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2015世纪金榜理科数学(广东版)课时提升作业(三) 1.3


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课时提升作业(三)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014·汕头模拟)命题“? x∈R,x2-x-1≥0 恒成立”的否定是 (

A.? x∈R,x2-x-1<0 恒成立 B.? x∈R,x2-x-1≤0 恒成立 C.? x∈R,x2-x-1≥0 成立 D.? x0∈R,错误!未找到引用源。-x0-1<0 成立 2.(2014·广宁模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) )

A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 3.(2014·长沙模拟)“对 x∈R,关于 x 的不等式 f(x)>0 有解”等价于 ( A.? x0∈R,使得 f(x0)>0 成立 B.? x0∈R,使得 f(x0)≤0 成立 C.? x∈R,f(x)>0 成立 D.? x∈R,f(x)≤0 成立
-1-

)

4.(2014·北京模拟)下列命题的否定为假命题的是 ( A.? x0∈R,错误!未找到引用源。+2x0+2≤0 B.任意一个四边形的四个顶点共圆 C.所有能被 3 整除的整数都是奇数 D.? x∈R,sin2x+cos2x=1

)

5.(2014·重庆模拟)已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数,则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:( p1)∨p2 和 q4:p1∧( p2)中,真 命题是( A.q1,q3 ) B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4

6.(2014·珠海模拟)已知命题 p:? x∈R,sinx+cosx=2,命题 q:x2-3x+2<0 的解集 是{x|1<x<2},下列结论,其中正确的是 ( A.命题“p∧q”是真命题 C.命题“ p∧q”是真命题 )

B.命题“p∨ q”是真命题 D.命题“ p∨ q”是假命题 )

7.命题“? x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5

8.(能力挑战题)(2014·广州模拟)给出下列四个命题: ①若“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为“若 a≤b,则 2a≤2b-1”; ③命题 “任意 x∈R,x2+1≥0” 的否定是 “存在 x0∈R,错误! 未找到引用源。 +1<0” ; ④在△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中不正确命题的个数是 ( A.4 B.3 C.2
-2-

) D.1

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.(2014·中山模拟)命题“存在实数 x0,使错误!未找到引用源。+2x0-8=0”的 否定是 10.已知下列结论: ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件; ③“p∨q”为真是“ p”为假的必要不充分条件; ④“ p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件, 其中正确的是 (只填序号). .

11.(2014·汕尾模拟)若命题“? x0∈R,错误!未找到引用源。+(a-1)x0+1<0” 是真命题,则实数 a 的取值范围为 .

12.(能力挑战题)设命题 p:若 ax2-ax-1<0 在 R 上恒成立,则 0<a<4;命题 q:锐角 △ABC 中,若 A=错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。<sinB<1.已知 下列命题:① p,②p∨q,③ p∧q,④p∨( q), 其中是真命题的是 (只填序号).

三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2014·黄山模拟)已知命题 p:x1 和 x2 是方程 x2-mx-2=0 的两个实根,不等式 a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m∈[-1,1]恒成立;命题 q:只有一个实数 x 满足不等 式 x2+2 错误!未找到引用源。ax+11a≤0,若 p∧q 是真命题,求 a 的取值范围. 14.(2014·天水模拟)已知函数 f(x)=ax+b 错误!未找到引用源。(x≥0),且函 数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y=x 对称,又 g(1)=0,f(错误! 未找到引用源。 )=2错误!未找到引用源。.
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(1)求 f(x)的表达式及值域. (2)问是否存在实数 m,使得命题 p:f(m2-m)<f(3m-4)和 q:g 错误! 未找到引用源。 > 错误!未找到引用源。满足复合命题 p 且 q 为真命题?若存在,求出 m 的取值范 围;若不存在,说明理由. 15.(能力挑战题)设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式错误! 未找到引用源。 ≥a 的解集为 ? ,命题 q:函数 f(x)=lg 错误!未找到引用源。的定义域为 R,若命 题“p∨q”为真, “p∧q”为假,求 a 的取值范围.

