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指数函数


一:实例1
?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,·· · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞? 一个细胞未分裂时

一:实例1
?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,·· · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞? 细胞第一次分裂后一个变为二个

一分为二

一:实例1
?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,·· · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞? 细胞第二次分裂后一个变为四个

二分为四

一:实例1
?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂 成4个,·· · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细 胞? 细胞第三次分裂后一个变为八个

一:实例1
?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,·· · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞?

第x次分裂后一个变为y个

你能总结出细胞 ?:与细胞分裂次数 x 个数 y 的关系式吗?

一:实例1
?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂 成4个,·· · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细 胞? 解:细胞个数y与细胞 分裂次数x的函数关系

式是

x y=2

分裂次数 细胞个数

1 2

2 4

3 8

4 16

… …

x y=?

一:实例2:
庄子曰:一尺之棰,日取其半 , 万世不竭。
解:木棒长度y与经历天数x的关系式是

y

1 x ?( ) 2

一:实例3:
某台机器的价值每年折旧率为6%,写出 经过X年,这台机器的价值Y与X的函数关 系。

经 过 折 旧 6%

第 一 年

第 二 年

第 三 年

第 四 年

经过
X年

设 机 器 的 价 值 为 1

折 旧 6%

表达式

Y=(0.94) 折
旧 6%

X
折 旧
6%

机器 价值

Y

(0.94)

1

(0.94)

2

(0.94)

3

(0.94) …...
4

(0.94)X

设问1:象Y ? 2 , Y ? (0.94) 这类函数与我们
x x

刚学过Y ? x, Y ? X , Y ? X 一样吗? 这两类函数有什麽区别? 你能从以上两个解析式中抽象出一 个更具有一般性的函数模型吗?
2

?1

提示:用字母a来代替2与0.94
得到:y=a ,这是一类重要的函数 模型,并且有广泛的用途,它可以 解决好多生活中的实际问题,这就 是我们下面所要研究的一类重要函 数模型。
x

一、指数函数的概念:

一般地,函数y=a (a>0,a≠1) 叫做指 数函数,其中x是自变量,函数的定 义域是R。

x

定义域为什 么是实数集?

为什么要规定

a>0,a≠1?

Y=ax 中a的范围:

当a=0时,若X>0



a ?0
X

若X≤0 则
X

a 无意义
X
1 2

a ? 当a<0时, 不一定有意义,如( 2)

Y 当a=1时, ? 1 ? 1时常量
X

为了便于研究,规定:a>0 且a≠1

判断下列函数是否是指数函数

y ? 2? 3

x

y ?3 3 y?x

x?1

y ? (?4) x y??

x

y?4

x2

y ? ?3

x
x

y?x

x

1 y ? (2a ? 1) (a ? ,且 a ? 1) 2

设问2:我们研究函数的性质,通

常都研究哪几个性质?
设问3:得到函数的图象一般用什

么方法?
列表、求对应的x和y值、描点作图
用描点法绘制 Y ? 2 X 的草图: X 用描点法绘制 Y ? (0.5) 的草图:

2、

指数函数的图象和性质

定义
y=ax (a>0,a ≠1)叫 做指 数函 数

图象
(a>1)

定义域 值域 奇偶性 单调性
y∈R+ 非奇非偶 a>1,增 x∈R 0<a<1,减

关键点
(0<a<1)

数值变化
x>0,y>1

(0,1)

a>1,

x<0,0<y<1 x>0,0<y<1

0<a<1,

x<0,y>1

指数函数图象与性质的应用:
例1、指数函数

y ?a ,y ?b ,y ?c ,y ?d
x x x

x

的图象如下图所示,则底数

aa,b,c,d , b, c, d

与正整数 1

共五个数,从大到小的顺序是 : 0 ? b ? a ? 1 ? d ? c .
y

y? bx ? x y b xx yy ? a ?a

1

yy ? ?d

y?c y?c
x

xx

d

x

x 0

.下列不等式中 正确的是( D ) , 例2 ? 1 ? ?1 ? ? 1 ? ( A) ? ÷ ? ? ÷ ? ? ÷ ? 2 ? ?3 ? ? 2 ? ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? (C ) ? ÷ ? ? ÷ ? ? ÷ ?3 ? ? 2 ? ? 2 ?
2 3
2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3

? 1 ? ? 1 ? ?1 ? ( B) ? ÷ ? ? ÷ ? ? ÷ ? 2 ? ? 2 ? ?3 ? ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ( D) ? ÷ ? ? ÷ ? ? ÷ ?3 ? ? 2 ? ? 2 ?
2 3 2 3 1 3

1 3

2 3

2 3

1 1 解: ? y ? x 增函数且 ? 3 2 x 2 1 ?1? ? y ? ? ? 是减函数且 ? 3 3 ?2?
第17张

?1? ?1? ?? ? ? ? ? ? 3? ?2? ?1? ?1? ?? ? ? ? ? ?2? ?2?
2 3

2 3

2 3

1 3

例3 某种放射性物质不断衰变为其 他物质,每经过一年它剩余的质 量约是原来的84%,画出这种物 质的剩余量随时间变化的图象, 并从图象上求出经过多少年,剩 余量是原来的一半。(结果保留1 位有效数字)

解:设这种物质最初的质量是1, 经过x年,剩余量是y 由题意得: y=0.84x 根据函数列表:
x y 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42

根据图表数据画出图象

y
1 0.5 0 4 x

由图象可以看出 y=0.5 只需x ? 4 答:大约经过4年剩余量是原来的 1/2

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识?

2.如何记忆函数的性质?

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质 2.如何记忆函数的性质?

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质 2.如何记忆函数的性质? 数形结合的方法记忆 y
Y ? 2x
1
y=1

Y ? (0.5) x

3.记住两个基本图形:

o

x


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