ; (2)点 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a) 2 + ( y ? b)2 = r 2 ( r > 0) 内部等价于 ( x0 ? a) 2 + ( y0 ? b)2 < r 2 (r > 0) ; (3)点 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a) 2 + ( y ? b)2 = r 2 ( r > 0) 外部等价于 ( x0 ? a ) 2 + ( y0 ? b) 2 > r 2 (r > 0) . 2.涉及最值: (1)圆外一点 B ,圆上一动点 P ,讨论 PB 的最值

PB min = BN = BC ? r PB max = BM = BC + r
(2)圆内一点 A ,圆上一动点 P ,讨论 PA 的最值

PA min = AN = r ? AC PA max = AM = r + AC
思考:过此 A 点作最短的弦?(此弦垂直 AC ) 练习:1.已知点 P(4a + 1, 2a) 在圆 ( x + 1) 2 + y 2 = 1 上,求 a 的值. 2.设点 P(2,-3)和圆(x+4) +(y-5) =9 上各点距离为 d,则 d 的最大值为______ 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法( d 为圆心到直线的距离) (1)相离 ? 没有公共点 ? ? < 0 ? d > r (2)相切 ? 只有一个公共点 ? ? = 0 ? d = r (3)相交 ? 有两个公共点 ? ? > 0 ? d < r 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形
2 2

②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线 l 与圆 C 相切意味着什么?:圆心 C 到直线 l 的距离恰好等于半径 r 恰好等于半径 (2)常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数:点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无

②求切线方程的方法及注意点 ... i)点在圆外 如定点 P ( x0 , y0 ) ,圆: ( x ? a ) + ( y ? b ) = r ,[ ( x0 ? a ) + ( y0 ? b ) > r ]
2 2 2 2 2 2

第一步:设切线 l 方程 y ? y0 = k ( x ? x0 )

第二步:通过 d = r ? k ,从而得到切线方程

特别注意: 特别注意:以上解题步骤仅对 k 存在有效,当 k 不存在时,应补上——千万不要漏了! ii)点在圆上 (1)若点 ( x0, 0 ) 在圆 x 2 + y 2 = r 2 上,则切线方程为 x0 x + y0 y = r y
2

(2)若点 ( x0, 0 ) 在圆 ( x ? a )2 + ( y ? b )2 = r 2 上,则切线方程为 ( x0 ? a )( x ? a ) + ( y0 ? b )( y ? b ) = r 2 y ③求切线长:利用基本图形, AP = CP ? r ? AP =
2 2 2

CP ? r 2
2

求切点坐标:利用两个关系列出两个方程 ? 3.直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 ....
2 弦长公式: l = 1 + k x1 ? x2 =

? AC = r ?k AC ? k AP = ?1

(1 + k ) ?( x + x ) ?
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? (暂作了解,无需掌握) ?

(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合) :直线过定点,而定点恰好在圆内. (3)关于点的个数问题 2 2 练习: 1.直线 3x-4y+1=0 被圆(x-3) +y =9 截得的弦长为 ( ) (A)
5

(B)4
2

(C) 2 5
2

(D)2

2.若直线 ax+y=1 与圆(x- 3 ) +(y-2) =1 有两个不同交点,则 a 的取值范围是 ( ) A.(0, 3 ) B.(- 3 ,0) C.( 3 ,+∞) D.(-∞,- 3 ) 2 2 2 3.已知点 M(a,b)(a,b≠0)是圆 C:x +y =r 内一点,直线 l 是以 M 为中点的弦所在的直线,直 2 线 m 的方程是 ax+by=r ,那么 ( ) A.l//m 且 m 与圆 C 相切 B. l⊥m 且 m 与圆 C 相切 C.l//m 且 m 与圆 C 相离 D. l⊥m 且 m 与圆 C 相离 2 2 4.直线(x+1)a+b(y+1)=0 与圆 x +y =2 的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.不能确定 5.把直线 x-2y+λ=0 向左平移 1 个单位长度,再向下平移两个单位长度后,所得直线正好与 2 2 圆 x +y +2x-4y=0 相切,则实数λ的值为 ( ) A.3 或 13 B.-3 或 13 C.3 或-13 D.-3 或-13

6.直线 x ? 2 y ? 3 = 0 与圆 ( x ? 2) 2 + ( y + 3) 2 = 9 交于 E, F 两点, 则三角形 EOF( O 是原点)的面积等于
2 2



7.若经过点 P(?1 , 0) 的直线与圆 x + y + 4 x ? 2 y + 3 = 0 相切,求此直线在 y 轴上的截距.
2 2 8.过点 (2, 4) 向圆 x + y = 4 引切线,求切线方程.

