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2015-2016学年江西广丰实验中学八年级数学课件:16.2《二次根式的乘除》2(新人教版下)


16.2二次根式的乘除

新课导入
1. 一个平行四边形的底为 3 5 ,高为 这个平行四边形的面积。 ,求

提示 根据平行四边形的面积公式 S = ah 求解。

3 5

S=

5? 3

这是最终结果吗? 这个结果能否继续化简? 如何化简?


2

2. 如果矩形的面积是 20 ,长为 5 ,求宽。

提示 根据矩形的面积公式 S = ab 求解。
20



b=

20 5

5
3

这是最终结果吗? 这个结果能否继续化简? 如何化简?

教学目标
【知识与能力】
? 理解 a ? b

ab (a≥0,b≥0),

ab =

a ? b ( a≥0,b≥0),并利用它
a = b
a a a = (a≥0,b > 0) 和 ( ba≥0, b b b

们进行计算和化简。
? 理解 > 0),及利用它们进行运算。 二次根式。
4

? 理解最简二次根式的概念,并运用它化简

【过程与方法】
? 利用具体数据探究,不完全归纳法得出二 次根式的乘(除)法规律。 ? 使用逆向思维,得出二次根式乘(除)法 规律的逆向等式。 ? 分析结果,抓住它们的共同点,给出最简 二次根式的概念。

【情感态度与价值观】
? 利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神。
5

教学重难点
a? b
ab =
a = b
a = b

ab (a≥0,b≥0)
a ? b (a≥0,b≥0)
a (a≥0,b > 0) b
a (a≥0,b > 0) b

利用以上公式进行计算和化简。
6

探究
2? 3 ___ 6

2. 填空:

2?

5 ___ 10

7

归纳

4?

25 =

4? 25

算术平方根的积

= 各个被开方数积的算术平方根

逆向等式

4? 25 =
各个被开方数积的算术平方根
8

4?

25

= 算术平方根的积

下面的等式成立吗?为什么?

(? 4)?( ? 25) ? (? 4) ? ( ? 25)

× ×

根号下不能出现负数!

(? 4) ? (? 25) ? 100 ?10
9



知识要点
a、b必须都是非负数!

二次根式的乘法规定:

a? b

ab (a≥0,b≥0)

逆向等式:

ab =

a ? b (a≥0,b≥0)

可以进行二次根式的化简。
10

例题
( 1)

计算:

3?

12 =
1 = 72

3? 12 =
1 288? = 72
化简:

36 = 6

(2) 288 ?

4= 2

例题
( 1)

225 = 15? 15 = 15 ? 15=
11

( 15) = 15

2

16 , b2 , c2 ,
( 2)

16ab c

2 3
2

是开得尽的因数或因式。
3

= 16 ? a ? b ? c

= 4? a ? b? c ? c = 4? a ? b? c ? c
= 4? a ? b? c? c
2

2

= 4bc ac

12

例题

计算: 一题多解

(1)3 5 ? 2 10

3 5 ? 2 10

= 3创 2 5 10
= 6 52 ? 2

= 3创 2 5 = 3创 2 5

5? 2 5?
2

2

=6 5 ? 2

2

= 3创 2

( 5)

2

= 6? 5 2
= 30 2
13

= 6? 5 2
= 30 2

1 (2)2 xy ? x
1 = 2 xy ? x

1 2 xy ? x
= 2 = 2 = 2
14

= 2 y

一题多解

= 2

1 x? y? x 1 x? ? y x 1 x? ? y x y

探究
2 2 ___ 3 3

填空:

2 2 ___ 5 5

15

归纳

4 = 49
算术平方根的商

4 49

= 各个被开方数商的算术平方根

逆向等式

4 = 49
各个被开方数商的算术平方根 16

4 49

= 算术平方根的商

下面的等式成立吗?为什么?
-4 -4 = - 49 - 49

×


0 = 49
49 = 0

0 49
49 0

×

根号下不能出现负数!

分母不能为0 !
17

知识要点 二次根式的除法规定: 逆向等式:
a = b
a = b a (a≥0,b > 0) b

a (a≥0,b > 0) b
18

可以进行二次根式的化简。

例题
3 1 = 16

如果被开方 化简: 数是带分数,应 先化成假分数。

( 1)

19 = 16
25 y 9x
2

19 = 16

19 4

(2) 25 y = 2

9x

5 y = 3x

19

例题

计算:

2 1 1 1 1 2 1 ? 5 ( 1) = 1 ? 2 6 5 2 6
2 3 = ?6 5 2
如果根号前有 系数,就把系数相 除,仍作为二次根 号前的系数。

2 = ?3 5
6 = 5 20

(2)-4 2

4 2 =3 7 3 7
4 2? 7 =3 7? 7

最后结果的 分母中不含 二次根式。

4 14 =3 72 4 14 =- ? 3 72 4 14 =- ? 3 7
=4 14 21
21

4 =- ? 3 4 =- ? 3 4 =- ? 3

2? 7 7? 7 14 ( 7)2 为了 去掉 14 分母 7 中的 4 14 根号 =21

一题多解

2a ( 3) a+ b 2a a + b = a + b? a + b
?

2 ( 4) 3 40
? 2 3 ? 2 10

最后结 果的分 母中不 含二次 根式。

?

2a a ? b a?b

?

