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黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题


红兴隆管理局第一高级中学 2015-2016 学年度第二学期期末考试 高一数学试卷
注:卷面分值 150 分; 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.直线 x- 3 y+1=0 的倾斜角是 A. ( C. ) 时间:120 分钟

? 6

B.

? 3

2? 3
)

D.

5? 6

2.已知 ab>0,bc<0,则直线 ax+by=c 通过 ( A.第一、二、三象限 C. 第一、三、四象限
2

B.第一、二、四象限 D.第二、 三、四象限
2 2

3.在△ABC 中,若 sin A+ sin B<sin C,则△ABC 的形状是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

) D.不能确定

4.经过两直线 l1 :x-2y+4=0 和 l2 :x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3 :3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程为 ( ) A. 4x+3y+6=0 C. 3x-4y+6=0 B. 4x+3y-6=0 D. 3x-4y+6=0 )

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 并满足:an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则 S7=( A.7 B.12 C.14 D.21

6.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 m ? ? , m ∥ n , n ∥ ? ,则 ? ? ? C.若 m ? n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n 7.若直线 A.2

)

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点(1,1),则 a ? b 的最小值等于( a b
B.3 C.4 D.5

)

8.在 R 上定义运算:

a b c d

= ad ? bc .若不等式

x ?1 a ? 2 ≥1 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的 a ?1 x

-1-

最大值为( A. ?

) B. ?

1 2 4 ?? 3

3 2

C.

1 2

D.

3 2
)

9.某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为( A. B.

C. 3 ?

? 3

8?? 3

D. 6 ?

?

3

10.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心, 5 为半径的圆的方程为 ( ) A.x +y -2x+4y=0 C.x +y +2x-4y=0
2 2 2 2 2

B.x +y +2x+4y=0 D.x +y -2x-4y=0 )
2 2

2

2

11.关于 x 的不等式 x -(a+1)x+a<0 的解集中,恰有 3 个整数,则 a 的取值范围是( A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5)
n ?1

C.(4,5]

D.[-3,-2)∪(4,5]

12. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a A. 2
1009

? an ? 2n ? n ? N * ? ,则 S2015 =( )
C. 2
1008

-3

B. 3 ? 2

1007

-3

-3

D. 2

2015

-1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

?x ? y ? 1 ? 0 ? 13.若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z=x+2y 的最小值是 ? x?0 ?
14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=an-1,则 a2 等于 15. 在 ?ABC 中, BC ? 2 5, AC ? 2, ?ABC 的面积为 4,则 AB 的长为 16. 三 棱 锥 P-ABC 中 ,PA ⊥ 平 面 ABC,AB ⊥ BC,AB=BC=1,PA= 为 . .

3 ,则该三棱锥外接球的表面积

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知点 A(-1,3),B(5,-7)和直线 l : 3x ? 4 y ? 20 ? 0 . (1)求过点 A 与直线 l 平行的直线 l1 的方程; (2)求过 AB 的中点与 l 垂直的直线 l2 的方程.
-2-

18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且

2a sin A ? (2b ? c ) sin B ? (2c ? b ) sin C ,
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

19. (本小题满分 12 分) 如图, ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO⊥底面 ABCD, E 是 PC 的中点. 求证: (1)PA∥平面 BDE; (2)BD⊥平面 PAC.

20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1=1, S3=6; 数列{bn}满足 b1b2…bn= 2

Sn

-3-

(n∈N ). (1)求{an}和{bn}的通项公式. (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.



21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O. (1)求圆 C 的方程. (2)试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长?若存在,请求出 点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 12 分 )在如图所示的四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD , AD ∥ BC ,

?BAD ? 90? , PA ? AB ? BC ? 1, AD ? 2 , E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: CE // 面PAB ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 PDC ; (Ⅲ)求直线 EC 与平面 PAC 所成角的余弦值.