9.自点 A( ?1,4)作圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 6 y + 12 = 0 的切线, 则切线长为
(A)
2





5

(B) 3
2

(C)

10

(D) 5

10.过圆 x + ( y ? 2) = 4 外一点 A(2, ?2) ,引圆的两条切线,切点为 T1 , T2 ,则直线 T1T2 的 方程为________
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

11.已知圆 C : ( x ? 1) + ( y ? 2 ) = 25 ,直线 l : ( 2m + 1) x + ( m + 1) y ? 7 m ? 4 = 0 ( m ∈ R )
2 2

(1)证明:不论 m 取什么值,直线 l 与圆 C 均有两个交点; (2)求其中弦长最短的直线方程. 12.若直线 y = ? x + k 与曲线 x = ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 k 的取值范围.
2

13.已知圆 x + y + x ? 6 y + m = 0 与直线 x + 2 y ? 3 = 0 交于 P , Q 两点, O 为坐标原点,
2 2

问:是否存在实数 m ,使 OP ⊥ OQ ,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 五、对称问题 1.圆本身关于直线对称,则直线过圆心。 2.圆关于直线对称的方程转化为圆心关于直线对称,半径不变。 练习:1、曲线 x +y +2 2 x-2 2 y=0 关于 A.直线 x= 2 轴对称 C.点(-2, 2 )中心对称
2 2
2 2

( B. 直线 y=-x 轴对称 D.点(- 2 ,0)中心对称



2.若圆 x + y + m ? 1 x + 2my ? m = 0 ,关于直线 x ? y + 1 = 0 对称,则实数 m 的值_.
2

(

)

3.已知圆 C 与圆 ( x ? 1)2 + y 2 = 1 关于直线 y = ? x 对称,则圆 C 的方程为 A. ( x + 1) + y = 1
2 2


2 2



B. x + y = 1
2 2

C. x + ( y + 1) = 1
2 2

D. x + ( y ? 1) = 1
2

4.已知圆 C1 : ( x ? 4 ) + ( y ? 2 ) = 1 与圆 C2 : ( x ? 2 ) + ( y ? 4 ) = 1 关于直线 l 对称,则
2 2 2

直线 l 的方程为_______________. 5.圆 ( x ? 3) + ( y + 1) = 1 关于点 ( 2, 3) 对称的曲线方程是__________________.
2 2

6.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射, 其反射光线所在的直线与圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 4 y + 7 = 0 相切, 求光线 l 所在的直线方程. . 六、最值问题 方法主要有三种: (1)数形结合; (2)代换; 2 2 练习: 1.在圆 x +y =4 上, 3x-4y-12=0 距离最长的点的坐标是 与 8 6 A. ( ,) 5 5 6 8 B. ( ,) 5 5 C. (6 8 , ) 5 5 D. (-

( 8 6 , ) 5 5



2. P 在圆 C1 : ( x ? 4) 2 + ( y ? 2) 2 = 9 上, 在圆 C 2 : ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = 4 , PQ 的 Q 则 最小值是 。
2 2

3.一束光线从点 A(-1,1)出发,经 x 轴反射到圆 C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是( A.4 B.5 C.3 2 –1 2 2 4.从点(m,3)向圆 x +y -2x=0 作切线,则切线长的最小值是 D.2 6 (

) )

A.2 2

B.
2

7
2

C.3

D.

