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等差数列2


龙文教育——教师 1 对 1

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特约数学教师

刘须雷

等差数列(二)
? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N ) (2)一般地,等差数列的前 n 项和 S n ? An2 ? Bn .

(1)一般数列的通项公式: an ? ?

/>
? S1

(n ? 1)

1.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? a5 ? 12 ,则 an ? 2.在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3 ,则 an ? 3.在等差数列 ?an ? 中, (1)若 an ? 2n ? 1 ,则 a1 = (2)若 a3 ? a9 ? 10 ,则 a1 ? a11 ? (3)若 a7 ? 5 ,则 a1 ? a13 ? (4)若 S15 ? 150 , a8 ? 4.在 ?an ? 中, (1)若 S n ? n 2 ? n ,则 a1 ? (2)若 S n ? n 2 ? 1 ,则 a1 ? , a2 ? , a2 ? , a3 ? , a3 ? . ,d = , Sn ? , S11 ? , S13 ? ; ; ; .

.

, an ? , an ? ;

.

5. (1)在数列 ?9 , ?7 , ?5 , ?3 , ?1 , 1 ,…中,前 (2)在数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 15,此数列前 前 项和最小;

项和最小; 项起大于零,

项小于 0,第

(3) 在数列 ?an ? 中,an ? ?3n ? 30 , 此数列前 时, S n 有最 值.

项大于 0, 第

项起小于零, 当n ?

6.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?30 , S11 ? S20 ,则 S n 的最小值是 使 S n =0 的 n ? .



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7.等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 12 , S12 ? 0 , S13 ? 0 ,求公差 d 的取值范围;

8.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 25 , a8 ? a9 ? ? ? a15 ? 0 ,则 (1) a8 ? a15 ? (2) a11 ? a12 ? , a 22 = , S 22 = ; ,此数列共有 项为正;

, a11与a12 的大小关系是 .

(3) S 7与S15 的大小关系是 9.在等差数列 ?an ? 中, (1)若 Sn ? ?n2 ? 18n ,当 n ? (2)若 an ? 2n ? 18 ,当 n ?

时, S n 有最 时, S n 有最

值; 值;

10.等差数列 {am } 共有 2 n 项,其中奇数项的和为 90 ,偶数项的和为 72 ,且 a2n ? a1 ? ?33 , 则该数列的公差为( A. 3 ) B. ?3 C. ?2 D. ? 1

11.数列 ?an ? 、{bn } 均为等差数列, 前 n 项和分别为 Sn ,Tn ,若 12、若 S4 ? S10 且 d ? 0 ,则当 n ? 时, S n 有最

Sn n ? 1 a ? ,则 9 ? Tn n ? 3 b9

.

值;

13、等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0 , S4 ? S8 ,则当 Sn 取得最大值时, n 的值为( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8



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1.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? a5 ? 12 ,则 an ? 2n-1 3.在等差数列 ?an ? 中,

.

2.在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3 ,则 an ? 3n-2 . (1)若 an ? 2n ? 1 ,则 a1 = 1 , d = 2 , Sn ? n ;
2

(2)若 a1 ? 1 , S3 ? 9 ,则 S10 ? 100 ; (3)若 a10 ? 10 , d ? 2 ,则 S10 ? 10 ; (4)若 a3 ? a9 ? 10 ,则 a1 ? a11 ? 10 , S11 ? 55 ; (5)若 a7 ? 5 ,则 a1 ? a13 ? 10 , S13 ? 65 (6)若 S15 ? 150 , a8 ? 10 4.在数列 ?an ? 中, . ;

(1)若 a1 ? 1 , 2an ? 2an?1 ? 3 ,则 an ?