-4-

红兴隆管理局第一高级中学 2015-2016 学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 【答案】ADCBC 【答案】13、0 BCDBC 14、 DA 15、 4 或 4

2

16、 5? ,将 点的坐标代入得 ,

17、试题解析:(1) 设 的方程为: 所以 的方程为 (2)设 的方程为 所以 的方程为 . ,将 . 的中点

代入得



18、试题解析: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得



,A=120°

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: 故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 19. 试题解析:证明(1)连接 OE, 在△CAP 中,CO=OA,CE=EP, ∴PA∥EO, 又∵PA ? 平面 BDE,EO ? 平面 BDE, ∴PA∥平面 BDE. (2)∵PO⊥底面 ABCD,BD ? 平面 ABCD, ∴BD⊥PO 又∵四边形 ABCD 是正方形,∴ BD⊥AC ∵AC∩PO=O,AC,PO ? 平面 PAC ∴BD⊥平面 PAC 20. 试题解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,
-5-

因为 a1=1,S3=6, 所以 3a1+3d=3+3d=6, 解得 d=1,所以 an=n. 因为 an=Sn-Sn-1=n,b1b2…bn=2
S a Sn


Sn ?1

所以 b1= 2 1 ? 2 1 =2,且当 n≥2 时,b1b2…bn-1=2
n

,与 b1b2…bn=2

Sn

相除可得 bn=2
n 1

Sn ?Sn ?1

=2

an

=2 ,
n

n

b1=2 满足,综上可知 bn=2 .(2)由(1)知数列{anbn}的通项公式为 anbn=n·2 ,Tn=1·2 +2·2 +…+n·2 , 那么 2Tn=1·2 +2·2 +…+n·2 , 错位相减可得-Tn=2 +2 +…+2 -n·2 ,
1 2 n n+1 2 3 n+1

2

则-Tn=

2 ?1 ? 2n ? 1? 2
n+1

-n·2 =(1-n)2 -2,

n+1

n+1

Tn=(n-1)2 +2. 21.试题解析:(1)设圆 C 的圆心为 C(a,b), 则圆 C 的方程为(x-a) +(y-b) =8. 因为直线 y=x 与圆 C 相切于原点 O, 所以 O 点在圆 C 上, 且 OC 垂直于直线 y=x, 于是有 ? 或
2 2

由于点 C(a,b)在第二象限,故 a<0,b>0, 所以圆 C 的方程为(x+2) +(y- 2) =8. (2)假设存在点 Q 符合要求,设 Q(x,y), 则有
2 2

解之得 x= 或 x=0(舍去),y= 所以存在点 Q

.

,使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长.

22.试题解析: (Ⅰ)解:取 PA 的中点 M,连接 BM、ME,ME // AD 且 ME ? BC // AD 且 BC ?

1 AD 2

1 AD 2

∴ME // BC 且 ME=BC

-6-

∴四边形 MEBC 为平行四边形, ∴BM // CE,又 CE ? 面 PAB,BM ? 面 PAB, ∴CE // 面 PAB (Ⅱ)证明:∵ PA ⊥平面 ABCD, , ∴ PA ⊥ DC , 又 AC 2 ? CD 2 ? 2 ? 2 ? AD 2 ∴ DC ? AC , ∵ AC ? PA ? A ∴ DC ⊥平面 PAC 又 DC ? 平面 PDC 所以平面 PAC ⊥平面 PDC (Ⅲ)解:取 PC 中点 F ,则 EF ∥ DC , 由(Ⅱ)知 DC ⊥平面 PAC 则 EF ⊥平面 PAC 所以 ?ECF 为直线 EC 与平面 PAC 所成的角

CF =

3 1 2 1 PC = , EF = CD ? 2 2 2 , 2

所以 CE ?

5 2

∴ cos?ECF ?

CF 15 ? CE 5 15 5

即直线 EC 与平面 PAC 所成角的余弦值为

-7-


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