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2017届广东省深圳市宝安区高三9月摸底考试数学文试题


2016-2017 学年第一学期宝安区高三摸底测试卷 数学(文科)
2016.9

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知 A ? {1, 2, 4,8,16}, B ? { y | y ? log 2 x, x ? A} ,则 A ? B ? ( A. {1, 2} B.

{2, 4,8} C. {1, 2, 4} ) D. {1, 2, 4,8} 2.若复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? (1 ? i) ,则 | z |? ( A. C. )

2 5

B.

3 5

3. 函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则( ) ? ? A. y ? 2sin(2 x ? ) B. y ? 2sin(2 x ? ) 6 3 ? ? C. y ? 2sin(2 x+ ) D. y ? 2sin(2 x+ ) 6 3 4.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( 32 A. 12? B. ? C. ?? D. ?? 3
2 5. 设 F 为抛物线 C:y ? 4 x 的焦点, 曲线 y ?

10 5

D. 10



则实数 k ? (

k (k ? 0) 与曲线 C 交于点 P ,PF ? x 轴, x
D.2

) B.1 C.

3 2 6.等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 ,
则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A. 12 A. a ? 4 B. 10 B. a ? 4 C. 8 C. a ? 5 )

1 A. 2

7.命题“任意 x ??1,2?, x2 ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( D. a ? 5

D. 2 ? log3 5 )

?x ? y ? 0 ? 2 x? y 8.已知 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ,则 z ? 2 的最小值是( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 1 B. 16 C. 8 9.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为( A. 2 B. - 3 C. ? )

) D. 4

1 2

D.

1 3

10. 某几何体的三视图如右图, 其正视图中的曲线部分为半圆, 则该几何体的表面积为 ( ) A. (19 ? ? )cm C. (10 ? 6
2

B. (22 ? 4? )cm

2

2 ? 4? )cm2

D. (13 ? 6 2 ? 4? )cm2

11 . 已 知 三 棱 锥 S ? ABC 的 底 面 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形, AB ? 2, SA ? SB ? SC ? 2, 则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是 ( ) A.

3 3

B.1

C. 3

D.

3 3 2

x2 y 2 12.双曲线 M : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的实轴的两个端点为 A 、 B ,点 P 为双曲线 M a b , QB? PB, 则动点 Q 的轨迹为 上除 A 、 B 外的一个动点,若动点 Q 满足 QA ? PA
( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

13.给出下列不等式:

1 1 ? ?1, 2 3 1 1 1 3 1 ? ? ? ..... ? ? , 2 3 7 2 1 1 1 1 ? ? ? ..... ? ? 2 , 2 3 15 1?
………… 则按此规律可猜想第 n 个不等式为 .

14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的函数,右图表示该 函数在区间 ? ?2,1? 上的图像,则

f (2015) ? f (2016) ?

.

15.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,若

cos A ?

4 5 , cos C ? , a ? 1 ,则 b =____________. 5 13

16.设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于点 B ,且 l 与 圆 x2 ? y 2 ? 4 相 交 所 得 弦 的 长 为 2 , O 为 坐 标 原 点 , 则 ?AOB 面 积 的 最 小 值 为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式,并写出 f ? x ? 的单调减区间; (Ⅱ)已知 ?ABC 的内角分别是 A, B, C , A 为锐角, 且f?

? ?

??

? 的部分图像如图所示. 2?

4 ?A ? ? 1 ? ? ? , cos B ? ,求 sin C 的值. 5 ? 2 12 ? 2

18. (本小题满分 12 分) 为了迎接第二届国际互联网大会,组委会对报名参加服务的 1500 名志愿者进行互联网 知识测试,从这 1500 名志愿者中采用随机抽样的方法抽取 15 人,所得成绩如下:57,63, 65,68,72,77,78,78,79,80,83,85,88,90,95. (Ⅰ)作出抽取的 15 人的测试成绩的茎叶图,以频率为概率,估计这 1500 志愿者中成绩不 低于 90 分的人数; (Ⅱ)从抽取的成绩不低于 80 分的志愿者中,随机选 3 名参加某项活动,求选取的 3 人中 恰有一人成绩不低于 90 分的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,

?ABC 为正三角形, AA1 ? AB ? 6 , D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 BC1D ? 平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BC1D 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点到两个焦点的距离之和为 ,短轴长为 2 3 a b

1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点。 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 1 2 2 (Ⅱ)若直线 l 与圆 O : x ? y ? 相切,证明: ?MON 为定值. 25
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 的单调性;

1 2 ax ? ln x ? 2 , a ? R . 2

(Ⅱ)若函数 f ? x ? 有两个零点,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是 ? O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直,并与 AB 相交于点 E ,点 F 为弦 CD 上 异于点 E 的任意一点,连接 BF 、 AF 并延长交 ? O 于点 M , N . (Ⅰ)求证: B, E , F , N 四点共圆; (Ⅱ)求证: AC ? BF ? BM ? AB .
2 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(?1,0) ,其倾斜角为 ? ,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 的极 坐标方程为 ? ? 6? cos? ? 5 ? 0 .
2

(Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅱ)设 M ( x, y ) 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| ax ? 1| . (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 的解集为 [?6, 2] ,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 时,若存在 x ? R ,使得不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 7 ? 3m 成立,求实数 m 的取值范围.

