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湖南省五市十校204-2015学年高二下学期期末联考试题(2015年7月) 数学(文)


“湖南省五市十校教研教改共同体”高二期末考试

数学(文科)试题
时量:120 分钟 分值:150 分 命题:箴言中学、桃江一中、南县一中 审校:箴言中学、宁乡一中
答题说明: 1、 考生必须将答案准确填写到答题卡上,写在试卷上的一律无效; 2、 考生请使用黑色中性笔和 2B 铅笔作答;

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 设集合 U ? x x A. x1 ? x ? 3 2.复数

?

? 3? , A ? ?x x ? 1?,则 CU A =
B. x1 ? x ? 3





?

?

?

?
1 2

C. x 1 ? x ? 3?

?

D. x x ? 1

?

?


1 的虚部是 1? i 1 1 A. ? B. 2 2

( C. i D. ?

1 i 2
( )

3.已知命题 p : ?x ? R, x ? sin x ,则 p 的否定形式为 A. ?x0 ? R, x0 ? sin x0 C. ?x ? R, x ? sin x B. ?x0 ? R, x0 ? sin x0 D. ?x ? R, x ? sin x

4.设函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3, x ?[?5,5] .若从区间 [?5,5] 内随机选取一个实数 x0 ,则所选取 的实数 x0 满足 f ( x0 ) ? 0 的概率为 A. 0.3
2

( D. 0.6



B. 0.4
2

C. 0.5

5.已知 P 是圆 x ? y ? 1 上的动点,则 P 点到直线 l : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离的最小值为 ( A. 1 6.极坐标方程 ? ? B. 2 C. 2 D. 2 2 )

2

sin(? ? ) 2

?

和参数方程 ?

? x ? 2 cos ? (? 为参数)所表示的图形分别是( ) ? y ? 3sin ?

A.圆与直线 B.圆与椭圆 C.直线与圆 D.直线与椭圆 7. 某产品的广告费用错误!未找到引用源。与 销售额错误!未找到引用源。的统计数据如下表: 广告费用错误!未找到
引用源。 (万元)

4

2

3

5

销售额错误!未找到引
用源。 (万元)

49

26

39

54

根据上表可得回归方程错误!未找到引用源。中的错误!未找到引用源。为错误!未找到引用
源 。 , 据 此 模 型 预 报 广 告 费 用 为

6

万 元 时 销 售 额 为

(

) B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

A.63.6 万元

8.函数错误!未找到引用源。的图象向右平移错误!未找到引用源。单位后与函数错误!未找到 引用源。的图象重合,则错误!未找到引用源。的解析式是 ( ) A.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 B. 错误! 未找到引用源。
错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

9. 若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为 A. n ? 5 ? C. n ? 7 ? B. n ? 6 ? D. n ? 8 ?





10. 设 t 是函数 f ( x) ? e ? ln x 错误!未找到引用源。的零点,若 x0 ? t 错误!未找到引用
x

源。 ,则 f ( x0 ) 错误!未找到引用源。的值满足 A. f ( x0 ) ? 0 错误!未找到引用源。 用源。





B. f ( x0 ) ? 0 错误!未找到引 D. f ( x0 ) 错误!未找到

C. f ( x0 ) ? 0 错误!未找到引用源。

引用源。的符号不确定 11.设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为:m) ,正视图高度为 8m, 若该几何体的各个顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于 m (答案用 含有 π 的式子表示) ( ) A. 36? B. 64? C. 100? D. 500?
2

12.函数的定义域为 D, 若满足: ① f ( x) 在 D 内是单调函数; ②存在 [a, b] 上的值域为 [ , ] , 那么就称函数 y=f (x) 为“成功函数”, 若函数 f ( x) ? logc (c ? t )(c ? 0, c ? 1) 是“成功函数”,
x

a b 2 2

则 t 的取值范围为(



A. (0, ?? )

B. (??, 0)

C. ( , ??)

1 4

D. (0, )

1 4

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量错误!未找到引用源。 且错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 等于 ____________ 14. 已知实数对错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。 的最小值是____________. 15. 若直线错误!未找到引用源。是曲线错误!未找到引用源。的切线,则实数错误!未找到引
用源。的值为

.

