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1.4.3单位圆与诱导公式(1)


北师大课标必修4·§1.4

1.4.3单位圆与诱导 公式(1)

复习回顾

公式一 sin(α+k· 360°) = sinα
° cos(α+k· 360 )

= cosα

其中 k∈Z

利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值

>α的终边 P(x,y) y
(1,0)

y


o



x

o

. P(x,y) . (1,0) x

α的终边

如左图, 由定义, 都有:

y

y

P(x,y)



o

. (1,0)

x

o

α的终边

. . P(x,y)
(1,0)

sinα= y cosα= x
x

α的终边

引入新知

任意角的三角函数值
公式一的用途

0 ° 到 360 °角的三角函数值
本节的内容

0 ° 到 90 °角的三角函数值

想一想

(1)90 °~ 360 °的角β能否与不大于 90°的非负角α相联系? 设0°≤α≤90 °,那么, 对于90°~ 180 °间的角, 可表示成:180

°-α或90 °+α;

对于180°~ 270 °间的角,

可表示成: 180 °+α; 对于270°~ 360 °间的角,
可表示成: 360

°-α;

公式推导

1,研究180 °+ α与α的三角函数值的 关系
y

α

o

. P(x,y) . x
(1,0)

α的终边

公式
sin(180 °+α) = -sinα cos(180 °+α) = -cosα

p1(-x,-y)

180 °+α的终边

公式推导

2,研究 -α与α的三角函数值的关系
y
α的终边

P(x,y).

公式


o

(1,0) x

-α的终边

. P’(x,-y)

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα

公式推导 3,研究 180°-α与α的三角函数值的关系 P’(-x, y)
α的终边

y
sin(180°-α) =sinα

. .
o

(1,0) x

cos(180°-α) = -cosα

公式四

公式推导 4,研究 90°+α与α的三角函数值的关系
α的终边
y

P’(-y ,x ) .
o

sin(90°+α) =cosα



cos(90°+α) = -sinα

(1,0) x

公式五

公式二
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα

公式三
sin(180 °+α) = -sinα cos(180 °+α) = -cosα

公式四
sin(180°-α) =sinα cos(180°-α) = -cosα

公式五
sin(90°+α) =cosα cos(90°+α) = -sinα

记忆:(把看成是锐角)函数名不变,符号看象限

例题解析
例1 求下列三角函数值: 2 7 (1) sin( ? ? ) (2) cos ? 3 4
解: (1) sin( ? ? ? sin(2? ? 7 4
31? ) (3) cos(? 6

? ) ? ? sin

7 4

?
)? 2 2

?
4

) ? ?( ? sin

?
4

2 ? 1 (2) cos ? ? cos(? - ) ? 3 3 2
31? 31? ? ? 3 (3) cos(? ) ? cos ? cos(5? ? ) ? ? cos ? ? 6 6 6 6 2

例题解析

例2 求下列三角函数值:
(1) sin( 5? 2 5? ?

?

解: (1) sin(

4 6 ? 11? 5? (3) sin cos( ? ) ? sin cos 6 4 6 4 5? ? ? ? ?
2 ? 4 ) ? sin( ? ) ? cos

) ; (2) sin( ?

55?

);

2 4 4 2 55? 55? 7? ? 1 (2) sin(? ) ? ? sin ? ? sin ? sin ? 6 6 6 6 2

?

2

5? ? 11? 5? 2 (3)sin cos(? ) ? sin cos ? 6 4 6 4 2

例题解析

例3 化简: ? ? cos(180 ? ? ) ? sin(? ? 360 ) ? ? sin(?? ? 180 ) ? cos(?180 ? ? )
?cos? ? sin? 解: 原式 ? ? ? ? sin(180 ? ? ) ? cos(180 ? ? )
cos ? ? sin ? ? ? sin ? ? (? cos ? )

?1

复习回顾

公式二
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα

公式三
sin(180 °+α) = -sinα cos(180 °+α) = -cosα

公式四
sin(180°-α) =sinα cos(180°-α) = -cosα

公式五
sin(90°+α) =cosα cos(90°+α) = -sinα

记忆:(角看成是锐角)函数名不变,符号看象限

课后作业

1.课本 P20 习题1.4 7,8


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