高三区考试高中数学(文科)参考答案:
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 A 5 D 6 B 7 C 8 C 9 A 10 C 11 A 12 C

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.

1 1 1 1 n ?1 1 ? ? ? ? ..... ? n ?1 ? 2 3 4 2 ?1 2

14. 2.

15.

21 13

16.3

三.解答题:17. 解:

1 2π π π 2π ? ? , 得T ? π ? , 所以 ? ? 2. ………………2 分 2 3 6 2 ? π π π π ) 因 1为 . ? ? , 所以?? . 故 当 x? 时 , f ( x) ? 1 , 可 得 s i n (? 2 ?? ? 6 6 2 6 π f ( x) ? sin(2 x ? ). ……4 分 6 ? π 2π ? 由图像可得 f ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ? , kπ ? , k ? Z. ……………6 分 6 3? ? ? π A? A π π 1 6 .…………8 sin(2( ? ) ? ) ? 1 , 即 sin A ? ,又 A 为锐角,∴ (2) 由 (1) 可知, 2 12 6 2
(1)由周期 T ? 分

? ,? sin B ? 1 ? cos 2 B ? ? 00 ?? BB ?? π? ,

3 . 5 ? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B)

……………9 分 …………10 分 …………12 分

? sin A cos B ? cos A sin B ?

1 4 3 3 4?3 3 . ? ? ? ? 2 5 2 5 10
…………3 分

18.解: (1)抽取的 15 人的成绩茎叶图如图所示, 由样本得成绩在 90 以上频率为 90 分)的人数约为

2 ,故志愿者测试成绩在 90 分以上(包含 15

2 ?1500 =200 人. …………5 分 15

(2) 设抽取的 15 人中, 成绩在 80 分以上 (包含 80 分) 志愿者为 A , B , C , D , E , F , 其中 E , F 的成绩在 90 分以上(含 90 分) , …………6 分

成绩在 80 分以上(包含 80 分)志愿者中随机选 3 名志愿者的不同选法有:{ A , B , C }, { A , B , D },{ A , B , E },{ A , B , F },{ A , C , D },{ A , C , E },{ A ,

C , F },{ A , D , F },{ A , D , E },{ A , E , F },
{ B , C , D },{ B , C , E },{ B , C , F },{ B , D , E },{ B , D , F },{ C , D , E }, { C , D , F },{ D , E , F },{ B , E , F },{ C , E , F }共 20 种,………8 分 其中选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的不同取法有:{ A , B , E },{ A , B ,

C ,E }, C ,F }, { A, { A, { A ,D ,F }, { A ,D ,E }, { B , C , E },{ B , C , F }, F },
{ B , D , E } , { B , D , F } , { C , D , E } , { C , D , F } 共 12 种, …………10 分

12 3 = . …………12 分 20 5 19.解: (1)证明:因为 AA1 ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? BD ……………2 分 因为底面 ABC 正三角形, D 是 AC 的中点,所以 BD ? AC ……………4 分 因为 AA1 ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 ACC1 A 1 ………………5 分 因为平面 BD ? 平面 BC1D ,所以平面 BC1D ? 平面 ACC1 A 1 …………6 分
∴选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的概率为 (2)由(Ⅰ)知 ?ABC 中, BD ? AC , BD ? BC sin 60? ? 3 3 所以 S ?BCD ? 所以 VC ? BC1D 20.解: (1)由题意得

C1 B1 O C D A B

A1

1 9 3 ………………………………9 分 ? 3? 3 3 ? 2 2 1 9 3 ? VC ?C1BD ? ? ? 6 ? 9 3 ………………………12 分 3 2

2a ?

2 1 1 1 ,2b ? ,? a ? , b ? 3 2 3 4

? 9x 2 ? 16y 2 ? 1

…………4 分

(2)当直线 l ? x 轴时,因为直线与圆相切,所以直线 l 方程为 x ? ? 当 l:x?

1 5

时 , 得

M 、 N

? OM ? ON ? 0, ? ?MON ?
当l : x ? ?

1 ? 时,同理 ?MON ? ; 5 2

? ………6 分 2

1 。 ……5 分 5 ?1 1? ?1 1? 两 点 坐 标 分 别 为 ? , ?, ? ,? ? , ?5 5? ?5 5?