16. 已知 a ? b ? 0 , e1 , e2 分别是圆锥曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 的离心率,设 和 a 2 b2 a 2 b2

m ? ln e1 ? ln e2 ,则 m 的取值范围是______________.
二、解答题(第 17 题 10 分,其余均为 12 分,70 分) 17、(本题满分 10 分)某电视台举办青年歌手大奖赛,有十名评委打分,已知甲、乙两名选手 演唱后的得分如茎叶图所示: 甲 6 8 7 7 5 4 4 2 9 3 9 8 7 1 0 5 1 3 6 6 8 8 9 乙

(1)从统计的角度,你认为甲与乙比较,演唱水平怎样?

(2)现场有三名点评嘉宾 A、B、C,每位选手可以从中选两位进行指导,若选手选每位点评嘉 宾的可能性相等,求甲、乙两选手选择的点评嘉宾恰有一人重复的概率.

18 、 ( 本小题满分 12 分 ) 己知函数 f ( x) ? 2sin x cos (1)求 ? 的值。

2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在

x ? ? 处取最小值.

(2)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,已知 a=l,b= 2 , f ( A) ? C.

3 ,求锐角 2

19、 (本小题满分 12 分)如图,平面 PAD ⊥平面 ABCD , ABCD 为正方形,?PAD ? 90 ,
o

且 PA ? AD, E、F 分别是线段 PA、CD 的中点. (1)求证: P A ? 平面 ABCD ; (2)求 EF 和平面 ABCD 所成的角 ? 的正弦;

20.(本小题满分 12 分)已知 an ? (1) 求 k 的值及 2 (2) 记 bn ?
an

4n 2 ? k , ?an ? 为等差数列。 2n ? 1
n

? ? 的前 n 项和 S



nan an ?1 ? 2 ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn an an ?1

21.(本小题满分 12 分)已知椭圆

1 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点是抛物线 y ? x 的 2 a b 4 3

焦点,该椭圆的离心率为

1 ,过椭圆右焦点的直线与该椭圆交于 A 、 B 两点, P(?5, 0) 为 2

椭圆外的一点。 (1) 求椭圆的方程; (2) 求 ?PAB 面积的最大值。

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? a ln x 与 g ( x) ? bx2 ? (1 ? b) x ? c 在 x ? 1 处均有 极值。 (1) 求 a , b 的值; (2) 若存在 x0 ? 0 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 c 的取值范围。

“五市十校教研教改共同体”2013 级高二第二学期期末考试

数学(文科)
时量:120 分钟 总分:150 分 命题审校:箴言中学、沅江一中、桃江一中 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 9 B 10 B 11 C 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

0 13. _____

3 14. ____________

15.

?e

(??, 0) 16. ______________

二、解答题(第 17 题 10 分,其余均为 12 分,70 分)

17 解:(1)由茎叶图可得: x 甲=87.5, x 乙=86.7, x 甲> x 乙,所以甲演唱水 平更高一点,但甲的方差较大,即评委对甲的水平认可存在较大的差异.…5 分 (2)依题意,共有 9 个基本事件:

其中,甲、乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含 6 个基本事件. 6 2 所以所求概率为9=3. ………10 分
18、解 : ( Ⅰ ) f ( x) ? 2 sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

= sin x ? sin x cos? ? cos x sin ? ? sin x = sin(x ? ? ) … … … … … … … 3 分

因 为 f ( x) 在 x ? π 处 取 得 最 小 值 , 所 以 sin(x ? ? ) ? ?1 , 故 si n? ? 1 , 又
0 ?? ? π 所以 ? ?

π …………………………………6 分 2

( Ⅱ )由( 1 )知 f ( x) ? sin(x ?
ABC 内角,所以 A ?

3 π ,且 A 为 △ )? cos x,因 为 f ( A) ? cos A ? 2 2

b sin A 2 π π ? 由正弦定理得 sin B ? ,所以 B ? 或 a 2 6 4

3π .… 9 分 4 7π π π 3π 当 B ? 时 C ?? ? A? B ? , (舍去)当 B ? 时 C ? π ? A? B ? . 4 4 12 12 π 综上, C ? …………………………………………12 分 12 B?
19、

解(Ⅰ)证明: 由已知:平面 PAD ⊥平面 ABCD , PA ? AD 又 AD为面PAD与面ABCD的交线 ,
PA ? 平面ABCD …………………………6 分

(Ⅱ)连接 AF ,则 ?AFE 即为 ? ,在 ?AFE 中,可求 得 sin ? ?
6 ……………………………12 分 6

(3) 20.

