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关于方程实数根的研究


关于方程实数根的研究
摘要:代数方程代数方程通常指整式方程,即由多项式组成的方程。有时也泛指由未知数的代
数式所组成的方程,包括整式方程、分式方程和无理方程。在数学学习中,常常要计算一些代数 方程的解, 然而在解代数方程时, 我们首先就要判断这类方程的解的存在性。 本文从复变函数论、 连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker 定理方面判别代数方程根的存在性。 总结前人的研究成果,并略作一些整理,使分散的知识点汇聚在一起,以方便阅读

在数学学习中,常常要一些方程问题。方程主要包括线性方程和非线 性方程。线性方程是指因变量与自变量成线性关系。非线性方程就是指 因变量和自变量的之间的关系不是线性关系,这类的方程很多,例如平 方关系、指数关系、对数关系、三角函数关系等等。对于非线性方程可 以分为两类,一类是多项式方程,这类方程的求解已经有了比较成熟的 理论和方法,另一类是非多项式方程,求解这类方程往往很难得到精确 解,是现在数学领域中的一个重点研究方向。本文针对非线性方程求解 其实数根进行研究,在总结前人研究成果的基础上通过连续函数的性质 定理、不动点定理、函数的性态等理论和方法研究其实数根的存在性和 唯一性。 关键字:方程 第一部分 实数根 绪论 存在性 唯一性

1、问题背景
?对于一元二次方程求解问题。 2、问题提出

中学数学中曾出现过一元二次方程的求根问题。我们知道,由判别式可 以判断该方程是否存在实数根,即当时,该方程有两个不相等的实数根,

当时方程有两个相等的实根,当时方程没有实根。那么一元三次方程方

研究现状及其意义
中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初,代数学研究仍未 超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。我们知道, 二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。 在中世纪, 阿拉伯数学家又将二次方程的理论统化。 而三、 四次方程的求解曾在文艺复兴时期的意大利引起数学家之间的激烈挑战并获得决。 三、四次代数方程的解被发现之后,约在550年开始,代数学上最突出的有两个问题: 1. 任何一个几次代数方程是否一定有根?有多少个根? 2. 五次和五次以上的代数方程是否能解?怎样去解? 前一个问题吸引了许多数学家,欧拉也研究过。经过几代数学家的努力,用了两百多年时间, 约在 1748 年,这个问题被年仅 29 岁的法国青年数学家达朗贝尔证明了。他的结论是一个 n 次代 数方程至少有一个根。后人称为代数基本定理。几十年后, 德国数学家高斯发现达贝尔的证明缺 乏严密性。在 1799 年高斯给出了这个定理的证明。因此,有时也把这个定理叫达朗贝尔—高斯 定理。被誉称为数学皇子的高斯,辈子都没有放弃对代数基本定理的研究,他一生中给出了这个 定理的四种不同证明方法,而只有一种是纯代数的。人们很难想象,在技术上为了解一般五次方 程,不知耗去了多少枉然的精力,可以说这个问题是人类智慧的一个严重挑战,经过三百多年时 间,几代数学家的接力奋斗,直到 19 世纪初期才被解决。

第二部分

方程实数根的存在性和唯一性

一、证明方程有实数根的存在性的主要方法 利用闭区间上连续函数的介值定理和零点存在定理。 零 点 存 在 定 理 : 若 f(x) 在 [a,b] 上 连 续 , f(a) 和 f(b) 异 号 , 即 f(a)f(b)<0,则在[a,b]内至少有一点使得 f()=0。 介值定理: 闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)可以取其最小值和最大值 之间的一切值。即设 f(x)在[a,b]上的最小值为 m,最大值为 M,那么, 对任何 c,m<c<M,在[a,b]内至少有一个,使得 f()=c。 对于根据题目所给方程或待证的等式,首先构造一个在相应闭区间 上连续的辅助函数 F(x),然后利用闭区间上连续函数的零点存在定理证 明所给方程的实根是存在的,这里,要充分发掘所给方程或等式的特性,

去构造一个新的函数,使它适合应用零点定理的前提条件。例如把待证 等式中定值改成变量 x, 使得待证转化为方程, 由此构造连续的辅助函数。 使得待证转化为方程,由此构造连续的辅助函数。 根据待证的等式或者方程,先证明函数在相应的闭区间上是连续的, 故由闭区间上连续函数的性质知, 函数必定在该闭区间上达到其最大值 M 和最小值 m,在证明常数 C 介于最小值 m 与最大值 M 之间,然后利用闭区 间上连续函数的介值定理便可证得的存在 例 1 试证方程少存在一正根,其中常数 a,b 满足 0<a<1,b>0 分析: 证法一:利用零点存在定理 令函数,显然,在区间内连续,且, 。当时,如,k 为正整数,则就是原 方程的一个正根。当时,有,故。则由闭区间上连续函数的零点定理即 可知道在开区间内至少存在一正根。 综上所知本题的结论成立。 证法二:利用介值定理 令函数,则考虑方程。显然是闭区间上的连续函数,而且严格单调增加, 故在闭区间上的最小值为,最大值为。 当 时,则是原方程的一个正根。在

当 时, ,即常数 b 介于在上的最小值和最大值之间,有闭区间上连续 摘要:代数方程代数方程通常指整式方程,即由多项式组成的方程。有时也泛指由未知数的代
数式所组成的方程,包括整式方程、分式方程和无理方程。在数学学习中,常常要计算一些代数 方程的解, 然而在解代数方程时, 我们首先就要判断这类方程的解的存在性。 本文从复变函数论、 连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker 定理方面判别代数方程根的存在性。 总结前人的研究成果,并略作一些整理,使分散的知识点汇聚在一起,以方便阅读


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