2

2a a ? b ? a?b

为了 去掉 分母 中的 根号
22

2 ? 10 ? 6 10 ? 10
20 ? 6 ?10

2 5 5 = = 60 30

分母有理化
把分母中的根号化去,使分母变成有 理数,这个过程叫做分母有理化。

注意
1. 在二次根式的运算中,一般先观察把能 化简的二次根式化简,再考虑如何化去分母中 的根号。 2. 分母有理化的关键是要搞清分式的分子 和分母都乘什么。 23

以上各例题的最后结果:

6 2a a ? b 4 14 5 19 5 y 、 、 ? 、 、 、 5 21 30 4 3x a?b

知识要点
这样的二次根式,叫做最简二次根式。

最简二次根式的特点
? 被开方数不含分母。 ? 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 24

在二次根式的运算中, 最后结果 的一般要求
2 ? 分母中不含二次根式。 如: × 2 1 ? 被开方数不能含有小数或分数。如: 或 0.2 × 2 2x y ? 分子分母不能约分。 如: 2 × 3x
? 最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。

25

12 如: × 2

看谁算得快
化简
2 Rh1 2 Rh2

2 Rh1 2 Rh2
?


h1 h2 h1 ? h2 h2 ? h2

?

2 R ? h1 2 R ? h2

?

?

h1h2 h2

26

化简二次根式的步骤 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2.应用 ab ? a ? b
2 a ?( a a ? 0) 3.将平方式(或平方数)应用 把这个因式(或因数)开出来,将二次根式 化简。
27

例题

解答:

在Rt△ABC中,∠C = 90°, BC = 1.5 cm ,AC = 3 cm,求斜边 AB 的长。 B
1.5 cm C ? A

3 cm
28

B 1.5 cm C ? A

3 cm

解:由勾股定理 AB2 = AC2+BC2 ,
∴ AB =

AC ? BC
2

2

? 32 ? 1.5 2
? ?3? 9?? ? ?2?
29

2

45 3 5 ? ? (cm) 4 2

课堂小结
1. 二次根式的乘法:

a ? b ? ab ? a ? 0, b ? 0 ? ab ? a ? b ? a ? 0, b ? 0 ?

30

2. 二次根式的除法有两种常用方法:
(1)利用公式: a ?

b

a ? a ? 0, b ? 0? b

a a ? ? a ? 0, b ? 0? b b
(2)把除法先写成分式的形式,再进 行分母有理化运算。
31

3. 化简二次根式的步骤:
(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数。 (2)应用

ab ? a ? b



(3)将平方式(或平方数)应用 a 2 ? ( a a ? 0) 把这个因式(或因数)开出来,将二次根式化简。

32

随堂练习
1. 判断下列算法是否正确,不正确的 请予以改正。
() 1 ? ?4 ? ? ? ?9 ? ? ?4 ? ?9

×

12 12 12 (2) 4 ? 25 ? 4 ? ? 25 ? 4 ? 25 ? 4 12 ? 8 3 25 25 × 25

33

正确的算法如下:
() 1 ? ?4 ? ? ? ?9 ? ? 4 ? 9 ? 2 ? 3 ? 6

12 112 112 (2) 4 ? 25 ? ? 25 ? ? 25 ? 112 ? 16 ? 7 ? 4 7 25 25 25

34

2. 等式 是____________ 。 m>5

m?3 m?3 = 成立的条件 m?5 m?5

解:要想等式成立,必须满足:

m-3 ≥0
m- 5 > 0
35

m ≥3 m >5

m>5

1 3. 已知: 3 =1.732,如何求出 3 的近似值? 1 ? 1 ? 1 ? 0.577 3 3 1.732
计算繁琐。

一题 多解

3 1.732 1? 1 1? 3 ? ? 0.577 ? ? 3 3 3 3 3? 3
计算简便。

4.在括号内填写适当的数或式子使 等式成立。 ( 1) 8 ? ( 2 )= 4

? 5 )= 10 (2)2 5(
(3) a ? 1? ( a ? 1)= a-1
( 4)

? 3 ?

3 2

= 6
37

5. 化简。

-8 3 () 1 8
-8 3 ? 8 ? 8? 8
-8 24 ? 8

2y (2) 4 xy
? 2 y 2 xy 2 xy ? xy

2

? ? 24

y 2 xy ? xy
y xy ? x
38

? ?2 6

6. 已知实数 a、b 满足
a ? 求 2a ?? b ? ?

4a ? b ? 11 ?

b 1? 的值。 ? ? a b? ?

1 b ? 4a ? 3 ? 0 3

解:要想原等式有意义,必须满足: 1 4a ? b ? 11 ? 0 a? 4
1 b ? 4a ? 3 ? 0 3
39

b ? 12

将 a、b 代入

a b 2a ( ? ? b a

1 ) b

1 ? ? ? ? 1 12 1 =2 ? ? 4 ? ? ? ? 4 12 ? 1 12 ? ? ? ? 4 ? 1 ? ? 2 1 ? ? 2 1 ? ? 2 1 ? 1 ? ? 48 ? ? ? 48 ? 12 ? 1 ? 48 ? 12 48 1 12 ? ? 2 403 ? 3 2

7. 判断下列各式是否为最简二次根式?
1 23 () 1 12 ,(2) 3.2,(3) 4 23 4 5

3

5



39 (4) 12.8,(5) ,(6) 0.40 4 10 8 5 39 5 5 2
41

习题答案
1. (1)18 2 (2) (4)24 5 ?3 10 (3)30 30

2 3 x 2. (1) ( 2) 2 3 ( 3) 2 ( 4) 3 2 3 3. (1) 14 (2) 10 3 (3) ( 4) a b 7 2c 4. (1) 4 6 (2) 240

42


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