答案解析
1.【解析】选 D.因为全称命题的否定为特称命题,所以“? x∈R,x2-x-1≥0 恒成 立”的否定为“? x0∈R,错误!未找到引用源。-x0-1<0 成立”. 2.【解析】选 D.因为命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”, 所以,选项 A 错误;又因为若 p∨q 为真命题,则 p,q 至少有一个为真命题,所以选 项 B 错误;又因为命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均 有 x2+x+1≥0”所以选项 C 错误;因为命题“若 x=y,则 sinx=siny”正确,所以它 的逆否命题为真命题. 【加固训练】已知命题 p:若 x∈N*,则 x∈Z.命题 q:? x0∈R,错误!未找到引用 源。=0.则下列命题为真命题的是 A. p B.p∧q
-4-

(

)

C. p∨q

D.( p)∨( q)

【解析】选 D.显然命题 p 为真;因为对? x∈R,都有错误!未找到引用源。>0, 所以命题 q 为假,所以 q 为真,由“或” “且” “非”命题的真值表知 D 正确. 3.【解析】选 A.“对 x∈R,关于 x 的不等式 f(x)>0 有解”的意思就是? x0∈R, 使得 f(x0)>0 成立,故选 A. 4.【思路点拨】只需判断原命题为真即可. 【解析】选 D.对于 A,因为Δ=22-4〓2=-4<0,所以 x2+2x+2>0 恒成立,故 A 假;对 于 B,一般平行四边形的四个顶点就不共圆,所以 B 假;对于 C,6 能被 3 整除但不 是奇数;D 显然正确.综上应选 D. 5.【解析】选 C.函数 y=2x-2-x=2x+错误!未找到引用源。是两个增函数的和,所 以 p1 是真命题;因为函数 y=2x+2-x 是偶函数,所以它不可能是 R 上的减函数,所以 p2 是假命题.由此可知 q1 真,q2 假,q3 假,q4 真. 【一题多解】本题还可有如下解法: 函数 y=2x-2-x 是一个增函数与一个减函数的差,故函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,p1 是真命题;而对 p2:y'=2xln2-错误!未找到引用源。ln2=ln2〓错误!未找到引用 源。,当 x∈[0,+≦)时,2x≥错误!未找到引用源。,又 ln2>0,所以 y'≥0,函数 单调递增;同理得当 x∈(-≦,0)时,函数单调递减,故 p2 是假命题.由此可知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真. 6.【解析】选 C.因为 sinx+cosx=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用 源。≤错误!未找到引用源。,所以 p 假;又因为 x2-3x+2<0,所以 1<x<2,因此 q 为真,故 p∧q 为真命题. 【加固训练】(2014·成都模拟)已知命题 p: “若直线 ax+y+1=0 与直线 ax-y+2=0
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垂直,则 a=1” ;命题 q: “错误! 未找到引用源。 >错误! 未找到引用源。 ” 是 “a>b” 的充要条件,则 A.p 真,q 假 C.“p∨q”真 ( ) B.“p∧q”真 D.“p∨q”假

【解析】 选 D.对于 p,若直线 ax+y+1=0 与直线 ax-y+2=0 垂直,则 a2-1=0,所以 a= 〒1,对于 q,由错误!未找到引用源。>错误!未找到引用源。,得 a>b,反之不成 立,故命题 p 为假命题,命题 q 为假命题,故 p∨q 为假,选 D. 7.【解析】选 C.满足命题“? x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的实数 a 即为不等 式 x2-a≤0 在[1,2]上恒成立的 a 的取值范围,即 a≥x2 在[1,2]上恒成立,即 a≥ 4,要求的是充分不必要条件,因此选项中满足 a>4 的即为所求,选项 C 符合要求. 【误区警示】这类题把“条件”放在选项中,即选项中的条件推出题干的结论, 但题干中的结论推不出选项中的条件.本题容易分不清这种关系而致误. 8.【解析】选 D.因为 p 与 q 中只要有一个为假,p∧q 就为假,所以①错误;由否 命题的定义知②正确;由全称命题否定的意义知③正确 ;根据正弦定理知 ,在△ ABC 中,A>B?a>b?sinA>sinB,所以④正确.综上应选 D. 【加固训练】(2014·武汉模拟)下列四个命题中真命题的个数是 ①“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件; ②命题“? x0∈R,错误!未找到引用源。-x0>0”的否定是“? x∈R,x2-x≤0”; ③“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真; ④命题 p:? x∈[0,1],2x≥1,命题 q:? x0∈R,错误!未找到引用源。+x0+1<0,则 p∨q 为真. A.0 B.1 C.2
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(

)

