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《方程的根与函数零点》


课题:方程的根与函数的零点 【教学目标】 知识目标: 理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系, 了解 “函 数零点存在” 的判断方法,对新知识加以应用. 能力目标:渗透由特殊到一般的认识规律,提升学生的抽象和概括能力,领会数 形结合、化归等数学思想. 情感、态度与价值观: 认识函数零点的价值所在,使学生认识到学习数学是有用的; 培养学生认真、耐心、严谨的数学品质; 让学生在自我解决问题的过程中,体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系, 初步形成用函数观点处理问题的 意识. 【教学难点】 函数零点存在性定理的理解及初步应用 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 (一)抛转引玉 浙江杭州某天早晨六点的温度是-2℃,十二点的温度是 12℃ .在这段时 间内,假设温度是均匀变化的,问:1)是否存在某时刻的温度为 0℃? 2)你能从数学的角度来解释这一现象吗? 3)能计算出具体的时刻吗? (设计意图:当温度均匀变化时,温度随时间的变化图是一条直线,学生能够根据已知条件 发现直线一定与 x 轴相交,求出相应函数的解析式,最终得出一次函数图象与 x 轴的交点和 相应方程的根的关系,为一般函数及相应方程关系作准备. ) (二)溯本逐源 复习总结一元二次方程与相应函数与 x 轴的交点及其坐标的关系: ??0 ??0 ??0 一元二次方程 根的个数 二次函数图象与 x 轴 交点个数 二次函数图象与 x 轴 交点坐标 1 (设计意图: 回顾二次函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系, 为一般函数及相应方 程关系作准备. ) 在 《 几 何 画 板 》 下 展 示 如 下 函 数 的 图 象 : y ? x 2 ? 1 ? x ? 2 ?? 2 x ? 6 ? 、 ? ? y ? 2x ? 8 、 y ? ln ? x? 2? ,比较函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系. 函数 y ? f ? x ? 的图象与 x 轴交点,即当 f ? x ? ? 0 ,该方程有几个根, y ? f ? x ? 的 图象与 x 轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标. (设计意图:通过各种函数,将结论推广到一般函数.) 1.函数零点概念 对于函数 y ? f ? x ? ,把使 f ? x ? ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ? x ? 的零点. 说明:函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值. 2.方程的根与函数零点的关系 方程 f ? x ? ? 0 有实数根 函数 y ? f ? x ? 有零点 以上关系说明: 函数与方程有着密切的联系,从而有些方程问题可以转化为 相应函数问题来求解,同样,函数问题有时也可转化为相应方程问题.这正是函 数与方程思想的基础. 函数 y ? f ? x ? 的图象与 x 轴有交点 (三)顺藤摸瓜 浙江杭州某天早晨六点的温度是-2℃,十二点的温度是 12℃ .在这段 时间内,温度是不均匀变化的,问:是否仍存在某时刻的温度为 0℃? (学生在事先准备好的图纸上画出温度随时间的变化图, 教师选取几个具有代表性的 图用实物投影仪加以展示, 并让学生解释为什么这一时刻仍存在, 使学生在自我解决问题的 过程中,体验成功的喜悦.) (设计意图:通过类比得出零点存在性定理,此刻体现变式教学. ) 给出零点存在性定理:如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a,b? 上的图象是连续不断一 条曲线,并且有 f ? a ? f ? b ? ? 0 ,那么,函

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