10

5.已知实数 x , y 满足方程 x + y ? 4 x + 1 = 0 ,求: (1)

y 2 2 的最大值和最小值; (2) y ? x 的最小值; (3) x + y 的最大值和最小值. x?5

七、圆与圆的位置关系 1.判断方法:几何法( d 为圆心距) (1) d > r1 + r2 ? 外离 (3) r1 ? r2 < d < r1 + r2 ? 相交 (5) d < r1 ? r2 ? 内含 2.两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x + y + D1 x + E1 y + F1 = 0 ,圆 C2 : x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0 ,
2 2 2 2

(2) d = r1 + r2 ? 外切 (4) d = r1 ? r2 ? 内切

则 ( D1 ? D2 ) x + ( E1 ? E2 ) y + ( F1 ? F2 ) = 0 为两相交圆公共弦方程. 补充说明: 补充说明: 若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程; 若 C1 与 C2 相离,则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题 (1)过两圆 C1 : x + y + D1 x + E1 y + F1 = 0 和 C2 : x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0 交点的
2 2 2 2

圆系方程为 x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 + λ x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 ( λ ≠ ?1 ) 说明: 说明:1)上述圆系不包括 C2 ;2)当 λ = ?1 时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) ( 2 ) 过 直 线 Ax + By + C = 0 与 圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 交 点 的 圆 系 方 程 为

(

)

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C ) = 0
(3)两圆公切线的条数问题 ①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相交时,有两条公切线;④相 离时,有四条公切线 2 2 2 2 2 2 练习: 1.若圆 C1: x +y -2mx+m =4 和圆 C2: x +y +2x-4my=8-4m 相交, m 的取值范围是 则 ( ) A. (12 2 ,) 5 5
2 2

B.(0,2)
2

C. (2

12 2 , )∪(0,2) 5 5

D. (-

12 2 ,)∪(0,2) 5 5

2.两个圆 C1:x +y +2x+2y-2=0 与 C2:x +y -4x-2y+1=0 的公切线有且仅有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 2 2 2 3. 求以圆 C1∶x +y -12x-2y-13=0 和圆 C2: +y +12x+16y-25=0 的公共弦为直径的圆的方程. x

八、轨迹方程 (1)定义法(圆的定义) :略 (2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标 的关系式——轨迹方程. 练习: 1.已知 M (-1,0), N (3,0), 则以 MN 为斜边的直角三角形直角顶点 P 的轨迹方程( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A ( x ? 1) + y = 2 (B) ( x ? 1) + y = 4 (C) ( x ? 1) + y = 2 ( y ≠ 0 ) (D) ( x ? 1) + y = 4 ( y ≠ 0 ) 2.过原点 O 作圆 x +y +6x=0 的弦 OA (1)求弦 OA 中点 M 的轨迹方程; (2)延长 OA 到 N, 使|OA|=|AN|,求 N 点的轨迹方程. 3.求过定点 A(0,1),且在 x 轴上截得弦长为 2 的动圆圆心轨迹方程 4.设圆的方程为 x 2 + y 2 = 4 , 过点 M (0,1) 的直线 l 交圆于点 A、B , 是坐标原点, P 为 AB O 点 的中点,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2 2 2 5.已知直线 l:y = k (x-a )及圆 O:x + y = r (a > r >0),直线 l 与圆 O 相交于 A、B 两点,求当 k 变动时,弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。 2 2 6.设 A(a,0),B(0,b)(a,b 均大于 4),若直线 AB 与圆 x +y -4x-4y+4=0 相切, (1)求证(a-4)(b-4)=8 (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。
7.如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1, O1 O2 =4,过动点 P 分别作圆 O1 、圆 O2 的切线 PM、 PN(M、N 分别为切点) ,使得 PM =
2 2

2PN ,试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程。

P

O1

O2

M 2 2 8. 如图,已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x +y =1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|
的比等于 2 .求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。

y

O

Q

x

九、空间直角坐标系 1.点 A(0,-4,1),点 C 与 A 关于平面 xOy 对称,点 B 与点 A 关于原点对称,则|BC|=( A.7 B.8 C.9 D.2 2 2.已知点 A(1,4,-1),B(2,2,1),C(3,4,3),则△ABC 的形状是___________________




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