D.3

【解析】选 D.命题①中,{x|x<1}是不等式 x2-3x+2>0 的解集{x|x<1 或 x>2}的真 子集,所以“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,所以①正确.命题②显然 正确.命题③中,当 m=0 时,其逆命题不成立,故③错.命题④中,p 为真,q 为假,所 以 p∨q 为真,故④正确.综上所述,真命题的个数为 3.故选 D. 9.【解析】特称命题的否定为全称命题.所以命题的否定是对任意实数 x,都有 x2+2x-8≠0. 答案:对任意实数 x,都有 x2+2x-8≠0 10.【解析】p∧q 为真时 p,q 均为真,此时 p∨q 一定为真,而 p∨q 为真时只要 p,q 至少有一个为真即可,故“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件, 结论①正确;p∧q 为假,可能 p,q 均假,此时 p∨q 为假,结论②不正确;p∨q 为真 时,可能 p 假,此时 p 为真,但 p 为假时,p 一定为真,此时 p∨q 为真,结论③正 确; p 为真时,p 假,此时 p∧q 一定为假,条件是充分的,但在 p∧q 为假时,可能 p 真,此时 p 为假,故“ p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件,结论④不正确. 答案:①③ 11.【解析】因为“? x0∈R,错误!未找到引用源。+(a-1)x0+1<0”是真命题,所 以函数 f(x)=x2+(a-1)x+1 与 x 轴有两个交点,方程 x2+(a-1)x+1=0 有两个不同的 实根,即Δ=(a-1)2-4>0,解得 a<-1 或 a>3. 答案:a<-1 或 a>3 12.【思路点拨】对于命题 q 真假的判断,关键是由条件锐角三角形,A=错误!未 找到引用源。,及内角和定理限定 B 的取值范围. 【解析】 先判断命题 p,当 a=0 时,不等式为-1<0,显然恒成立;当 a≠0 时,由不等 式恒成立,可得
-7-

错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。 解得-4<a<0. 综上,a 的取值范围为(-4,0],所以命题 p 为假命题. 再判断命题 q,因为 A=错误! 未找到引用源。 ,故 C=π-A-B=错误! 未找到引用源。 -B. 又△ABC 为锐角三角形, 所以错误! 未找到引用源。 解得错误! 未找到引用源。 <B<错误! 未找到引用源。 . 又 y=sinx 在错误!未找到引用源。上单调递增,所以 sinB∈错误!未找到引用 源。,故命题 q 为真命题. 综上,p 假 q 真,故 p 为真命题, q 为假命题,p∨q 为真命题, p∧q 为真命题,p 或 q 为假命题. 答案:①②③ 【加固训练】命题 p:若函数 f(x)=sin 2x-错误!未找到引用源。 +1,则 f 错误! 未找到引用源。=f 错误!未找到引用源。;命题 q:函数 g(x)=sin2x+1 可能是奇 函数.则复合命题“p 或 q” “p 且 q” “非 q”中真命题的个数为 .

【解析】代入易知命题 p 为真命题;g(0)=1≠0,故函数 g(x)不是奇函数,命题 q 为假命题. 所以“p 或 q” “非 q”为真命题. 答案:2 13.【解析】由 p:x1 和 x2 是 x2-mx-2=0 的两根,所以错误!未找到引用源。所以 |x1-x2|=错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 ,又 m∈[-1,1],则有|x1-x2| ∈[2 错误!未找到引用源。,3].因为不等式 a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m∈
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[-1,1]恒成立,所以 a2-5a-3≥|x1-x2|max=3,所以 a2-5a-3≥3,解得 a∈(-≦,-1]∪ [6,+≦), p 就是集合(-1,6);对于 q:由题意,知Δ=(2 错误! 未找到引用源。 a)2-4 〓11a=0,所以 a=0 或 a=错误!未找到引用源。. 若 p∧q 是真命题,即命题 p,q 都是真命题,所以 a∈错误!未找到引用源。. 14.【解析】(1)由 g(1)=0,f(错误!未找到引用源。)=2-错误!未找到引用源。 可得 a=-1,b=1,故 f(x)=错误!未找到引用源。-x(x≥0),由于 f(x)=错误!未找 到引用源。在[0,+≦)上递减,所以 f(x)的值域为(0,1]. (2)因为 f(x)在[0,+≦)上递减,故 p 真? m2-m>3m-4≥0? m≥错误!未找到引用 源。且 m≠2; 又 f 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 g 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, 故 q 真? 0<错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。≤1? 1<m<3.故存在 m ∈错误!未找到引用源。∪(2,3)满足复合命题 p 且 q 为真命题. 15.【解析】若 p 正确,则由 0<错误!未找到引用源。≤1,得 a>1. 若 q 正确,则 ax2+(a-2)x+错误!未找到引用源。>0 解集为 R. 当 a=0 时,-2x+错误!未找到引用源。>0 不合题意,舍去; 当 a≠0 时,则错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。<a<8. 由题意知,p 和 q 中有且仅有一个正确, 所以错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。 所以 a≥8 或错误!未找到引用源。<a≤1. 【方法技巧】根据命题真假确定参数取值范围的方法 (1)把所给命题当真求出参数的取值范围.
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(2)根据含逻辑联结词命题的真值表递推所给命题的真假. (3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.

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