3 1 n? . 2 2

(2)若 a1 ? 1, a2 ? 4 ,且 2an?1 ? an ? an?2 ,则 a3 ? 7 , a4 = 10 , an ? 3n-2 . (3)若 a1 ? 2 , an 2 ? (an?1 ? 1)2 ? 0 ,且 an ? 0 ,则 an ? n+1 . 5. (1)在数列 ?9 , ?7 , ?5 , ?3 , ?1 , 1 ,…中,前 5 项和最小; (2)在数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 15,此数列前 7 项小于 0,第 8 项起大于零,前 7 项 和最小; (3)在数列 ?an ? 中, an ? ?3n ? 30 ,此数列前 9 项大于 0,第 11 项起小于零,当 n ? 9 或 10 时, S n 有最 大 值. 【典型示例】 1.在 ?an ? 中, (1)若 S n ? n 2 ? n ,则 a1 ? 2 , a 2 ? 4 , a3 ? 6 , an ? 2n (2)若 S n ? n 2 ? 1 ,则 a1 ? 2 , a 2 ? 3 , a3 ? 5 , an ? ? (3)若 S n ? n 2 ? n ? 2 ? c ,要使 ?an ? 是等差数列,则 c ? 2 结论: ( 1 ) an ? ? 数列吗? .

n ?1 ?2, ; ?an ? 是等差 ?2n ? 1, n ? 1
.

? S1

(n ? 1)

? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N )

; (2)一般地,等差数列的前 n 项和

S n ? An2 ? Bn . 2.等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 12 , S12 ? 0 , S13 ? 0 ,求公差 d 的取值范围; 解: (1) a3 ? 12 ,∴ a1 ? 12 ? 2d , S12 ? 12a1 ? 66d ? 0 , S12 ? 13a1 ? 78d ? 0 , ?24 ? 7d ? 0 24 ∴? ? ? ? d ? ?3 . 7 ?3 ? d ? 0
1.在数列 ?an ? 中,若 S n ? ?n ,则 an ? -2n+1 .
2

2.在等差数列 ?an ? 中,
2

(1)若 Sn ? ?n ? 18n ,当 n ? 9 时, S n 有最

大 值; 大 值;

(2)若 an ? 2n ? 18 ,当 n ? 8 或 9 时, S n 有最 小 值; (3)若 S4 ? S10 ,且 d ? 0 ,则当 n ? 7 时, S n 有最 (4)若 S10 ? 0 且 S11 ? 0 ,则当 n ? 5 时, S n 有最 小 值.
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3.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 25 , a8 ? a9 ? ? ? a15 ? 0 ,则 (1) a8 ? a15 ? 0 , a 22 = -25 , S 22 = 0 ;

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(2) a11 ? a12 ? 0 , a11与a12 的大小关系是 a11 ? a12 ,此数列共有 11 项为正; (3) S 7与S15 的大小关系是 S7 ? S15 . 4.在数列 ?an ? 中,若 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 an ? ?

5.在等差数列 ?an ? 中,a1 ? ?30 , S11 ? S20 ,则 S n 的最小值是 -240 ;使 S n =0 的 n ? 31 . 6.数列 ?an ? 、 {bn } 均为等差数列,前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

n ?1 ?3, . 2 n , n ? 1 ?

9 Sn n ? 1 a ,则 9 ? . ? Tn n ? 3 b9 10

【课后作业】 2.等差数列 {am } 共有 2 n 项,其中奇数项的和为 90 ,偶数项的和为 72 ,且 a2n ? a1 ? ?33 , 则 该 数 列 的 公 差 为 ---------------------------------------------------------------------------------------------------( ) A. 3 B. ?3 C. ?2 D. ? 1 3. 等差数列 ?an ? 中,a1 ? 0 ,S4 ? S8 , 则当 Sn 取得最大值时,n 的值为--------------------------( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4 .等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0 , 3a8 ? 5a 1 3 ,则 Sn 中的最大的是 -----------------------------------( ) A. S10 B. S11 C. S20 D. S21

7.在等差数列 ?an ? 中,若 an ? m ,am ? n , 则 am? n ? 0 ;若 Sm ? Sn (m ? n) ,则 Sm? n ? 0 . 8.在等差数列 ?an ? 中, S10 ? 100 , S100 ? 10 ,求 S110 . ?110 9.已知数列 ?an ? 的通项为 an ? pn2 ? qn( p 、 q ? R 且 p 、 q 为常数 ) . (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列 ?an ? 是等差数列; p ? 0 . (2)求证:对任意实数 p 和 q ,数列 ?an?1 ? an ? 是等差数列.

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