4 n 2 ? k 4n 2 ? 1 ? k ? 1 k ?1 ? ? 2n ? 1 ? 解: (1) an ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
由 ?an ? 为等差数列,得 k ? 1 ? 0 ,故 k ? ?1. …………………………3 分

2an ? 22 n ?1 ,?

2an 22 n ?1 ? ? 4, 2an?1 22( n ?1)?1

? 2 an 是公比为 4 的等比数列,且 2a1 ? 2 。

? ?

2(1 ? 4n ) 2 ? 4n ? 2 ? Sn ? ? …………………………6 分 1? 4 3
(2) bn ?

nan an ?1 ? 2 2 2 1 1 ? n? ? n? ? n?( ? ) …9 分 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 an an ?1

1 1 1 1 1 ?Tn ? [1 ? (1 ? )] ? [2 ? ( ? )] ? ? ? [ n ? ( ? )] 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 n(n ? 1) 1 ? ?1? …………………………12 分 2 2n ? 1

y?
21.解: (1)抛物线

1 4 3

x2
的焦点为 F (0, 3) ,

? ? b? 3 ? ? 2 x2 y 2 ? a?2 2 2 ? ? 1 。………………5 分 依题意,有 ?b ? a ? c ? ? 所以椭圆方程为 4 3 ? ?b ? 3 ? c 1 ? ? ? a 2
(2)因为椭圆右焦点为 F2 (1,0) ,

设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1

? x ? my ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4

? (3m2 ? 4) y2 ? 6my ? 9 ? 0
? y1 ? y2 ? ? 6m 9 , y1 ? y2 ? ? 2 …………………………7 分 2 3m ? 4 3m ? 4

S?PAB ? S?PF2 A ? S?PF2B
1 1 PF2 ? y1 ? PF2 ? y2 2 2 1 ? PF2 ? y1 ? y2 2 1 ? ? 6 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 ?

? 3 (?

6m 2 9 ) ? 4(? 2 ) 2 3m ? 4 3m ? 4
…………………………10 分

? 36

m2 ? 1 36 ? 2 3m ? 4 3 m2 ? 1 ?

1 m2 ? 1

1 令 m 2 ? 1 ? t (t ? 1),令h(t ) ? 3t ? (t ? 1), 则h(t )在[1, ??)递增 t

当t ? 1时,h(t )min ? h(1) ? 4, 此时m=0 故?PAB面积的最小值为9.

…………………………12 分

a f , ( x) ? 3 x 2 ? ( x ? 0) x 22. 解: (1) , g , ( x) ? 2bx ? (1 ? b) x 。

a ? 2 ? f , (1) ? 0 ?a ? ?3 ? 3 ?1 ? ? 0 ?? 依题意,有 ? , …………………4 分 ?? 1 b ? ?1 ? g (1) ? 0 ? ? ?2b ? (1 ? b) ? 0
(2) f ( x) ? 3x ?
, 2

3 3( x3 ? 1) 3( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ( x ? 0) ? ( x ? 0) ? ( x ? 0) x x x

由 f , ( x) ? 0 ? x ? 1; 由 f , ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1; 所以 f ( x)在(0,1)递减,在(1, ?)递增。

…………………………8 分

? f ( x) ?? f (1), ??? 。 g( x) ? ?x2 ? 2x ? c ? ?( x ?1)2 ?1 ? c ? ? ??, g(1)?
存在 x0 ? 0 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立 ? f (1) ? g (1)

? 1 ? 1 ? c ? c ? 0.
所以 c 的取值范围是 (0, ??). 。 解法 2: (1 问同上) (2)

…………………………12 分

原意等价于c ? x3 ? 3ln x ? x 2 ? 2 x( x ? 0)有解 令? ( x) ? x3 ? 3ln x ? x 2 ? 2 x( x ? 0) 原意等价于c ? ? ( x)的最小值 3 3( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) ? ( x) ? 3 x ? ? 2 x ? 2 ? ? 2( x ? 1) x x 3( x 2 ? x ? 1) ? ( x ? 1)[ ? 2]( x ? 0) x 令? ( x) ? 0得x ? 1; ? ( x) ? 0得0 ? x ? 1
' 2

所以? ( x)在(0,1)递减, (1, ??)递增。 所以? ( x)的最小值为? (1)=13 ? 3ln1 ? 12 ? 2 ?1 ? 0 所以c ? 0为所求。


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