…………7 分

当 l 与 x 轴不垂直时, 设 l : y ? kx ? m, M ?x1 , y1 ?, N ( x2 , y2 ) ,

1? k 2 ? y ? kx ? m 联立 ? 2 得 ?9 ? 16k 2 ?x 2 ? 32kmx? 16m 2 ? 1 ? 0 …………9 分 2 ?9 x ? 16y ? 1 32 km 2 ? ? ?32 km ? ? 4(9 ? 16 k 2 )(16 m 2 ? 1) ? 0, x1 ? x 2 ? ? 9 ? 16 k 2 16m 2 ? 1 x1 x 2 ? , …………10 分 9 ? 16k 2 2 2 2 2 25m ? k ? 1 ?0 ?OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m = 9 ? 16k 2 ? ? ?MON ? ………… 11 分 2 ? 综上, ?MON ? (定值) ………… 12 分 2

由d ?

m

?

1 2 2 ,? 25m ? 1 ? k , …………8 分 5



?

?

21. 解: (1) f ?( x) ? ax ?

1 ax2 ? 1 ? ,x ? 0 ……………1 分 x x

? ?) 上单调递减; ………………2 分 ① 当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,

② 当 a ? 0时,令f ?( x) ? 0, 解得x ?

a .………… 3 分 a

a a 当x ? (0, )时,f ?( x) ? 0;当x ? ( , ? ?)时,f ?( x) ? 0 .…………4 分 a a

a a ?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在 ( , ? ?)内单调递增 …………5 分 a a

( 0, ? ?) 上单调递减; 综上:当 a ? 0时,f ( x) 在
a a 当 a>0 时,?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在 ( , ? ?)内单调递增 …………6 分 a a

在(0, +? )上单调递减,函数 f ( x) 不可能有两个零 (2)当 a ? 0时, 由(Ⅰ)得 f(x )
点;………7 分

a a 当 a>0 时,由(Ⅰ)得, 函数f ( x)在(0, )内单调递减,在( 且当 x , ? ?)内单调递增, a a
趋近于 0 和正无穷大时, f ( x ) 都趋近于正无穷大,………8 分

故若要使函数 f ( x ) 有两个零点,则 f ( x) 的极小值 f(

a ) ? 0 ,………………10 分 a



1 1 ? ln a -2 ? 0 ,解得 0 ? a ? e 3 , 2 2
3

综上所述, a 的取值范围是 (0,e ) …………………12 分 22.解: (1)证明:连接 BN ,则 AN ? BN ,……………2 分 又 CD ? AB, 则 ?BEF ? ?BNF ? 90? ,……………4 分 即 ?BEF ? ?BNF ? 180? ,则 B, E , F , N 四点共圆.……………5 分 (2)由直角三角形的射影定理可知 AC 2 ? AE ? AB, ……………6 分

C

A M

E O F D

B
N

相似可知:

BF BE ( BA ? EA) , ? , BF ?BM ? BA?BE ? BA? BA BM

BF ? BM ? AB 2 ? AB ? AE ……………8 分

? BF ? BM ? AB2 ? AC 2 ,即AC 2 ? BF ? BM ? AB2 ……………10 分
23.解: (1) 将 C 的极坐标方程 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 化为直角坐标为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 …1

分 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos ? (t为参数) ……………2 分 ? y ? t sin ?

将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 t 2 ? 8t cos ? ? 12 ? 0 ……………3 分 直线与曲线有公共点,?? ? 64cos2 ? ? 48 ? 0 ,得 cos ? ?

3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? ? 5? ? ?? ? [0, ? ),?? 的取值范围为 [0, ] ? ? , ? ? .……………5 分 6 ? 6 ?
(2)曲线C的方程 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0化为( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 , 其参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2cos ? (? 为参数) ……………7 分 ? y ? 2sin ?

?? ? M ( x, y) 为曲线 C 上任意一点,? x ? y ? 3 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2 2 sin ?? ? ? . 4? ?
x ? y 的取值范围是 [3 ? 2 2,3 ? 2 2] ……………10 分
24.解: (1)显然 a ? 0 ,当 a ? 0 时,解集为 [ ?

1 3 1 3 , ] , ? ? ?6, ? 2 ,无解;(3 分) a a a a

当 a ? 0 时,解集为 [ , ? ] ,令 ?

3 a

1 a

1 3 1 ? 2, ? ?6 , a ? ? , 2 a a
.…5 分 (2) 当











a??

1 2

a?2







1 ? ??2 x ? 4, x ? ? 4 ? 1 3 ? h( x) ? f (2x ?1) ? f ( x ?1) ? 4x ?1 ? 2x ? 3 ? ?6 x ? 2, ? ? x ? …………7 分 4 2 ? 3 ? ?2 x ? 4, x ? 2 ?
由此可知, h( x) 在 ( ??, ? ) 单调减,在 ( ?

1 4

1 3 3 , ) 和 ( , ??) 单调增, 4 2 2
…………8 分

则当 x ? ?

1 7 时, h( x) 取到最小值 ? , 4 2

由题意知, ?

7? 7 ? ? 7 ? 3m ,则实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ……………10 分 2? 2 ?


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